1. Cel ćwiczenia

Pomiar oporu elektrycznego metalu i półprzewodnika w funkcji temperatury oraz

wyznaczenie temperaturowego współczynnika rezystancji (oporu) metalu

i szerokości przerwy energetycznej w półprzewodniku

2. Tabele z wynikami oraz wykresy

Tabela dla R₁

Tabela dla R₂

Tabela dla R₃

Tabela dla R₄

3. Potrzebne wzory i ich wyprowadzenia

R_m = f(t)

R_m(t) = R₀(1+α*t)

R_m(t) = R₀ * α * t + R₀ → a = R₀ * α, b = R₀

$$\alpha = \frac{a}{b}$$

$$\alpha = \left| \frac{\partial\alpha}{\partial a}a \right| + \left| \frac{\partial\alpha}{\partial b}b \right| = \left| \frac{1}{b}a \right| + \left| \frac{a}{b^{2}}b \right|$$

R = 0, 5%rdg + 1dgt,  gdzie dgt = 0, 1

T = t + 273

$$T = \left| \frac{\partial T}{\partial t}t \right| = t$$

$$\frac{1000}{T} = \left| \frac{\partial\frac{1000}{T}}{\partial T}T \right| = \left| \frac{500}{T^{2}} \right|$$

y = a * x + b

$y = \left| \frac{\partial y}{\partial a}a \right| + \left| \frac{\partial y}{\partial x}x \right| = \left| x*\Delta a \right| + \left| a*\Delta x \right|$ - skorzystam do obliczenia lnR_s

$$\ln R_{s}\left( \frac{1000}{T} \right) = 10^{- 3}*\frac{E_{g}}{2k}*\frac{1000}{T} + lnR_{\text{os}} \rightarrow a = 10^{- 3}*\frac{E_{g}}{2k},b = lnR_{\text{os}}$$

$$E_{g} = 2*10^{3}*k*a,\ gdzie\ k = 1,3806*10^{- 23}\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

$${E}_{g} = \left| \frac{\partial E_{g}}{\partial a}a \right| = \left| 2*10^{3}*k*a \right|$$

4. Przykładowe obliczenia

Na początku przeprowadzę obliczenia dla R₁. Obliczenia R₂ i R₃ wyglądają analogicznie, a później przeprowadzę obliczenia dla R₄ (R_m).

Najpierw korzystając z programu Regresja liniowa aby wyliczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz b oraz ich niepewności ale żeby to zrobić najpierw muszę zamienić stopnie na kelwiny oraz policzyć logarytm naturalny z R_s. Obliczenia przeprowadzę tylko dla jednej wartości, resztę obliczam analogicznie.

Aby przeliczyć temperaturę ze stopni Celsjusza na Kelwina można posłużyć się wzorem:

T = t + 273 = 18, 7 + 273 = 291, 7 [K]

Liczę również jej niepewność:

$$T = \left| \frac{\partial T}{\partial t}t \right| = t = 0,5\left\lbrack K \right\rbrack$$

Ja jednak skorzystałem z bardziej dokładnej metody. Funkcji w Exelu.

R_s = 133, 4 [Ω]

lnR_s = 4, 89

Przy okazji liczę również niepewność R_s

R_s = 0, 5%rdg + 1dgt,  gdzie dgt = 0, 1

R_s = 0, 5%*133, 4 + 1 * 0, 1 = 6, 77 [Ω]

$$\sigma\Delta R_{s} = \frac{6,8 - 6,77}{6,77}*100\% \approx 0\%\ dla\ \Delta R_{s} \approx 6,8\ \left\lbrack \Omega \right\rbrack$$

Po przeliczeniu wszystkich wartości mogę sporządzić wykres funkcji w programie Regresja liniowa. Otrzymałem następujące wartości:

a=	2, 965
a=	0, 04029
b=	−5, 20
b=	0, 12

Teraz policzę jeszcze zaokrąglenia niepewności a i b.

$$\sigma a = \frac{0,041 - 0,04029}{0,04029}*100\% \approx 2\%\ dla\ a \approx 0,041$$

$$\sigma b = \frac{0,12 - 0,12}{0,12}*100\% \approx 0\%\ dla\ b \approx 0,12$$

Dla potrzeb zadania liczę również $\frac{1000}{T}$, ΔlnR_s

$$\frac{1000}{T} = \left| \frac{\partial\frac{1000}{T}}{\partial T}T \right| = \left| \frac{500}{{291,9}^{2}} \right| = 0,0058\ \left\lbrack K^{- 1} \right\rbrack$$

$$\sigma\frac{1000}{T} = \frac{0,006 - 0,0058}{0,0058}*100\% \approx 2\%\ dla\ \frac{1000}{T} \approx 0,006\left\lbrack K^{- 1} \right\rbrack$$

$$y = \left| \frac{\partial y}{\partial a}a \right| + \left| \frac{\partial y}{\partial x}x \right| = \left| x*\Delta a \right| + \left| a*\Delta x \right| = \left| \frac{1000}{T}\Delta a \right| + \left| a*\Delta\frac{1000}{T} \right|$$

$$\Delta\ln R_{s} = \left| \frac{1000}{T}\Delta a \right| + \left| a*\Delta T \right| = \left| \frac{1000}{291,9}0,04029 \right| + \left| 2,965*\frac{500}{{291,9}^{2}} \right| = 0,1555$$

$$\sigma\Delta\ln R_{s} = \frac{0,16 - 0,1555}{0,1555}*100\% \approx 3\%\ dla\ \Delta\ln R_{s} \approx 0,16$$

Następnie liczę szerokość przerwy energetycznej oraz jej niepewność.

E_g = 2 * 10⁻³ * k * a = 2 * 10³ * 1, 3806 * 10⁻²³ * 2, 965 = 8, 19 * 10⁻²⁰[J]

$${E}_{g} = \left| \frac{\partial E_{g}}{\partial a}a \right| = \left| 2*10^{3}*1,3806*10^{- 23}*0,04029 \right| = 1,11*10^{- 21}\left\lbrack J \right\rbrack$$

I przeliczam na elektronowolty:

8, 19 * 10⁻²⁰[J] = 0, 511 [eV]

1, 11 * 10⁻²¹[J] = 0, 007 [eV]

Liczę również niepewność $\frac{\Delta E_{g}}{E_{g} = 1\%}$

Następne obliczenia przeprowadzam dla R₄.

Korzystając z programu Regresja liniowa aby wyliczyć współczynnik kierunkowy a oraz wyraz b oraz ich niepewności.

a=	0, 3135
a=	0, 002285
b=	102, 30
b=	0, 1652

Posiadając te dane mogę policzyć temperaturowy współczynnik oporu oraz jego niepewność i zaokrąglenie.

$$\alpha = \frac{a}{b} = \frac{0,3135}{102,3} = 0,00306$$

$$\alpha = \left| \frac{\partial\alpha}{\partial a}a \right| + \left| \frac{\partial\alpha}{\partial b}b \right| = \left| \frac{1}{b}a \right| + \left| \frac{a}{b^{2}}b \right| = \left| \frac{1}{102,3}*0,002285 \right| + \left| \frac{0,3135}{{102,3}^{2}}*0,1652 \right| = 0,000027285$$

$$\sigma\Delta\alpha = \frac{0,00003 - 0,000027285}{0,000027285}*100\% \approx 9,96\%\ dla\ \Delta\alpha \approx 0,00003$$

Dla potrzeb zadania liczę również niepewność R_s.

R_s = 108, 6 Ω

R_s = 0, 5%rdg + 1dgt,  gdzie dgt = 0, 1

R_s = 0, 5%*108, 6 + 1 * 0, 1 = 5, 53Ω

$$\sigma\Delta R_{s} = \frac{5,6 - 5,53}{5,53}*100\% \approx 1\%\ dla\ \Delta R_{s} \approx 5,6\ \left\lbrack \Omega \right\rbrack$$

Liczę również niepewność $\frac{\Delta\alpha}{\alpha = 1\%}$

5. Wnioski

Błędy pomiarowe i niepewności wyszły małe więc można stwierdzić, że wszystkie pomiary zostały przeprowadzone dokładnie i solidnie. Opór metalu wraz ze wzrostem temperatury rośnie i wykazuje on charakter liniowy. Natomiast w półprzewodniku opór maleje mając również charakter liniowy.