Podstawowe człony układu automatyki.

1. Człon proporcjonalny.

Y(t)=k∙u(t)

G(s)=k

H(s)=$\frac{1}{s} \bullet G\left( s \right) = \frac{k}{s}$

h(t)=k∙1(t)

1. Człon inercyjny I rzędu.

G(s)=$\frac{k}{s(Ts + 1)}$

H(s)=$\frac{k}{s(Ts + 1)}$

$$h\left( t \right) = k(1 - e^{- \frac{1}{T} \bullet t})$$

T − Stala czasowa

tgα=$\frac{k}{T}$

Stała czasowa jest to czas po jakim sygnał wyjściowy z obiektu będący odpowiedzią skokową osiągnąłby stan ustalony gdyby narastał liniowo.

h(T) = k(1−e⁻¹) = k • 0, 367

1. Człon oscylacyjny.

T= stała czasowa

Jeśli ξ=0 to T- okres drgań.

ξ- współczynnik tłumienia 0 ≤ ξ ≤ 1

Odpowiedź impulsowa:

$$G(s) = \frac{k}{T^{2}s^{2} + 2\xi Ts + 1}$$

Odpowiedź skokowa:

$$H\left( s \right) = \frac{k}{S(T^{2}s^{2} + 2\xi Ts + 1)}$$

$$h\left( t \right) = k\lbrack 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \xi}} \bullet e^{- \frac{3\xi}{T} \bullet t}\sin\left( \frac{\sqrt{1 - \xi^{2}}}{T}t + \varphi \right)\rbrack$$

$$\varphi = arctg\frac{\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\xi}$$

$\text{\ \ \ \ \ \ }e^{\frac{\xi}{T} \bullet t}$

ξ=0 – bez tłumienia:

Przebieg aperiodyczny:

1. Człon całkujący idealny.

$$Y\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}}\int_{0}^{t}{u\left( \tau \right)\text{dτ}}$$

T_c- stała czasowa, stała całkowania

$$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{c} \bullet s} = \frac{\frac{1}{T_{c}}}{s} = \frac{k}{s}$$

$k = \frac{1}{T_{c}}$ współczynnik wzmocnienia

$$H\left( s \right) = \frac{1}{T_{c}s^{2}}$$

$h\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}} \bullet$t

$\alpha = arctg\frac{1}{T_{c}}$

1. Człon całkujący rzeczywisty (z inercją).

$$\frac{T \bullet dy(y)}{\text{dt}} + Y\left( t \right) = \frac{1}{T_{c}}\int_{0}^{t}{u\left( \tau \right)\text{dτ}}$$

$$G\left( s \right) = \frac{1}{T_{c}} \bullet \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)}$$

$$H\left( s \right) = \frac{1}{s} \bullet \frac{1}{s\left( Ts + 1 \right)}$$

$h\left( t \right) = k \bullet t - kT(1 - e^{- \frac{t}{T}}$)

$$\alpha = arctg\frac{1}{T_{c}}$$

1. Człon różniczkujący idealny.

$$y\left( t \right) = T_{d}\frac{du(t)}{\text{dt}}$$

G(s) = T_d • s

$$H\left( s \right) = T_{d} \bullet s \bullet \frac{1}{s} = T_{d}$$

h(t) = T_dδ(x)

1. Człon różniczkujący rzeczywisty.

$$T\frac{dy(t)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = T_{d}\frac{du(t)}{\text{dt}}$$

$$G\left( s \right) = \frac{T_{d} \bullet s}{Ts + 1}$$

$$H\left( s \right) = \frac{T_{d}}{Ts + 1}$$

$$h\left( t \right) = \frac{T_{d}}{T}e^{- \frac{1}{T}t}$$

1. Człon czysto opóźniający (opóźnienie transportowe).

y(t) = k • u(t − T₀)

G(s) = k • e^−sT₀

h(t) = k • 1(t − T₀)

1. Człon złożony – inercyjny II rzędu.

$$T_{1}T_{2}\frac{dy^{2}(t)}{dt^{2}} + \left( T_{1}T_{2} \right)\frac{\text{dy}\left( t \right)}{\text{dt}} + y\left( t \right) = k \bullet u(t)$$

$$G\left( s \right) = \frac{k}{(T_{1}s + 1)(T_{2}s + 1)} = \frac{k_{1}}{(T_{1}s + 1)} + \frac{k_{2}}{(T_{1}s + 1)}$$

$$H\left( s \right) = k\frac{1}{s \bullet \left( T_{1}s + 1 \right)\left( T_{2}s + 1 \right)}$$

$h\left( t \right) = k\lbrack 1 - \frac{1}{T_{1} - T_{2}}(T_{1}e^{- \frac{1}{T}t}$-$T_{2}e^{- \frac{1}{T}t})$]

$$G\left( s \right) = \frac{k}{Ts + 1} \bullet e^{- sT_{o}}$$

Regulatory:

1.Typu P(proporcjonalny)

Ch. Skokowa:

2. typu I (całkujący)

Ti- stała całkowania

3. typu D (różniczkujący)

Td- stała różniczkowania

4. Typu PI (proporcjonalno całkujący)

5. Typu PD

6. Typu PID

Stabilność liniowych U.A.R

Liniowy UAR nazywamy stabilnym, jeżeli po skończonej wartości wymuszenia (zakłócenia) i dla dowolnych warunków początkowych, wartość wielkości wyjściowej y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej (dla t). Jeżeli UAR jest stabilny asymptotycznie to po każdym działającym na niego chwilowo sygnale wejściowym układ uzyskuje pierwotny stan równowagi czyli powraca do pierwotnej wartości ustalonej.

Ogólne kryterium stabilności: Liniowy UAR jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego M(s)=0 (pierwiastki mianownika transmitancji opisującej ten układ) leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej z wyłączeniem osi urojonej.

Warunek konieczny stabilności: aby zachodziła stabilność wszystkie współczynniki mianownika transmitancji ai muszą istnieć (różne od 0) i mieć jednakowe znaki.

Warunek wystarczający(kryt RUTHA): warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności asymptotycznej jest, aby wszystkie współczynniki w pierwszej kolumnie tablicy Rutha istniały i były różne od 0.

Kryterium Nyquista: Jeżeli układ otwarty jest stabilny to będzie on stabilny również po jego zamknięciu jeżeli charakterystyka amplitudowo- fazowa(Nyquista) układu otwartego nie obejmuje punktu (-1, j0).

Zapas stabilności: 1. Zapas modułu jest to krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie, przy niezmiennym argumencie układu otwartego aby układ zamknięty znalazł się na granicy niestabilności. 2. Zapas fazy jest to wartość zmiany argumentu (q=fi) transmitancji widmowej układu otwartego, przy niezmiennym wzmocnieniu która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy niestabilności.

Ocena jakości regulacji:

1.Stabilnosć, 2. Dokładność statyczna- jest to zdolność układu do utrzymywania wartości regulowanej y(t) jak najbliżej wartości zadanej yo(t) w stanie ustalonym.

Wnioski: w przypadku wymuszenia skokowego (skokowa zmiana wartości zadanej jedynie w układzie astatycznym (z całkowaniem ) możliwe jest osiągnięcie zerowego błędu statycznego. Dla układu bez całkowania nie można uzyskać zerowego błędu statycznego. Zwiększanie wzmocnienia daje w prawdzie mniejszy błąd statyczny, ale może powodować oscylacje a nawet niestabilność układu. Przypadek 2: wnioski: Przy wymuszeniu liniowym (liniowo narastająca wartość zadana), zerowy błąd statyczny możemy uzyskać tylko w przypadku układów posiadających co najmniej astatyzm rzędu drugiego. Układ bez całkowania (statyczny) nie jest w stanie śledzić liniowo narastającego wymuszenia. Przypadek 3: W przypadku wymuszenia parabolicznego zerowy błąd statyczny można uzyskać tylko w przypadku układów posiadających co najmniej astatyzm rzędu trzeciego. 3. Dokładność dynamiczna- określa zdolność układu do wiernego i szybkiego śledzenia wartości zadanej.

Sterowanie – nazywamy każde celowe oddziaływanie (wpływanie) na obiekt (przebieg procesu technologicznego) w taki sposób aby osiągnęły zamierzone cele.

Klasyfikacja ukł. sterowania:

-Klasyczne ukl. sterowania.

-Adaptacyjne ukł. sterowania.

Klasyczne ukl. Sterowania:

1 ukl. otwarte –bez sprężenia zwrotnego;

2 ukl. zamknięte – z sprężeniem zwrotnym;

URA nazywamy ukł. sterowania ze sprzężeniem zwrotnym który zapewnia bez ingerencji człowieka wymagana zmienność jednej lub kilku wielkości charakteryzujący proces technologiczny. Wielkości te nazywamy wielkościami regulowanymi.

Klasyfikacja UAR:

a) ze względu na charakter członów składowych ukł:

1)liniowe (spełniają zasadę superpozycji, dają się opisać za pomocą liniowego ukł. różniczkującego)

2)nieliniowe ( nie spełniają zasadę superpozycji, nie dają się opisać za pomocą układu różniczkującego)

b) ze względu na liczbę wejścia i wyjścia:

1)jednowymiarowe: SISO

2)wielowymiarowe: MISO, MIMO

c) ze względu zadanie:

UR stałowartościowej, UR pomiarowej, UR nadążnej, UR ekstremalnej.

Model Matematyczny – opisuje statyczne i dynamiczne właściwości ukł. automatyki i jest niezbędnym narzędziem do przeprowadzenia analizy i syntezy tych układów.

- właściwości statyczne ustalamy w stanie ustalonym,

- właściwości dynamiczne ustalamy w stanie nieustalonym.

Podział modeli: 1) liniowe, nieliniowe,

2) o parametrach skupionych, o parametrach rozłożonych, 3) stacjonarne ( zależne od czasu ), niestacjonarne ( nie zależne od czasu ).

Układ równań stanu:

X’(t)=AX(t)+Bu(t) - r. stanu,

y(t)=CX(t)+Du(t) - r. wyjścia,

X’(t) – wek. pochodnych zmiennych stanu,

u(t) – wek. wejść,

y(t) – wek. wyjść.

Równanie stanu:

A – macierz stanu,

B – macierz wejścia, sterowania.

Równanie wyjścia:

C – macierz wyjścia, D – macierz bezpośredniego sterowania.

Transmitancja operatorowa: jest to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach.

Transmitancja widmowa: jest to stosunek wielkości wyjściowej do wielkości wejściowej gdy są one zespolonymi sygnałami harmonicznymi.

- przesunięcie zależy od stałych czasowych,

- amplituda będzie zależała od wzmocnienia.

Charakterystyka częstotliwościowa: zależności modułu oraz przesunięcia fazowego od częstotliwości w stanie ustalonym.

Charakterystyka czasowa: przedstawiają odpowiedz z dziedzinie czasu y(t) na standardowe wymuszenie u(t).

1 .Cha-ka impulsowa:

u(t)=·(t), U(s)=L[·(t),]=1 , Y(s)=G(s)·X(s), Y(s)=G(s),

g(t)=L^-1[G(s)]

Wartość początkowa dla impulsu:

Wartość końcowa dla impulsu:

2. Cha-ka skokowa:

u(t)=1(t) , L[1(t)]=1/s

Y(s)=G(s)·U(s), Y(s)=G(s)·1/s, H(s)=1/sG(s)

h(t)= L^-1[H(s)]= L^-1[1/sG(s)]

Wartość początkowa dla skoku:

Wartość końcowa dla skoku:

Równanie charakterystyczne — równanie, powstające w wyniku przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera:

Może służyć do badania stabilności układu.

Obiekty regulacji i identyfikacji:

- obiekt statyczny: charakteryzuje się nowym stanem ustalonym po wystąpieniu zakłócenia skokowego (nie posiadają całkowania )

Przykład:

- Obiekt astatyczny: to takie, które pa zakłóceniu skokowym nie osiągają nowego stanu ustalonego (posiadają działanie całkujące ).

Identyfikacja obiektu sterowania: jest to wyznaczanie modelu matematycznego tego obiektu na podstawie przeprowadzonych eksperymentów identyfikacyjnych lub wiedzy eksperta.