Funkcje wielu zmiennych:

F^(x,y) =… F^(‘x) = … F^(‘y) = … F^(‘’xx) =… F^(‘yy) =… F^(‘’xy) =… F^(‘’yx) =…

Extrema lokalne

F^(‘’xx) =(x0 ; y0)<0 => MAX

F^(‘’xx) =(x0 ; y0)>0 => MIN

Całki funkcji elementarnych:

Wzory:

ʃ dx=x+c

ʃ xⁿdx=1/n+1 * xⁿ⁺¹+c =…

ʃ 1/x dx=lnx * c =…

ʃ a^xdx=a^x/lna + c =…

ʃ e^xdx=e^x +c=…

ʃ (pierwiastek z x) dx= 2/3 (pierwiastek x³) + c=…

ʃ sinx dx=-cosx +c=…

ʃ cosx dx=sinx +c=…

ʃ1/cos²x dx= tgx +c=…

ʃ 1/sin²x dx= -ctg +c=…

ʃ a f(x)dx=a ʃ f(x) dx=……

ʃ f(x)+g(x))dx= ʃ f(x)dx+ ʃg(x)dx=…….

ʃ f(x)-g(x))dx= ʃ f(x)dx- ʃg(x)dx=………….Wzory podstawowe

Całkowanie przez podstawienie:

ʃ f(g(x)) * g(x) dx= ʃ f’(x)g(x)dx t=g(x) dt=g’(x)dx

Całkowanie przez część:

ʃ f(x)*g(x) dx=f(x) g(x)dx

Macierze:

Dodajemy tylko jeśli maja taka sama liczbę kolumn i wierszy

Mnożymy tylko jeśli liczba kolumn macierzy A musi być taka sama jak liczba wierszy macierzy B

Wzory:

Det.-wpisujemy jak liczymy wyznacznik

Wzór Laplace`a – ( detA= (-1) ^{wiersz i kolumna tego co usuwamy z macierzy} * wartość tej

części macierzy która znajduje się w potędze=

Jak liczymy Laplace’m to wybieramy do usuwania zawsze wierz który ma najwięcej zer

, kolumny usuwamy na wszystkie sposoby i zapisujemy wszystkie warianty

i wyliczamy ten ostatni i on da rozwiązanie

Wzory Cramer’a:

Spisujemy wyrażenia z „klamerki” te które znajdują się przed znakiem równości i tworzymy macierz A, a te wyrażenia za równością są częściami macierzy b.Potem wyznaczamy wyznacznik (Det) z macierzy A jeśli nie równa się zero to mamy do czynienia z układem Cramera i jedziemy dalej jeśli jest zero to sprawdzamy czy jest sprzeczny. Jeśli wyszło nam inne niż zero tworzymy macierz A1 i A2. A1 składa się z kolumny b poprzedniej macierzy i kolumny drugiej macierzy A.A2 składa się z pierwszej kolumny macierzy A i kolumny macierzy b.Obliczamydet i potem Wzory Cramera x=det A1/detA y=detA2/det A i powinno być ok.

Pochodne 2 cząstk.: 1. Obliczenie pierwszej pochodnej po x, oraz po y. 2. Dalej robimy drugą pochodną: bierzemy pochodną po x i robimy jeszcze raz po x. Analogicznie z y. 3. Dalej bierzemy pierwszą pochodną po x i robimy drugą pochodną po y. Analogicznie bierzemy pierw. poch. po y i robimy 2 pochodną po x. F’(xy)=F’(yx)

Wyznaczanie extremum lokalnego funkcji: 1. Z otrzymanego wzoru robimy pochodną po x i po y. 2. Robimy drugie pochodne: f’’(xx); f’’(yy); f’’(xy). 3. To co wyszło z pierwszych pochodnych po x i y zapisujemy w klamerce przyrównując oba równania do zera. Obliczamy ten układ (klasycznie, nie Cramerem!!). Wyjdzie pewnie x=0 i y=0. 4. Obliczyć potem według wzoru: W(x;y)= f’’xx * f’’yy – (f’’xy)² jak wynik wiekszy od zera to max lokalne jak mniejsze to min lokalne.

Mnożenie macierzy:Wiersz * kolumna