MATEMATYKA FINANSOWA

OPROCENTOWANIE:

i -roczne, np. i=0,1

(zawsze taki zapis nie 10%)

j- inny okres (bazowy)

Odsetki proste:

i=0.1

1000, 1000+100, 1000+200, 1000+300

1000, 1000*(1+i), 1000*(1+2*i)

K =P*(1+n*i),

K =P*(1+n*j),

P=K/(1+n*j),

1+n*j=K/P,

n*j=K/P-1,

n≈(K-P)/(P*j),

j=(K-P)/(P*n).

i=0,01, j=0,01/365=0,000027

3*j*50+7*j*120=0,03

--------------------------------------------

Odsetki składane:

i=0,1

T0 T1 T2

1000, 1000+100, 1100+110

1000,

1000*(1+i),

1000*(1+i)+i*1000*(1+i)

1000*(1+i)²

K =P*(1+i)ⁿ

K =P*(1+j)ⁿ

P=K/(1+j)ⁿ

(1+j)ⁿ = K/P

n≈ln(K/P)/ln(1+j).

=============================

Oprocentowanie efektywne:

Załóżmy, że kapitalizacja odsetek odbywa się co pół roku przy oprocentowaniu rocznym 20% (zwanym nominalnym). Ile zyskamy po roku ze 100 PLN?

i= 0,2 j=0,1

P po I półroczu

100 110

Po roku:

110+11 = 121= 100*(1+0,21),

czyli oprocentowanie efektywne (po roku)

i_e =(1+i/2)² -1=1,1²-1=1,21-1=0,21

OGÓLNIE:

i_e = (1+i/k)^k -1, k=2, 4, 12, 365, ...

i_e =eⁱ -1 oprocentowanie ciągłe

i	k	2	4	12	ie =e^i -1
0,24	ie = (1+i/k)^k -1	0,2544	0,2625	0,2682	0,2712
0,12	ie = (1+i/k)^k -1	0,1236	0,1255	0,1268	0,1275
0,06	ie = (1+i/k)^k -1	0,0609	0,0614	0,0617	0,0618

==========

Pomocniczo:

Ciąg geometryczny:

n - elementów,

pierwszy element -a₁,

stały iloraz - q.

Wtedy suma S_n = a₁*(qⁿ-1)/(q-1)

Przepływ strumienia pieniędzy

Składanie pieniędzy 10 lat miesięcznie po 100 PLN przy rocznym oprocentowaniu 3%:

i=0.03, j=0.0025 , n=120, P=100

K= 100*1,0025¹²⁰ +100*1,0025¹¹⁹+ ...

+100*1,0025

=100*(1.0025+1.0025²+...+1.0025¹²⁰)

=100*[1.0025*(1.0025¹²⁰-1)/0.0025]

Składanie pieniędzy 40 lat miesięcznie po 100 PLN przy rocznym oprocentowaniu 6%:

n=480, P=100, i=0.06, j=i/12=0.005,

K=100*1.005⁴⁸⁰+100*1.005⁴⁷⁹+...+100*1.005

=100*(1.005+1.005²+...+1.005⁴⁸⁰)

=100*1.005*(1.005⁴⁸⁰-1)/(1.005-1)

=100*1.005*(1.005⁴⁸⁰-1)/0.005

Ogólnie:

K=P*(1+j)*[(1+j)ⁿ-1]/j

P=K*j/{(1+j)*[(1+j)ⁿ-1]}

(1+j)ⁿ-1= K*j/{(1+j)P}

n≈ ln{K*j/{(1+j)P}}/ln(1+j),

j przy ustalonych: K, P, n można obliczać tylko w przybliżeniu

Składanie pieniędzy 40 lat miesięcznie po 100 PLN przy rocznym oprocentowaniu 6% przez pierwsze 10 lat i 3% przez następne lata:

n=480, P=100, i₁=0.06 , i₂=0.03,

j₁=0.005, j₂=0.0025,

K

=[100*1.005*(1.005¹²⁰-1)/0.005]*1.0025³⁶⁰

+100*1.0025*(1.0025³⁶⁰-1)/0.0025

KREDYTY

Kredyt K=1000 PLN, oprocentowanie 20% rocznie, dwie raty- płatne po I półroczu i po roku.

i=0.2, j=0.1

Przypadek 1: Raty malejące:

R₁=500+1000*0.1=500+100=600

R₂=500+500*0.1=500+50=550.

Przypadek 2 : Raty równe:

1000=P₁+P₂

Pierwsza rata : R=P₁*1.1

Druga rata: R=P₂*1.1²= P₂*1.21

1000=R/1.1+R/1.21=R(1/1.1+1/1.21)

1000=R*2.1/1.21

R=1000*1.21/2.1=1210/2.1=576.19

Zawartość kwoty kredytu w ratach:

Pierwsza rata:

R=576.19=100+476.19

Druga rata:

R=576.19=(1000-476.19)*0.1+(1000-476.19)

=523.81*0.1+523.81=52.38+523.81

Ogólnie (raty równe)

K= P₁+P₂+...+P_n

K= R/(1+j)+R/(1+j)²+...+R/(1+j)ⁿ

K=R*[1/(1+j)+1/(1+j)²+...+1/(1+j)ⁿ]

K=R*[[1/(1+j)]*[1-1/(1+j)ⁿ]/[1-1/(1+j)]

K=R*[1-1/(1+j)ⁿ]/j

R=K*j/[1-1/(1+j)ⁿ]

[1-1/(1+j)ⁿ]=K*j/R

1/(1+j)ⁿ=1-K*j/R

(1+j)ⁿ=R/( R-K*j)

n≈ln[R/( R-K*j)]/ln(1+j)

j przy ustalonych: K,R, n można obliczać tylko w przybliżeniu

Przy jakim oprocentowaniu z zainwestowanej kwoty 1000 PLN

po roku otrzymamy 700 PLN i po 4 latach 500 PLN?

1000 = 700/(1+i) + 500/(1+i)⁴

Można to rozwiązać tylko poprzez przybliżanie:

1000 = 700/x + 500/x⁴

(gdyż jest to równanie nieliniowe).

Wtedy oprocentowanie i

nazywa się wewnętrzną stopą zwrotu.