1
GRUPA I
1.
PODZIAŁ I KLASYFIKACJA SIŁ WYSTĘPUJĄCYCH W CIECZACH GAZACH.
Siły działające w płynach.
Zasadniczy podział tych sił to podział na siły:
•
masowe (objętościowe),
•
powierzchniowe.
Masowe działają na każdy element płynu i są proporcjonalne do masy elementu. Formalnie mogą być zewnętrzne i
wewnętrzne, ale pole zewnętrzne indukuje w płynie analogiczne pole wewnętrzne.
Siły masowe dzielimy na:
1. siły ciężkości związane z polem grawitacyjnym
2. siły bezwładności d'Alamberta w nieinercjalnym układzie odniesienia (np. ciecz w zbiorniku nieruchoma, a
zbiornik porusza się ruchem niestacjonarnym)
3. siły elektromagnetyczne
Wymienione powyżej siły są to siły zewnętrzne.
Siły masowe wewnętrzne to siły bezwładności, wynikające z ruchu niestacjonarnego cieczy.
Siły powierzchniowe:
To siły działające na wyodrębnioną powierzchnię S, po obu stronach tej powierzchni. Z zasady jest to powierzchnia
styku płynu i powierzchni ciała stałego. Może być też tzw. powierzchnia kontrolna wyodrębniająca określoną
objętość elementu płynu z całości, a także powierzchnia rozdziału dwu nie mieszających się cieczy (np.
powierzchnia swobodna )
Do tych sił zaliczamy:
− siły ciśnienia
− siły styczne wywołane tarciem w samym płynie lub płynu o ściany sztywne
− napór cieczy na ściany
− siły hydrodynamiczne będące wynikiem ruchu ciała stałego w płynie (siła nośna na skrzydłach samolotu)
2.
RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI, INTERPRETACJA, POSTAĆ TEGO RÓWNANIA DLA
PRZEPŁYWU JEDNOWYMIAROWEGO.
Interpretacja.
Pole prędkości ma ścisły związek z gęstością płynu (dla ośrodka ciągłego). Związki matematyczne, które łączą te
wielkości noszą nazwę równania ciągłości. Musi być ono spełnione zawsze, niezależnie czy rozpatrujemy dynamikę
czy hydrostatykę. Równanie to wyraża zasadę zachowania masy, tzn., że w zamkniętym układzie fizycznym masa
czynnika nie może ani powstać ani zniknąć (anihilacja?), poza tym nie ma przerw w obszarze w przestrzeni gdzie
rozpatrujemy przepływ. W praktyce, te warunki nie zawsze są spełnione np. kawitacja, przepływy z osobliwościami,
przepływy gdzie zachodzą reakcje chemiczne.
Postać tego równania dla przepływu jednowymiarowego.
Równanie ciągłości ma bardzo istotne zastosowanie praktyczne w analizie przepływów jednowymiarowych (np.
rurociągi). Dla przepływu jednowymiarowego w kierunku np. s pole przekroju A zmienia się wraz z zmienną s.
Gęstość jest funkcją czasu t i zmiennej s: ρ=ρ(t,s).
Pochodna gęstości po czasie ma postać:
Dla przepływu jednokierunkowego można więc zapisać:
2
3.
POWIERZCHNIA EKWIPOTENCJALNA, POSTAĆ RÓWNANIA, PRZYKŁAD
WYSTĘPOWANIA.
Powierzchnia ekwipotencjalna.
Przykładem takiej powierzchni jest powierzchnia swobodna zbiorników wodnych, powierzchnia rozdziału dwu nie
mieszających się cieczy o różnych gęstościach. Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać:
Powyższa zależność wynika z warunku U=const, a stąd dU=0. Z ostatniego równania wynika również, że siły
masowe to wektory prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnej.
W ziemskim polu grawitacyjnym zachodzą warunki: q
x
= q
y
= 0 oraz:
gdzie:
g – przyśpieszenie ziemskie.
Znak minus wynika z przyjętego układu osi współrzędnych; oś z skierowana pionowo w górę, a przyśpieszenie
ziemskie działa w kierunku przeciwnym (do powierzchni ziemi).
4.
RÓWNANIE BERNOULLIEGO DLA CIECZY IDEALNEJ, INTERPRETACJA.
Równanie Bernoulliego może być zapisane w trzech równoważnych sobie postaciach. Wszystkie one wyrażają ta
samą zasadę zachowania energii, ale ta energia wyrażona jest w różnych jednostkach: m
2
s
-2
; kg.s
-2
m
-1
(Pa); m.
Jest to suma różnych rodzajów energii (na jednostkę masy) poruszającego się płynu. Można to też powiedzieć, że
RB wyraża zasadę zachowania energii w odniesieniu do cieczy idealnych, ruch ustalony, występują tylko siły
ciężkości.
Interpretacja graficzna; analizujemy strugę cieczy w rurociągu, traktując ten przepływ jako jednowymiarowy, a
prędkość strugi w rurociągu jest ustalona i równa prędkości średniej.
linia energii
3
Stosując równanie Bernoulliego dla przepływu przedstawionego powyżej otrzymujemy:
gdzie: H jest miarą energii całkowitej.
5.
ZASADA OKREŚLANIA STRAT W PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWODY OSIOWO
SYMETRYCZNE.
Straty na długości przewodu
Z prawo Hagena – Poiseuille’a
w jednostkach ciśnienia straty wyniosą:
λ – współczynnik strat na tarcie dla ruchu laminarnego
λ = 64/Re
λ – dla innych przepływów - turbulentnych wyznacza się doświadczalnie lub zakładając określony model
turbulencji.
λ = f(Re, kształtu, stanu powierzchni )
Straty dzielą się na straty w przewodach (liniowe, lepkości) i straty lokalne. Wielkość strat lokalnych określa
zależność:
gdzie: ζ - współczynnik strat lokalnych, miejscowych.
Określa się go na podstawie badań lub w oparciu o analizę przepływu nielepkiego. Straty lokalne związane są z
zmianą geometrii przewodu (rozszerzenie, przewężenie), kierunku przepływu (kolanka), zaburzeniami związanymi z
armaturą (zawory, kryzy, zasuwy), rozgałęzienia przewodów, itp.
6.
LICZBA FROUDE’A, ZNACZENIE I PRZYKŁAD WYKORZYSTANIA.
Liczba Froudea – stosunek lokalnej siły bezwładności do siły ciężkości
Liczba Freude’a (Fn), dla zjawisk ruchu cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym, gdy występuje powierzchnia
swobodna.
Liczby te muszą mieć taką samą wartość dla warunków badań modelowych i obiektu rzeczywistego.
Jej nazwa pochodzi od Williama Froude'a. Intuicyjnie, liczna Frouda określa stosunek energi kinetycznej cieczy do
energii potencjalnej potrzebnej do odchylenia (wymuszenia) przepływającej cieczy.
4
7.
OPÓR RUCHU CIAŁA, PODZIAŁ, POSTAĆ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU.
Postać współczynnika oporu – współczynnik oporu całkowitego modelu C
Tm
:
5
GRUPA II
1.
KIEDY I W JAKICH WARUNKACH WYSTĘPUJĄ SIŁY
POWIERZCHNIOWE STYCZNE?
Siły powierzchniowe wywołują na danej powierzchni stan naprężeń. Ogólnie jest to pole
tensorowe. Wielkość naprężeń zależy nie tylko od położenia punktu, ale także od orientacji
powierzchni w przestrzeni. Stosunek elementarnej siły powierzchniowej do elementarnej
powierzchni, gdy ta ostatnia zdąża do zera definiuje nam naprężenia powierzchniowe τn :
n, t wersory normalne i styczne do elementu powierzchni dA
τnn - naprężenia normalne do powierzchni
τnt – naprężenia styczne do powierzchni
Siły powierzchniowe występują zawsze niezależnie od tego czy ciecz jest lepka czy nie, w
spoczynku, czy w ruchu. Siły powierzchniowe styczne nie występują w cieczach idealnych.
Przy założeniu cieczy rzeczywistych musi być spełniony dodatkowy warunek: ciecz musi być
w ruchu.
2.
DANE JEST RÓWNANIE W POSTACI WEKTOROWEJ:
( )
V
div
grad
V
gradp
F
dt
V
d
r
r
r
r
r
ν
ν
ν
ρ
3
1
1
2
+
+
−
=
CO PRZEDSTAWIA, INTERPRETACJA.
Jest to równanie Naviera-Stokesa
6
Wyrażenie po lewej stronie przedstawia sumę pochodnej lokalnej i konwekcyjnej. Ostatni człon po prawej
stronie równania (5) odnosi się do przepływów płynów ściśliwych.
Dla płynów nieściśliwych, divV =0 i człon ten jest równy zero. Równanie N-S jest bilansem
sił działających w cieczach rzeczywistych. W analizie przepływu cieczy rzeczywistych,
przyjmuje się z zasady, że siły masowe są znane. Wobec tego w układzie równań (4)
występują cztery niewiadome: 3 składowe pola prędkości i ciśnienie. Równaniem
zamykającym ten układ równań jest znane równanie ciągłości w postaci:
3.
ZASADY OKREŚLANIA NAPORU NA ŚCIANY PŁASKIE, POCHYLONE.
PODAĆ PUNKT PRZYŁOŻENIA WYPADKOWEJ SIŁY NAPORU.
Kierunek działania siły naporu N, jest zawsze prostopadły do powierzchni.
Problem istotny – obciążenie ścian zbiorników, budowli wodnych.
Napór-parcie to siła powierzchniowa jaką wywiera ciecz w stanie spoczynku na dowolnie
zorientowaną w przestrzeni powierzchnię. Rozpatrujemy tylko siłę normalną (stycznej nie ma, bo ciecz jest
nieruchoma). Elementarna
sił naporu dN na element powierzchni dA wynosi:
d N =npdA =nγzdA
gdzie: n – wersor jednostkowy, prostopadły do elemantu powierzchni.
jeśli ciśnienie na zewnątrz jest równe pb to elementarny napór wynosi (przy pominięciu w
dalszych rozważaniach zapisu wektorowego)
dN =(p b+ρg ·z )dA
lub bez uwzględnienia ciśnienia atmosferycznego:
dN =ρg ·zdA
Napór całkowity na powierzchni A wynosi:
7
N =ρg∫zdA
Całka w powyższym wyrażeniu określa moment statyczny powierzchni A, względem osi
leżącej na powierzchni wody. Można ją zastąpić iloczynem pola powierzchni i odległością
środka geometrycznego tej powierzchni od płaszczyzny wody:
∫zdA z A s
Uwzględniając powyższe można napisać, że napór (bez uwzględnienia ciśnienia
atmosferycznego) wynosi:
N =ρgz
s
A.
Napór równy jest więc ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ścian a wysokość
głębokości środka geometrycznego od zwierciadła cieczy.
Pozostaje problem punktu przyłożenia siły naporu. Punkt ten nosi nazwę środka naporu.
Wychodzimy z momentu sił elementarnych i wypadkowej względem osi X, które muszą być
sobie równe.
Jeśli na ciecz
działa dodatkowo
ciśnienie p, to siła
naporu
hydrostatycznego
wynosi:
8
4.
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA RÓWNANIA BERNOULIEGO DO
POMIARU PRĘDKOŚCI LOKALNEJ.
Wykorzystując RB można zagadnienie pomiaru prędkości sprowadzić do pomiaru
ciśnienia statycznego lub ciśnienia spiętrzenia.
Pomiar ciśnienia spiętrzenia – rurka Pitota i Prandtla.
Pomiar ciśnienia statycznego – zwężka Venturiego, kryzy pomiarowe.
Rurka Pitota
Jest to bardzo prosty przyrząd do pomiaru prędkości miejscowej opartej na pomiarze
ciśnienia całkowitego.
Rurka Prandtla
W przestrzeni zamkniętej mamy 2 niewiadome V i p0
Tę niedogodność usuwa rurka Prandtla. Przy zastosowaniu rurki Prandtla mierzymy ciśnienie,
które jest różnicą pomiędzy ciśnieniem statycznym i całkowitym, czyli równe ciśnieniu
dynamicznemu.
p
stat
jest różne od ciśnienia w u-rurce
Zwężka Venturiego
Zwężka Venturiego służy do pomiaru prędkości średniej (wydatku) w przewodzie, a
także prędkości strumienia swobodnego. Na poziomym odcinku przewodu montujemy
przewężenie przekroju. Na tym przewężeniu powstaje spadek ciśnienia, który jest miara
prędkości średniej w przewodzie.
9
5.
RÓWNANIE BERNOULIEGO DLA CIECZY RZECZYWISTEJ,
INTERPRETACJA, PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA p.
Siła oporu przeciwstawiająca się przemieszczaniu dwu płaszczyzn, to siła tarcia → siła
odniesiona do jednostki powierzchni daje naprężenie styczne.
Jeśli ciecz lepka płynie rurociągiem narastają straty przepływu wynikające z
konieczności pokonania sił stycznych. Tracona jest energia, czyli może spadać v, pęd. Tak nie
jest. Prędkość utrzymuje się stała, kosztem spadku ciśnienia. W rurociągu nie spada
prędkość (prawa ciągłości), a ciśnienie.
6.
LICZBA REYNOLDSA. POSTAĆ, INTERPRETACJA, ZNACZENIE W
MECHANICE PŁYNÓW
Liczba Reynoldsa. – wyraża stosunek lokalnej siły bezwładności do sił tarcia lepkiego.
Liczba Reynoldsa (Rn), dla zjawisk będących wynikiem lepkości cieczy:
Rodzaje przepływów lepkich
Doświadczenie Reynoldsa
Re = dv/ ν
to doświadczenie doprowadziło do podziału, klasyfikacji przepływów lepkich na przepływy:
laminarne, turbulentne
10
W przepływie turbulentnym cząsteczka cieczy posiada pulsacje prędkości. W zasadzie jest to
zawsze przepływ 3D. Z turbulencją związana jest tzw. lepkość turbulentna.
Liczba Reynoldsa przy której zachodzi zmiana rodzaju ruchu nosi nazwę liczby krytycznej
Re kr. Nie jest to wartość absolutna (ścisła).
Szereg czynników ubocznych ma wpływ na jej wartość:
- wlot do przewodu
- chropowatość rury, miejscowe nierówności, drgania, zanieczyszczenia cieczy itp.
Często mówimy o dolnej i górnej liczbie Reynoldsa.
<Re kr d – wartość, poniżej której nie udało się obserwować ruchu burzliwego jako trwałego.
Re kr d=2300÷2400
<Re kr g → nie ma mowy o przepływie laminarnym
Generalnie przejście z laminarnego w turbulentny – przy większej liczbie Reynoldsa. Z
turbulentnego w laminarny przy mniejszej liczbie Reynoldsa Re kr d.
Re kr g≈50000, 2300≤Re≤50000 – przepływy niestateczne .
W normalnych warunkach przepływy turbulentne są przepływami dominującymi. Tylko w
szczególnych przypadkach możemy mówić o przepływach laminarnych. Występują one przy
bardzo małych prędkościach i obszarach przepływu (np. szczeliny, łożyska ślizgowe, itp.).
Szczegółowa analiza pola prędkości w pobliżu ścianki wykazała, że rzeczywisty przepływ
składa się z podwarstwy laminarnej (gdzie jest słuszny model cieczy newtonowskiej),
warstwy przejściowej i rdzenia turbulentnego. W takim modelu o stratach decyduje przede
wszystkim tzw. lepkość turbulentna, która jest wielokrotnie większa od lepkości przepływu
laminarnego.
7.
PRĘDKOŚĆ I SIŁY NA PROFILU Ρ.
Przy ruchu ciała w płynie lepkim, na ciało działać będzie siła, która posiada składową prostopadłą do kierunku
wektora prędkości
Składową prostopadła Pz nazywamy siłą wyporu hydrodynamicznego lub siłą nośną.
Składowa równoległa Px jest siła oporu. Siła wypadkowa P jest reakcją hydrodynamiczną.
Siła oporu Px jest wynikiem różnicy ciśnień wokół opływanego ciała (opór ciśnienia) i
naprężeń stycznych na opływanym ciele (opór tarcia):
Px =Pxn+Px τ
Jeśli ciało jest tylko częściowo zanurzone, to w czasie jego ruchu na powierzchni swobodnej
powstaje układ fal. Z tym układem fal związany jest opór falowy. Ten składnik oporu ma
istotne znaczenie w obliczaniu oporu pływania statku.
Opór ciała przedstawia się za pomocą bezwymiarowego współczynnika oporu c x :
gdzie:
S - powierzchnia odniesienia
W wielu zastosowaniach technicznych (samoloty, maszyny hydrauliczne, okręty), elementy
ciał, które wykonują ruch w cieczy są odpowiednio kształtowane. To ukształtowanie ma na
celu uzyskanie maksymalnej wartości siły nośnej, przy minimalizacji siły oporu. Ciała te
nazywamy płatami nośnymi. O ich właściwościach hydrodynamicznych, decyduje kształt
przekroju poprzecznego płata czyli profil.
Podstawowe parametry geometryczne płata i profilu przedstawia rys.
11
GRUPA III
1.
MODELE CIECZY RZECZYWISTYCH, CIECZE NEWTONOWSKIE I
NIENEWTONOWSKIE
Lepkość będziemy kojarzyć z zjawiskiem oporu jaki stawia element płynu, który chcemy odkształcić. To
odkształcenie jest wynikiem zmian prędkości w
przekroju przepływającej cieczy. Wiążemy tu lepkość z zjawiskiem odkształcenia
postaciowego. Odkształcenie postaciowe to zmiana kształtu elementu cieczy.
Z powyższych zależności wynika, że odkształcenie postaciowe Θ elementu płynu jest liniową funkcją prędkości
odkształcenia. Wraz z odkształcaniem elementu płynu, pojawiają się naprężenia styczne, przeciwdziałające temu
odkształceniu. Newton przyjął, że naprężenia te są proporcjonalne do prędkości odkształcenia:
gdzie:
η- współczynnik proporcjonalności noszący nazwę współczynnika lepkości dynamicznej.
n – kierunek normalny do elementu powierzchni opływanego ciała.
Zgodnie z hipotezą Newtona zachowuje się większość gazów i cieczy (woda, oleje,
powietrze). Są jednak ciecze, które nie wykazują właściwości cieczy newtonowskich. Są to
np. krew, pasty, szlamy, lakiery, smoły. Mówimy wówczas o tzw. cieczach
nienewtonowskich.
Zależność naprężenia stycznego od prędkości odkształceń.
1. Ciecz newtonowska
2. Płyn pseudoplastyczny (zawiesiny koloidalne)
3. Płyny tiksotropowe (elastomery)
Prócz wymienionych wyżej spotyka się modele płynów plastyczno lepkich. Są to płyny które
przy małych naprężeniach zachowują się jak ciała stałe. Najprostszym modelem takiego
12
płynu jest model Binghama.(krzywa 4 na rysunku). Oddzielne zagadnienie to modele płynów
fizjologicznych. Stworzenie wiarygodnego modelu np. krwi ludzkiej napotyka na olbrzymie
trudności. Model krwi zależy od cech osobowych człowieka i nie daje się opisać jedną
uniwersalną zależnością.
Płyn doskonały(newtonowski) to płyn w którym nie występują naprężenia styczne, tj. lepkość jest zerowa.
2.
RÓWNANIE N-S MA POSTAĆ:
( )
V
div
grad
V
gradp
F
dt
V
d
r
r
r
r
r
ν
ν
ν
ρ
3
1
1
2
+
+
−
=
PRZY JAKI ZAŁOŻENIACH RÓWNANIE TO BĘDZIE PRZEDSTAWIAŁO
MATEMATYCZNĄ POSTAĆ PRAWA PASCALA?
Jeśli założymy, że ciecz jest w spoczynku, tzn. wektor prędkości V=0, otrzymamy
równania hydrostatyki. Równania te w zapisie skalarnym maja postać:
W wielu zagadnieniach technicznych pomija się wpływ sił masowych. Ma to miejsce np. w
hydraulice siłowej, gdzie te siły są pomijalnie małe w stosunku do sił ciśnienia. Lewa strona
układu równań (7), przyjmuje wówczas wartości zerowe. Z otrzymanych równań
różniczkowych wynika, że ciśnienie jest stałe w całym rozpatrywanym obszarze płynu. Jest to treścią znanego
PRAWA PASCALA.
3.
KRYTERIUM STATECZNOŚCI CIAŁ PŁYWAJĄCYCH CZĘŚCIOWO
WYNURZONYCH.
Na ciało prócz siły wyporu W działa siła ciężkości ciała G
Siła wypadkowa
G
1
=G −W - prawo Archimedesa
W =γV G =γ
c
V
c
Od wartości G1 zależą warunki pływania:
13
14
4.
WYPŁYW PRZEZ MAŁY OTWÓR. WSPÓŁCZYNNIKI WYPŁYWU.
Wypływ przez mały otwór w zbiorniku.
Zakładamy, że poziom cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie. Mały otwór oznacza, że jego pole jest małe w
stosunku do pola powierzchni swobodnej cieczy w zbiorniku. Pozwala to przyjąć, że prędkość cieczy w
zbiorniku jest równa 0.
- mały otwór A
3
<<A
1
Pisząc równanie Bernoulliego dla wydzielonej powierzchnią kontrolną strugi otrzymujemy:
15
przy czym dla przyjętego modelu zachodzi: p
1
=p
3
=p
b
i V
1
≈0 i wobec tego otrzymuje się ostatecznie
zależność na prędkość wypływu cieczy przez mały otwór.
Otrzymana zależność nosi nazwę wzoru Torricellego.
Zjawiska towarzyszące wypływowi.
W warunkach rzeczywistych przekrój strugi wypływającej nie jest równy przekrojowi otworu, a poza tym
rozkład prędkości w strudze nie jest rozkładem jednorodnym. Aby uwzględnić te zmiany wprowadza się dwa
współczynniki poprawkowe:
β – współczynnik kontrakcji
określany jest doświadczalnie lub analitycznie rozpatrując przepływ trójwymiarowy.
Ponieważ prędkość w strudze nie jest prędkością jednorodną, rzeczywista średnia prędkość wypływu jest
mniejsza od teoretycznej: V
R
≠V
t
. Oczywistym jest, że V
R
<V
t
i współczynnik prędkości α wynosi:
Na wielkość współczynnika prędkości wpływa lepkość cieczy, oraz kształt otworu. Rzeczywiste natężenie
wypływu wynosi:
5.
WSPÓŁCZYNNIKI OPORU LINIOWEGO 9TARCIA), CZYNNIKI
WPŁYWAJĄCE NA JEGO WARTOŚĆ.
1/λ
1/2
= -2log(2,5/(Re λ
1/2)
)+S/3,7d
s-chropowatosć, λ-wsp. Strat liniowych. Zależy od przypływu, rodzaju. Bo lambda zależy od Reynoldsa. Dobrze
jest gdy przepływ jest turbulentny.
6.
LICZBA EULERA-POSTAĆ; W JAKICH WARUNKACH PRZEPŁYWU MA
ZNACZENIE?
Liczba Eulera – wyraża stosunek sił ciśnienia do lokalnej siły bezwładności.
Liczba Eulera (Eu), gdy w zjawisku decydujące znaczenie mają siły powierzchniowe (siły ciśnienia):
16
7.
CHARAKTERYSTYKA HYDROSTATYCZNA PROFILU, POSTAĆ
GRAFICZNA.
W wielu zastosowaniach technicznych (samoloty, maszyny hydrauliczne, okręty), elementy ciał, które wykonują
ruch w cieczy są odpowiednio kształtowane. To ukształtowanie ma na celu uzyskanie maksymalnej wartości siły
nośnej, przy minimalizacji siły oporu. Ciała te nazywamy płatami nośnymi. O ich właściwościach
hydrodynamicznych, decyduje kształt przekroju poprzecznego płata czyli profil.
Kształty profili zostały usystematyzowane. Najbardziej rozpowszechnione są profile typu NACA, Gotingen,
Żukowskiego.
Właściwości hydrodynamiczne profilu są znane, jeśli znana jest zależność współczynnika siły nośnej c
z
, siły
oporu c
x
i momentu c
M
.
Charakterystyki profilu podane są najczęściej dla określonego wydłużenia płata λ. Przy innym wydłużeniu
charakterystyki należy przeliczyć na właściwe wydłużeniu. Wzory do przeliczeń oparte są na założeniu
eliptycznego rozkładu cyrkulacji wzdłuż rozpiętości płata. W literaturze często są znane jako wzory Prandtla.