Nr ćwiczenia: 102	Data: 17.11.2011	Imię i nazwisko: Agnieszka Kubiak	Wydział: WBMiZ	Semestr: pierwszy	Grupa: A1 nr lab. 2
Prowadzący: dr Ryszard Skwarek	Przygotowanie:	Wykonanie:	Ocena:

Temat: Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną

1.Podstawy teoretyczne:

Odkształcenie sprężyste – makroskopowa deformacja ciała wskutek zmiany odległości zanikająca po odjęciu działania siły zewnętrznej.

Odkształcenie plastyczne - makroskopowa deformacja ciała wskutek zmiany odległości niezanikające całkowicie po odjęciu działania siły zewnętrznej.

Naprężenie normalne – stosunek siły F_n normalnej (prostopadłej) do powierzchni S

$$\sigma = \frac{F_{n}}{S}$$

Naprężenie styczne - stosunek siły F_s stycznej do powierzchni S

$$\tau = \frac{F_{n}}{S}$$

Prawo Hooke’a (zależność odkształcenia od naprężenia) - odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

τ = Gφ

φ-miara deformacji kątowej

G- moduł sztywności

Moduł sztywności (skręcenia) - -współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Dla metody dynamicznej wynosi:

$$G = \frac{8\pi lI_{1}}{r^{4}\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)}$$

r - promień drutu,

l - długość drutu

T - okres drgań wibratora nieobciążonego lub obciążonego wstępnie

T₁ - okres drgań wibratora obciążonego znanymi masami

I₁ – moment bezwładności, który obliczamy ze wzoru:

I₁ = NI₀ + Nmd²

N – liczba walcowych obciążników,

m – masa walcowych obciążników

I₀ –moment bezwładności pojedynczego walcowego obciążnika względem jego osi symetrii

d - odległość obciążników od wibratora

Zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym: wychylenie wraz z upływem czasu maleje, zbliżając się do 0, czyli stanu spoczynku ciała.

Okresem T ruchu harmonicznego jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia albo cyklu (to jest najkrótszy czas, po upływie którego ruch zaczyna się powtarzać.

$$T = \frac{1}{f}$$

Czynności pomiarowe:

Pomiar długości i szerokości pręta, pomiar średnicy i wagi każdego walcowego obciążnika, pomiar długości kołków wibratora od środka, pomiar okresu 10 wahnięć wibratora bez obciążników i z obciążnikami na odpowiednich kołkach za pomocą stopera.

Streszczenie ćwiczenia:

Zmierzono długość i szerokość pręta, średnicę i wagę każdego obciążnika i długość kołków wibratora od środka. Zmierzono czas 10 wahnięć wibratora bez obciążenia, następnie obciążono jego cztery wewnętrzne kołki obciążnikami i dokonano pomiaru. Czynność powtórzono dla obciążników na środkowych kołkach i zewnętrznych. Obliczono moment bezwładności i moduł sztywności dla wszystkich rozkładów mas. Obliczono średnią arytmetyczną wyników i odchylenie standardowe. Zaokrąglono wyniki i zapisano wynik z błędem.

2.Wyniki pomiarów:

Długość pręta:	163cm = 1,63m
Średnica pręta:	0,1cm = 10^-3m
Promień pręta (r):	0,05cm = 5 ∙ 10^-4m
Masa ciężarka (m):	94g = 94 ∙ 10^-3kg
Średnica ciężarka:	3,2cm = 32 ∙ 10^-4m
Promień ciężarka (R):	16 ∙ 10^-4m
Odległość wewnętrznych kołków od średnicy (d1):	5cm = 5 ∙ 10^-2m
Odległość środkowych kołków od średnicy (d2):	10cm = 10^-1m
Odległość zewnętrznych kołków od średnicy (d3):	15cm= 15 ∙ 10^-2m

Ilustracja rozkładów obciążeń:

Pomiar okresu wibratora:

Rodzaj wibratora	Okres 10 wahnięć [s]
Bez obciążenia	41,59
Z obciążeniem na długości d1	49,21
Z obciążeniem na długości d2	68,31
Z obciążeniem na długości d3	90,62

3.Obliczenia

1. Obliczenie momentu bezwładności dla pojedynczego walcowego obciążnika:

$$I_{0} = \frac{1}{2}mR^{2}$$

$$I_{0} = \frac{1}{2}94*10^{- 3}*\left( 16*10^{- 4} \right)^{2} = 47*10^{- 3}*256*10^{- 11} = 12032*10^{- 11}\left\lbrack kg*m^{2} \right\rbrack$$

I₀=12032*10⁻¹¹[kg*m²]

2.Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora bez obciążenia:

I₁ = NI₀ + Nmd²

I₁ = 0 * 12032 * 10⁻¹¹ + 0 * 94 * 10⁻³0² = 0[kg*m²]

$$G_{0} = \frac{8\pi lI_{1}}{r^{4}\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)}$$

$$G_{0} = \frac{8\pi*1,63*0}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {41,59}_{}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = 0\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack$$

4. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d₁:

I_d1 = NI₀ + Nmd₁²

I_d1 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 05² = 9, 88 ⋅ 10⁻⁴

5. Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d₁:

$$G_{d1} = \frac{8\pi lI_{d1}}{r^{4}\left( T_{d1}^{2} - T^{2} \right)}$$

$$G_{d1} = \frac{8*3,14*1,63*9,88*10^{- 4}}{{(0.5*10^{- 4})}^{4}*\left( {49,21}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{404,5425*10^{- 4}}{6,25*10^{- 11}*691,896} = 9,355*10^{7}$$

G_d1=9, 355*10⁷[Pa]

6. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d₂:

I_d2 = NI₀ + Nmd₂²

I_d2 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 1² = 3, 808 ⋅ 10⁻³

7. Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d₂:

$$G_{d2} = \frac{8\pi lI_{d2}}{r^{4}\left( T_{d2}^{2} - T^{2} \right)}$$

$$G_{d2} = \frac{8*3,14*1,63*3,808*10^{- 3}}{{(0,5*10^{- 4})}^{4}*\left( {68,31}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{155,9208*10^{- 3}}{6,25*10^{- 10}*2936,528} = 8,496*10^{7}$$

G_d2=8, 496*10⁷[Pa]

8. Obliczenie momentu bezwładności dla wibratora obciążonego na długości d₃:

I_d3 = NI₀ + Nmd₃²

I_d3 = 4 ⋅ 0, 000012 + 4 ⋅ 0, 094 ⋅ 0, 15² = 8, 508 ⋅ 10⁻³

9.Obliczenie modułu sztywności dla wibratora obciążonego na długości d₃:

$$G_{d3} = \frac{8\pi lI_{d3}}{r^{4}\left( T_{d3}^{2} - T^{2} \right)}$$

$$G_{d3} = \frac{8*3,14*1,63*8,508*10^{- 3}}{{(0,5*10^{- 4})}^{4}*\left( {90,62}^{2} - {41,59}^{2} \right)} = \frac{348,3652*10^{- 3}}{6,25*10^{- 10}*6482,256} = 8,599*10^{7}$$

G_d3 = 8, 599*10⁷[Pa]

Zestawienie wyników dla modułu sztywności:

Gd1 = 9, 355 * 10^7[Pa]
Gd2 = 8, 496 * 10^7[Pa]
Gd3 = 8, 599 * 10^7[Pa]

4.Obliczanie błędów pomiaru:

Błędy systematyczne:

ΔT=±1[s]

Δl=±2 * 10⁻³[m]

ΔR = ±10⁻⁴[m]

ΔM = ±10⁻⁴[kg]

Błąd wyliczenia momentu bezwładności:

$$I = \mid \frac{\partial I}{\partial R}\Delta R \mid + \mid \frac{\partial I}{\partial M}\Delta M \mid = \mid 2MR\Delta R \mid + \mid R^{2} + {2d}^{2}\Delta M \mid$$

ΔI₁ = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)² + 2 * (0,05)² * 0, 001 ∣ =2, 79008 * 10⁻⁴

ΔI₂ = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)² + 2 * (0,1)² * 0, 001 ∣ =2, 76048 * 10⁻⁴

ΔI₃ = ∣2 * 0, 094 * 0, 016 * 0, 001 ∣ + ∣ (0,016)² + 2 * (0,15)² * 0, 001 ∣ =3, 01048 * 10⁻⁴

Błąd wyliczenia modułu sztywności:

$$\overset{\bar{}}{T} = \frac{49,21 + 68,31 + 90,62}{3} = 69,38$$

$$G = \mid \frac{\partial G}{\partial l}\text{Δl} \mid + \mid \frac{\partial G}{\partial T}\text{ΔT} \mid = \mid \frac{8\text{πl}}{r^{4}(T_{1,2,3sr}^{2} - T_{sr}^{2})}\text{Δl} \mid + \mid \frac{- 8\pi \cdot l \cdot I}{r^{4}(T_{1,2,3sr}^{2} - T_{sr}^{2})(T_{1,2,3sr} + T_{sr})}\text{ΔT} \mid$$

$$\Delta G_{1} = \mid \frac{8*3,14*1,63}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {69,38}^{2} - {49,21}^{2} \right)}*{2*10}^{- 3} \mid + \mid \frac{- 8*3,14*1,63*9,88 \cdot 10^{- 4}}{\left( 0,5*10^{- 4} \right)^{4}*\left( {69,38}^{2} - {49,21}^{2} \right)*118,59}*1 \mid = 0,05249*10^{9}$$

ΔG₂ = 0, 01959815 * 10⁹

ΔG₃ = 0, 0123842 ⋅ 10⁹

$$\overset{\overline{}}{G} = 8,81667*10^{7}$$

$$\overset{\overline{}}{G} = 2,35897*10^{7}$$

$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 9,355*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2} + \left( 8,496*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2} + \left( 8,599*10^{7} - 8,81667*10^{7} \right)^{2}}{6}\ }$$

σ = 0, 271 ⋅ 10⁷

ΔG_P = 3σt₃=2,359* 10⁷

$$\Delta G_{C} = \Delta G_{p} + \Delta\overset{\overline{}}{G} = 3,416*10^{7}$$

G=8, 817*10⁷±3, 416*10⁷[Pa]

Po zaokrągleniu: G=(8±0,3) [Nm^-1rad^-1]

4.Wnioski:

Po wyliczeniu średniej wartości modułu sztywności zakładam pewną niedokładność w obliczeniach, odczytując wartości tablicowe, wnioskuję, że metalem z którego wykonany jest badany przeze mnie drut – jest stal. Wartość zbadana niewiele odbiega od tablicowej. Można założyć ze ćwiczenie zostało wykonane poprawnie.