E.T. III - Ćwiczenia z Elektrotechniki. Wydział Elektryczny
Podstawowe elementy teorii Układów Liniowych Stacjonarnych:
10 Funkcje podstawowe
1, dla t > 0
Å„Å‚
1 t =
Skok jednostkowy ( )
òÅ‚0, dla t < 0
ół
1, dla t > t0
Å„Å‚
Skok jednostkowy w punkcie t0 1 t - t0 =
( )
òÅ‚0, dla t < t0
ół
Å„Å‚1, dla t " t1,t2
( )
ôÅ‚
Okno prostokÄ…tne t1,t2 1 t - t1 -1 t - t2 =
( ) ( ) ( )
òÅ‚
( )
ôÅ‚0, dla t " t1,t2
ół
", dla t = 0
Å„Å‚
´ t =
Impuls Diraca ( )
òÅ‚
ół0, dla t `" 0
", dla t = t0
Å„Å‚
Impuls Diraca w punkcie t0 ´ t - t0 =
( )
òÅ‚
ół0, dla t `" t0
20 Działania z udziałem impulsu Diraca
t
d
îÅ‚1 t Å‚Å‚ = ´ t ´ Ä dÄ =1 t
( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ +"
dt
-"
t
d
îÅ‚1 t - t0 Å‚Å‚ = ´ t - t0 ´ Ä - t0 dÄ =1 t - t0
( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ +"
dt
-"
+
t0
+"
+" 0+
´ t dt =1 = t dt ´ t - t0 dt = 1 = t - t0 dt
( ) ( )
+"+"´ ( ) +"+"´ ( )
-
-" -"
0- t0
x t Å"´ t = x 0 Å"´ t x t Å"´ t - t0 = x t0 Å"´ t - t0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +" +"
x t Å"´ t - t0 dt = x t0 Å"´ t - t0 dt = x t0 Å" ´ t - t0 dt = x t0 Å"1 = x t0 - wÅ‚asność filtracyjna
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+" +"
-" -" -"
30 Splot i jego własności
+" +"
S t = x t " y t = x Ä y t -Ä dÄ = y Ä x t -Ä dÄ = y t " x t
Przemienność ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"+"
-" -"
îÅ‚x t " y t Å‚Å‚ " z t = x t " îÅ‚ y t " z t Å‚Å‚ = x t " y t " z t
A
Ä…czność ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ðÅ‚
Rozdzielność względem
îÅ‚x t Ä… y t Å‚Å‚ " z t = x t " z t Ä… y t " z t
( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ðÅ‚
dodawania (odejmowania)
dd d
îÅ‚x t " y t Å‚Å‚ = x t " îÅ‚ y t Å‚Å‚ = îÅ‚x t Å‚Å‚ " y t
Różniczkowanie ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( )ûÅ‚ dt ðÅ‚ ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚ ðÅ‚
dt dt
Przesunięcie w dziedzinie
x t - t0 " y t = x t " y t - t0 = S t - t0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
czasu
'
x t "´ t = x t x t "´ t = x ' t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Splot z impulsem Diraca
'
i pochodnÄ… impulsu Diraca
x t "´ t - t0 = x t - t0
( ) ( ) ( ) x t "´ t - t0 = x ' t - t0
( ) ( ) ( )
40 Całka Duhamela i całka splotu
x(t) y(t) d
y t = îÅ‚x t " k t Å‚Å‚ - CaÅ‚ka Duhamela
( ) ( ) ( )ûÅ‚
k(t)
ðÅ‚
dt
x(t) y(t)
y t = x t " h t - Całka splotu
h(t) ( ) ( ) ( )
P.K.,T.S.,Z.W.  06
- 1 -
P.R.®
E.T. III - Ćwiczenia z Elektrotechniki. Wydział Elektryczny
LISTA CZWARTA
Zapis sygnału. Dystrybucje. Splot. Całka Duhamela
Zadanie 1.
Przedstawione na rysunkach sygnały zapisać w postaci analitycznej wykorzystując skok
jednostkowy 1 t . Następnie wyznaczyć pochodne tych sygnałów i przedstawić ich przebiegi na
( )
wykresach.
a) b) c)
x(t)
x(t)
x(t)
3
3
2
2
1
1 1
t
t t
0 24
0 4
0 4 -3 -2 2
-3 2
Zadanie 2.
Wyznaczyć sploty następujących funkcji:
a) 1 t "1 t b) t Å"1 t "1 t
( ) ( ) ( ) ( )
c) t Å"1 t "1 t + 2
( ) ( ) d) t Å" 1 t - 1 "´ t - 2
( ) ( )
e) e-t 1 t "e2t 1 t f) e-2t 1 t " e-5t 1 t - 3
( ) ( ) ( ) ( )
Zadanie 3.
Układ posiada odpowiedz
jednostkowÄ…
x(t) y(t)
îÅ‚1+
k t = 3Å"e-t Å‚Å‚ 1 t
( ) ( )
ðÅ‚ûÅ‚ k(t)
Wyznaczyć odpowiedz
y(t) na wymuszenie x(t)
a) x t = t Å"1 t
( ) ( ) b) x t = 2´ t + 3Å"1 t + 4 Å" e-t 1 t
( ) ( ) ( ) ( )
d) x t = 4 sin2t 1 t
c) x t = e-2t 1 t - 1 + 2et1 t ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P.K.,T.S.,Z.W.  06
- 2 -
P.R.®
E.T. III - Ćwiczenia z Elektrotechniki. Wydział Elektryczny
Zadanie 4.
10 Wyznaczyć odpowiedz
jednostkowÄ… k t i impulsowÄ… h t .
( ) ( )
20 Zapisać przebieg u2 t wykorzystując całkę Duhamela ( k t ) oraz całkę splotową ( h t ).
( ) ( ) ( )
a) b)
R R
u1(t) u2(t)
u1(t) u2(t)
C
L
c) d)
R
R1
R C u2(t)
u1(t)
C R2
u1(t) u2(t)
P.K.,T.S.,Z.W.  06
- 3 -
P.R.®