KF PŚK |
Damian Jakubecki Łukasz Jakubowski Kamil Jaros |
Wydział, Grupa: WZMiK, L 103 |
|---|---|---|
Symbol ćwiczenia: M6 |
Temat: Prawo Hooke'a. Oscylacje harmoniczne. | |
| Data wykonania: | Data oddania do poprawy: | Ocena: |
Wprowadzenie:
Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości. Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (gdzie naprężenie, tam siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Pod wpływem działających sił zewnętrznych każde ciało stałe odkształca się, zmieniając swoja objętość i kształt. W czasie, gdy ciało jest odkształcone, siły zewnętrzne są równoważone siłami reakcji sprężystych ciała, które dążą do przywrócenia jego pierwotnej postaci. W przypadku sprężyny jej współczynnik sprężystości wyraża się wzorem:
$$\mathbf{k =}\frac{\mathbf{\text{Gd}}^{\mathbf{4}}}{{\mathbf{8}\mathbf{\text{ND}}}^{\mathbf{3}}}$$
gdzie:
d - promień drutu sprężyny,
N - liczba jej zwojów,
D - promień sprężyny,
G - tzw. moduł sztywności (lub moduł Kirchhoffa) materiału sprężyny o wymiarze
$$\left\lbrack G \right\rbrack = \frac{N}{m^{2}}$$
Siły sprężyste - ciała poddane działaniu siły zewnętrznej odkształcają się w mniejszym lub większym stopniu w zależności od tego jakie są jego właściwości sprężyste i jaka jest wartość siły działającej na to ciało. Ponadto to samo ciało będzie wykazywać różne właściwości sprężyste w zależności od tego, w jakim stanie skupienia się znajduje. Czyli właściwości te zależą od warunków zewnętrznych.
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruch periodycznym można zawsze wyrazić przy pomocy funkcji sinus lub cosinus. Ponieważ funkcje te są funkcjami harmonicznymi, przeto ruch periodyczny można określać jako ruch harmoniczny.
Okresem ruchu harmonicznego T (wielkość skalarna) - jest czas trwania jednego pełnego drgnięcie albo cyklu (jest to najkrótszy czas, po którym ruch zaczyna się powtarzać).
Prawa dynamiki Newtona:
Zasady dynamiki Newtona to trzy zasady leżące u podstaw mechaniki klasycznej sformułowane przez Isaaca Newtona i opublikowane w Philosophiae Naturalis Principia Mathematica w 1687 roku. Zasady dynamiki określają związki między ruchem ciała a siłami działającymi na nie, dlatego zwane są też prawami ruchu.
W mechanice kwantowej nie mają zastosowania, w mechanice relatywistycznej obowiązują w ograniczonym zakresie.
Prawo I
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Prawo II
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej,
a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.
$$\mathbf{a =}\frac{\mathbf{F}_{\mathbf{w}}}{\mathbf{m}}$$
Prawo III
Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).
.
Tabela pomiarów:
Zadanie A
Zarejestrowane wartości dla sprężyny A i B przy obciążeniach zwiększających się co 20 g.
| Spr. (a) | Spr. (b) | ||
|---|---|---|---|
| Lp. | m [g] | l[mm] | x=l-l0 [mm] |
| 1 | 0 | 200 | 0 |
| 2 | 20 | 210 | 10 |
| 3 | 40 | 220 | 20 |
| 4 | 60 | 230 | 30 |
| 5 | 80 | 240 | 40 |
| 6 | 100 | 245 | 45 |
| 7 | 120 | 260 | 60 |
| 8 | 140 | 270 | 70 |
| 9 | 160 | 280 | 80 |
| 10 | 180 | 290 | 90 |
| 11 | 200 | 300 | 100 |
Opracowanie wyników:
Wykres zależności x(mm) wydłużenia sprężyny w funkcji masy obciążającej:
Zadanie A:
Za pomocą regresji liniowej w programie Excel wyznaczamy współczynniki kierunkowe zależności liniowej. Jako wartości x przyjęliśmy masę [g], a wartości y to l-l0[mm].
B= $\frac{10mm + 20mm + 30mm + 40mm + 45mm + 60mm + 70mm + 80mm + 90mm + 100mm}{20g + 40g + 60g + 80g + 100g + 120g + 140g + 160g + 180g + 200g} = 0,495455\frac{\text{mm}}{g}$
$$\mathbf{U}\left( \mathbf{a} \right) = 0,0250\frac{m}{\text{kg}}\ \ n = 10\ $$
$$\mathbf{k}_{\mathbf{a}} = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}}{0,495455\frac{m}{\text{kg}}} = 19,7999\ \frac{N}{m} \approx 19,8\frac{N}{m}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{k} \right) = 19,8*\sqrt{{(\frac{0,0061}{0,495455})}^{2} + {(\frac{0,010}{9,811})}^{2}} = 0,24460$$
U(k) = 2, 43 * 0, 24460 = 0, 59438
Sprężyna B:
B= 3,414444$\frac{m}{\text{kg}}\ $≈ 3,40 $\frac{m}{\text{kg}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$
$$\mathbf{U}\left( \mathbf{a} \right) = 0,017\frac{m}{\text{kg}}\ \ n = 9$$
$$\mathbf{k}_{\mathbf{b}} = \frac{9,81\frac{m}{s^{2}}}{3,414444\ \frac{m}{\text{kg}}} = 2,8730885\frac{N}{m} \approx 2,87\frac{N}{m}$$
$$\mathbf{u}\left( \mathbf{k} \right) = 2,87*\sqrt{({\frac{0,017}{3,414444})}^{2}}*\sqrt{({\frac{0,010}{9,811})}^{2}} = 0,0145$$
U(k) = 0.036755
Wnioski:
Współczynnik proporcjonalności nie zależy od masy ciężarka lecz od rodzaju sprężyny. Błędy pomiarów wynikają z wychylenia obciążonej sprężyny, kąt nie był doskonale prosty.