37. Defekt sieci i wyrównanie swobodne.

sieć geodezyjna - sieć punktów geodezyjnych, których położenie (sytuacyjne - sieci poziome, wysokościowe - sieci niwelacyjne) określone zostało przy użyciu metod geodezyjnych, jednorodnych

wyrównanie wyników pomiarów - wyznaczenie estymatora wartoÅ›ci prawdziwej mierzonej wielkoÅ›ci; w przypadku, gdy odchylenie standardowe, okreÅ›lajÄ…ce dokÅ‚adność pomiaru nie jest znane, należy również wyznaczyć estymator tego parametru (m₀)

estymator - statystyczne oszacowanie rozważanej wielkości, funkcja wyników obserwacji

Defekt sieci

Połączenie sieci z układem współrzędnych

Obserwacje służą do wzajemnego określenia położenia punktów, ale same w sobie nie zapewniają takiego powiązania sieci z układem współrzędnych, aby możliwe było obliczenie tych współrzędnych.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę układ równań obserwacyjnych o postaci:

V = A X - L

Zawierający jako niewiadome pośredniczące współrzędne wszystkich punktów sieci, to okaże się, że rząd macierzy A (liczba niezależnych liniowo kolumn) jest mniejszy od liczby niewiadomych pośredniczących.

r (A) < k

r (A) - rzÄ…d macierzy A,

k - liczba niewiadomych pośredniczących.

Defekt sieci „d” - różnica miÄ™dzy liczbÄ… niewiadomych poÅ›redniczÄ…cych „k” a rzÄ™dem macierzy A „r(A)”.

d = k - r(A)

Aby móc wyrównać sieć i uzyskać współrzędne w określonym układzie należy usunąć defekt sieci, tzn. doprowadzić do takiego stanu, aby r = k rząd macierzy A był równy liczbie niewiadomych pośredniczących.

Defekt sieci może być spowodowany dwiema przyczynami:

1. wadliwą konstrukcją sieci uniemożliwiającą jednoczesne określenie położenia pojedynczych punktów lub ich grup względem pozostałych punktów konstrukcji.

Przykład.

sieć pozioma; do punktu 5 nie pomierzono kierunku

2. brakiem powiązania sieci z układem współrzędnych.

Stosownie do tego wyróżnia się:

1. defekt konstrukcji ( konfiguracji sieci ) d_k równy liczbie obserwacji brakujących w modelu do jednoczesnego określenia wzajemnego położenia punktów sieci,

2. defekt układu d_u równy liczbie nie określonych w modelu parametrów wiążących sieć z układem współrzędnych,

Defekt sieci jest sumą defektu konstrukcji i układu.

d = d_k + d_u

Defekt konstrukcji d_k może być spowodowany tylko wadliwym projektem sieci; jest łatwy do wykrycia i usunięcia.

W geodezyjnych sieciach niwelacyjnych d_u = 1, tzn. sieć może ulegać tylko przesunięciu w górę lub w dół.

Mamy dwa sposoby usunięcia defektu układu:

1. przez włączenie do sieci punktów sieci uprzednio wyrównanej, a więc punktów, których współrzędne (wysokości) są znane; minimalna liczba tych punktów wynika z defektu układu;

Takie sieci nazywamy sieciami nawiÄ…zanymi do sieci istniejÄ…cych.

2. przez narzucenie odpowiednio dobranych warunków na parametry modelu funkcjonalnego (na niewiadome pośredniczące);

Takie sieci nazywamy sieciami niezależnymi.

Sieć swobodna jest wariantem sieci niezależnej.

Sieć niezależna

Sieci wyrównujemy jako niezależne, gdy:

1. nie ma możliwości nawiązania sieci do punktów wyższego rzędu,

2. wyrównanie ma charakter testowy służący do oceny dokładności obserwacji oraz do wykrycia błędów grubych i systematycznych,

3. wyrównana sieć jest siecią specjalnego przeznaczenia, której współrzędne mogą być podane w układzie dowolnie określonym.

W sieciach niezależnych defekt układu usuwany jest przez wprowadzenie do modelu funkcjonalnego warunków określających parametry (niewiadome pośredniczące) w sposób niezbędny do powiązania sieci z układem.

Ponieważ max defekt sieci niwelacyjnej wynosi 1, najprostszym warunkiem jest przyjęcie wysokości jednego punktu jako stałej.

Δh₁ + v₁ = H₁ - H_A

Δh₂ + v₂ = H_C - H₁

Δh₃ + v₃ = H₂ - H_C

Δh₄ + v₄ = H₁ - H₂

Δh₅ + v₅ = H_B - H₁

Δh₆ + v₆ = H_B - H_A

Układ współrzędnych nieokreślony.

Przyjmujemy wysokość: H_A⁰ = 0

H_A⁰ = 100

Sieć swobodna jest to sieć niezależna, która ma ustalone powiązanie z układem odniesienia poprzez postawienie ogólnego warunku:

V^T P V + X^T X = min

Sieć swobodna wyróżnia się dodatkowo tym, że spośród wszystkich możliwych wariantów sieci niezależnych ma najmniejszą sumę kwadratów błędów średnich wyznaczonych parametrów.

Suma poszczególnych parametrów powinna być zerowa:

v_w + H₁ + H₂ + H_A + H_B + H_C = 0; p_w = 100 p_Å›r

Aby v_w było zerowe, nadajemy równaniu dużą wagę.

=

Δh1 Δh2 Δh3 Δh4 Δh5 Δh6 0

-

---