Temat

Temat 18: Ruch złożony

18.1. Ruch punktu: bezwzględny, względny, unoszenia

    Przy rozpatrywaniu ruchu punktu lub ciała w przestrzeni zakładaliśmy dotychczas, że ruch ten badamy względem pewnego układu odniesienia, który         traktowaliśmy jako nieruchomy. W ruchu tym ruch każdego punktu był nieruchomy.
    W rzeczywistości układy odniesienia, które przyjmowaliśmy za nieruchome, mogą poruszać się względem innego układu odniesienia. Wówczas ruch punktu można uważać za ruch punktu złożony z ruchu unoszenia układu ruchomego i ruchu punktu względem układu ruchomego.
W praktycznych obliczeniach możemy przyjmować, że układ nieruchomy jest związany z Ziemią lub ze Słońcem.
    Za przykład ruchu złożonego niech posłuży ruch pasażera (ruch względny) w wagonie jadącego pociągu. Dokładny opis ruchu tego pasażera wymaga uwzględnienia ruchu wagonu (ruchu unoszenia) względem Ziemi.
        Ruch punktu M względem układu nieruchomego Oxyz nazywamy ruchem bezwzględnym.
        Ruch punktu M względem układu ruchomego (względnego) nazywamy ruchem względnym.
        Ruch punktu M, jaki wykonałby on względem układu nieruchomego Oxyz, gdyby go w danej chwili sztywnie związać z układem ruchomym (względnym) , nazywa się ruchem unoszenia.
Ruch unoszenia można także zdefiniować jako ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego. Przyjmijmy nieruchomy układ współrzędnych O1xyz oraz ruchomy układ współrzędnych (układ ruchomy, którego osie stale zmieniają swoje położenie) i punkt M poruszający się dowolnie w układzie ruchomym (rys.18.1).

Rys.18.1

Wprowadźmy wektor-promień punktu M w układzie nieruchomym, wektor-promień punktu M w układzie ruchomym i wektor-promień początku ruchomego układu współrzędnych. Wówczas położenie punktu M w układzie O1xyz określa równanie wektorowe:

(18.1)

Ponieważ

    ,
    ,
    ,
    gdzie , , są wektorami jednostkowymi nieruchomego układu współrzędnych, a , , - wektorami jednostkowymi ruchomego układu współrzędnych.
    Po podstawieniu powyższych równań do równania (18.1) otrzymamy :

   Mnożąc skalarnie równanie (18.2), kolejno przez , , , otrzymujemy współrzędne punktu w układzie bezwzględnym w postaci:

    a mnożąc przez , , otrzymujemy współrzędne w układzie względnym w postaci :

W powyższych równaniach oznaczają zmienne cosinusy kierunkowe kątów między osiami bezwzględnego i względnego układu współrzędnych, na przykład

, .
Pomiędzy dziewięcioma cosinusami istnieje 6 znanych związków:

( 18.5a)

(18.5b)

18.2. Prędkość i przyspieszenie w ruchu złożonym

Prędkość punktu w ruchu złożonym
    Zajmijmy się wyznaczeniem związku między prędkością w ruchu względnym a prędkością tego samego punktu w ruchu bezwzględnym.
Prędkość punktu M względem układu nieruchomego współrzędnych Oxyz nazywamy prędkością bezwzględną (absolutną) i oznaczamy ją symbolem . Prędkość punktu M względem ruchomego układu współrzędnych nazywamy prędkością względną i oznaczamy symbolem .
Prędkość punktu M sztywnie związanego z układem ruchomym względem układu nieruchomego Oxyz nazywamy prędkością unoszenia i oznaczamy ją symbolem . Możemy także powiedzieć, że prędkością unoszenia punktu M w danej chwili nazywamy prędkość punktu złączonego z układem ruchomym i pokrywającego się w tej chwili z punktem M. Różniczkując względem czasu równanie

    ,

    otrzymujemy :

. (18.6)

Bezwzględna prędkość punktu M pokryje się z prędkością unoszenia, jeżeli w chwili t . Wówczas z równania (18.6) otrzymamy :

. (18.7 Prędkość względna punktu M pokryje się z prędkością bezwzględną, jeżeli unieruchomiony układ . Otrzymamy wówczas:

. Równanie (18.6) można więc zapisać w postaci:

Prędkość bezwzględna punktu M jest sumą geometryczną prędkości unoszenia i prędkości względnej.

Wprowadzając nieskończenie mały kąt obrotu wektora względem jego początku i jako prędkość kątową , możemy obliczyć składową prędkości jego końca: , a następnie obliczyć prędkość unoszenia punktu M (rys. 18.2):

Rys.18.2

Przyspieszenie punktu w ruchu złożonym
Analogicznie jak przy obliczaniu prędkości określimy przyśpieszenie bezwzględne , unoszenia i względne . Różniczkując (18.6) względem czasu, znajdujemy przyśpieszenie bezwzględne

. ( 8.11)
Rozpatrując wzór (18.11) podobnie jak (18.6 ), otrzymujemy:

, )

. Pozostałe człony oznaczamy

i nazywamy przyśpieszeniem Coriolisa. Wzór (18.11) można ostatecznie zapisać w postaci

. Przyśpieszenie bezwzględne punktu jest sumą geometryczną przyśpieszeń: unoszenia, względnego i Coriolisa.

Unieruchamiając wektor w układzie ruchomym można obliczyć przyśpieszenie unoszenia, różniczkując względem czasu wyrażenie (18.8)

Ponieważ:

,
więc

. Biorąc pod uwagę zależność Poissona:

przyśpieszenie Coriolisa można zapisać w postaci

. Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i prędkości względnej.

Przyśpieszenie Coriolisa jest równe zeru, jeżeli , albo , lub jeżeli wektor jest równoległy do . Przyśpieszenie to jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory oraz . Wartość wektora wynosi

. (18.19)

Zwrot wektora określamy na podstawie wzoru (6.18) tak, aby patrząc na niego widzieć obrót wektora do wektora w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara (układ prawoskrętny, rys. 18.3).

Rys. 18.3

Przykład:
Tarcza kołowa o promieniu R = 2m obraca się w płaszczyźnie pionowej względem punktu O z prędkością kątową . Po torze prostoliniowym odchylonym o kąt posuwa się punkt M (rys 18.4), którego droga . W chwili t = 0 [s] punkt M znajdował się w punkcie A. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie bezwzględne punktu M po czasie t = 2 [s].