ZDANIE 17

Wyznaczyć odpowiedź obiektu nieciągłego o transmitancji
na impulsowy skok jednostkowy 1_k.

Rozwiązanie.

Uwzględniając, że Z{1_k }=X(z)=z/(z-1), odpowiedź obiektu w dziedzinie operatorowej można wyznaczyć jako:

.

Ponieważ Y(z) jest funkcją wymierną, to ciąg kolejnych wartości y_k odpowiedzi można obliczyć dzieląc wielomian w liczniku przez wielomian w mianowniku. Zachodzi bowiem

,

a zatem na podstawie definicji przekształcenia Z ciąg współczynników {a_k} jest ciągiem kolejnych wartości sygnału wyjściowego {y_k}. W tym przypadku otrzymamy

Ta metoda nie pozwala jednak na bezpośrednie obliczenie wartości sygnału wyjściowego obiektu dla dowolnej chwili czasu, ponieważ nie uzyskuje się analitycznej postaci opisującej poszczególne wyrazy ciągu tworzącego sygnał wyjściowy. Postać analityczną można uzyskać dokonując odwrotnego przekształcenia Z.

Ponieważ y(z) jest funkcją wymierną, to można stosować metodę rozkładu na ułamki proste lub metodę residuów. W tym ostatnim przypadku zachodzi:

gdzie z_i jest m-krotnym biegunem (pierwiastkiem mianownika) funkcji Y(z), a n jest ilością biegunów.

W tym przypadku funkcja Y(z) ma jeden podwójny (m=2) biegun z₁=1, a zatem

Odpowiedź obiektu tworzy ciąg wartości narastających liniowo, tak jak to pokazano na rysunku.

ZADANIE 18

Dla układu regulacji jak na rysunku wyznaczyć wartość ustaloną błędu regulacji, jeżeli na wejście podano sygnał w postaci skoku prędkości.

Rozwiązanie.

Wartość ustaloną błędu regulacji e(t) można wyznaczyć na podstawie znajomości postaci czasowej sygnału. W podanym przypadku wymagało by to znajomości transmitancji zastępczej układu dla sygnału błędu traktowanego jako sygnał wyjściowy, a następnie wykonania odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

Wykorzystanie twierdzenia o wartościach granicznych

pozwala uniknąć konieczności wykonania odwrotnego przekształcenia Laplace'a. Wartość ustaloną sygnału wyznacza się bezpośrednio z postaci operatorowej sygnału błędu.

Postać operatorową sygnału błędu można z kolei obliczyć znając transmitancję operatorową zastępczą dla układu, w którym jako wielkość wyjściowa traktowany jest nie sygnał wyjściowy y(t), ale sygnał błędu e(t). Aby wyznaczyć tą transmitancję należy przekształcić i uprościć schemat blokowy. Kolejne fazy przekształcania pokazano na rysunku 2. Poszczególne transmitancje są równe:

.

Ostatecznie transmitancję zastępczą dla sygnału błędu wyraża zależność:

.

Uwzględniając postać operatorową skoku prędkości y(t)=t1(t) otrzymamy sygnał błędu

.

Wartość ustalona tego sygnału będzie zatem równa

.

ZADANIE 19

Wyznaczyć obszar stabilności układu pokazanego na rysunku.

Rozwiązanie.

I. W oparciu o kryterium Hurwitza.

Transmitancja zastępcza układu ma postać

,

a równanie charakterystyczne M(s)=0 jest równaniem trzeciego stopnia..

W oparciu o kryterium Hurwitza układ jest stabilny, jeżeli spełnione są jednocześnie warunki:

1° Wszystkie współczynniki wielomianu M(s) są dodatnie, co prowadzi do warunków

k>0 i T>0.

2° Podwyznaczniki _i (i=2..n-1, n stopień równania charakterystycznego) macierzy Hurwitza o postaci:
są dodatnie. W tym przypadku n=3, a zatem wystarczy obliczyć wyznacznik ₂.

Obszar stabilności jest to obszar dopuszczalnych wartości parametrów dla których układ jest stabilny, w tym przypadku wyznaczony przez nierówności:

.

Na rysunku 2 pokazano obszar stabilności na płaszczyźnie (k,T).

II. W oparciu o kryterium Nyquista.

Według tego kryterium zamknięty układ regulacji jest stabilny, jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka Nyquista układu otwartego nie obejmuje punktu (-1+j0). Przykładowa charakterystyka rozważanego układu pokazana jest na rysunku 3.

W tym przypadku charakterystyka przecina ujemną część osi rzeczywistej tylko jeden raz, co oznacza, że warunkiem stabilności układu jest aby dla pulsacji _, przy której argument (kąt fazowy) transmitancji jest równy (_=- , jej moduł K(_) był mniejszy niż 1.

W tym przypadku transmitancja operatorowa i widmowa układu otwartego są odpowiednio równe

Przyrównując argument transmitancji do - otrzymamy pulsację ₁:

Warunek stabilności ma więc postać:

.

ZDANIE 10

Wyznaczyć odpowiedź y(t) obiektów na skok prędkości x(t)=t⋅1(t)

1. 
   

2. 
   

Rozwiązanie:

ZADANIE 11

1. Naszkicować ch-ki Bodego układu jak na rysunku

2. Podać czas odpowiedzi układu na sygnał skoku jednostkowego

;

Rozwiązanie:

ZADANIE 8

Przyjmując czas próbkowania T_p=2 wyznaczono transmitancję dyskretną obiektu inercyjnego 1-go rzędu w postaci K(z)=2,5/(1-0,5⋅z^-1). Jaka będzie postać transmitancji, jeżeli czas próbkowania będzie mniejszy dwukrotnie.

Rozwiązanie:

ZADANIE

Naszkicować charakterystyki Bodego obiektu i układu regulacji przedstawionego na rysunku.

Rozwiązanie:

Obiekt inercyjny drugiego rzędu o parametrach: k=2, T₁=1 i T₂=2 ch-ki Bodego obiektu

Transmitancja zastępcza układu:

ponieważ zachodzi s₁, s₂ ∈ Z , to układ ma charakter oscylacyjny o parametrach spełniających warunki:
, z których można wyznaczyć:

oraz
ch-ki Bodego układu.

Zadanie (17): Wyznaczyć odpowiedź obiektu nieciągłego o transmitancji K(z)=1/(z-2) na sygnał skokowy impulsowy.

Odp. y_k=-1+2^k ; {y_k}={0; 1; 3; 7; 15; ...}

---