WYKŁAD 13

TWIERDZENIE 13.1

Z:
: Rⁿ


Y , Y - przestrzeń Banacha

- dwukrotnie różniczkowalna w

T:

=

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, to pochodne mieszane w tym punkcie są równe.

WNIOSEK 13.1

Jeżeli w

ot(
) (w pewnym otoczeniu punktu
)

pochodne mieszane są określone i są ciągłe w punkcie
,

to są one równe.

DEFINICJA 13.1 (ODCINEK)

Niech


,
,
- wektor

Odcinek domknięty o końcach
i
:

[
,
] = {
:
, 0
1 }

Odcinek otwarty o końcach
i

]
,
[ = {
:
, 0<
<1 }

DEFINICJA 13.2 (ZBIÓR WYPUKŁY)

- wypukły :

[
]

TWIERDZENIE 13.2 (WZÓR TAYLORA)

Z:
,
- wypukły

,
,

- tzn. funkcja jest m-krotnie różniczkowalna na
,

m-ta różniczka jest funkcją ciągłą

T:

=
+
+
+ ... +
+

Dowód:

Niech:
,

Pokażemy, że
spełnia założenia twierdzenia Taylora w [0,1]

i że k-ta pochodna w punkcie t jest równa k-tej różniczce,

czyli:
.

Niech:

∋ t

Zauważmy, że:

Wiadomo, że :

d

Z drugiej strony:

d
,

bo

Z powyższego wynika:

Analogicznie można pokazać:

.

Dla t = 0

Z faktu, że
wynika, że

jest klasy
,
- jest klasy C^m - z tego wynika,

że
jest klasy C^m na odcinku [0,1].

Są więc spełnione założenia twierdzenia Taylora dla
w [0,1]

Dla t = 0, h = 1 wzór Taylora przedstawia się następująco:

Zatem:

DEFINICJA 13.3 (EKSTREMUM LOKALNE)

Niech

Powiemy, że funkcja f osiąga w x₀ należącym

do dziedziny maksimum (minimum) lokalne

TWIERDZENIE 13.3 (WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM)

Z:

- różniczkowalna w pewnym U

- osiąga ekstremum w

T:

Dowód :

Wiadomo, że:

Można zauważyć:

funkcja
osiąga ekstremum w

- osiąga ekstremum w punkcie t = 0

WNIOSEK 13.2

Z:

- różniczkowalna w

- osiąga ekstremum w

T:
, tzn. wszystkie pochodne cząstkowe w

muszą być równe 0.

Dowód:

TWIERDZENIE 13.4 (WARUNEK WYSTARCZAJACY)

Z:

(2k) - krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu

w sposób ciągły

tzn.

(zerują się wszystkie różniczki w punkcie

aż do i = 2k-1

- jest określona dodatnio + (ujemnie -)

Wówczas:

T:
- minimum lokalne (maksimum lokalne).

Dowód:

określona dodatnio + (ujemnie -)

(*)

WNIOSEK 13.3 (WARUNEK WYSTARCZAJACY)

Z:

- dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu

i
- określona dodatnio + (ujemnie - )

T:
- min. (max.) lokalne.

Określamy macierz drugiej różniczki i minory główne:

Niech

Macierz formy kwadratowej ma postać:

Minory główne tej macierzy są postaci:

WNIOSEK 13.4 (WARUNEK WYSTARCZAJACY)

Z: Jeżeli
,
,

(zakładamy, że spełniony jest warunek konieczny)

T: 1.
- min. lokalne

2.
- max. lokalne

PRZYKŁAD 13.1

Sprawdzamy w-k

Po dodaniu stronami otrzymujemy:

Po podstawieniu:

Ostateczne rozwiązanie:

Sprawdzamy warunek wystarczający:

|
||
|||

|
||
|||

|
||
|||

-jest to tzw. przypadek wątpliwy

Zatem:
- minimum lokalne ( identycznie w punkcie
)

FUNKCJE UWIKŁANE

PRZYKŁAD 13.2

,

Badamy czy istnieje otoczenie
punktu
, aby część krzywej zawarta w
była funkcją zmiennej
.

Dla punktów
nie istnieje takie otoczenie.

Różniczkujemy stronami:

Zał:

Uogólniając:

F - różniczkowalna w obszarze D

- należy wówczas określić, w otoczeniu jakich punktów równanie przedstawia wykres funkcji
.

TWIERDZENIE 13.5

Z: Jeżeli
w

T:
przedstawia wykres funkcji uwikłanej
w otoczeniu

oraz
, przy czym
=0

Dowód:

układ określa dokładną wartość pochodnej w punkcie x.

PRZYKŁAD 13.3

Dana jest funkcja uwikłana:

Należy obliczyć
narysować wykres
w otoczeniu punktu

Zał:

dla

- dla

(funkcja rosnąca)

- dla

, przy zał.

- dla

- dla

Szkicujemy wykres w otoczeniu punktów
i
:

Funkcja uwikłana dwóch zmiennych - rozwiązujemy analogicznie(szkic) :

---