1. Podać definicję liniowej zaleŜności wektorów w
2
R . Dla jakich k ∈ C wektory (
u
,
1 − 2 3
, ),
(
v 0,k 3 , − 8 ) , (
w 4, ,
1 2 )
1 są liniowo zaleŜne?
2. Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ): x + 4 y − 2z − t = 2
2x + 7 y − 3z − t
3 = 2 .
− x − 6 y + 4z + mt = 0
3. Wyprowadzić wzór na odległość punktu od prostej w przestrzeni.
Znaleźć prostą k przechodzącą przez punkt P ( ,
1 0, 5) i równoległą do płaszczyzn
0
H : x + 2 y − z + 3 = 0 i H : 3x + y + 2z + 4 = 0 . Obliczyć odległość punktu (
A 2, ,
1 3)
1
2
od prostej k.
4. Podać twierdzenie o osiąganiu wartości optymalnej funkcji celu na zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą graficzną rozwiązać ZPL: znaleźć max( x − x ) przy ograniczeniach 1
2
x + x ≤ 7 , x − 3x ≤ 3 , − 2x + x ≤ 1 , x + 2x ≥ 2 , x ≥ 0 , x ≥ 0 .
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Opisać metodę postępowania.
2 – 2002
1. Wyprowadzić wzór na mnoŜenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór Moivre’a.
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:
z
z
1 − z ≤ z + i + 4
∧
Re(
) ≥ Im(
) .
1 + i
1 + i
2. Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ): x + 3 y + 2z
= 4
2x + 5 y − z − t
3 = 2 .
− 3x − 7 y + 4z + mt = 6
3. Wyprowadzić postać kierunkową i parametryczną prostej przechodzącej przez punkt r
P ( x , y , z ) i równoległej do wektora u( a, b, c) .
0
0
0
0
Znaleźć rzut prostej l :
x − z = 1 , y + 3z = 2 na płaszczyznę π : 2x + y − z = 0 .
4. Podać twierdzenie o zbiorze dopuszczalnym ZPL.
Metodą sympleks rozwiązać zagadnienie: znaleźć min(− x + 3x + x ) przy ograniczeniach 1
2
3
x + 2x + x
= 1
1
2
3
x + 3x
+ x = 1 , x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0.
1
2
4
1
2
3
4
1. Wyprowadzić wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej danej w postaci 3
1
trygonometrycznej. Wiedząc, Ŝe
− i jest jednym z pierwiastków szóstego stopnia liczby
2
2
zespolonej z, podać i narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz liczbę z.
2. Podać definicję liniowej niezaleŜności wektorów w przestrzeni wektorowej. Dla jakich k ∈ R
r
r
r
wektory u(− ,
1
,
1 0) , v ,
1
( − ,
2 2) , (
w
,
1
,
2
k) są liniowo zaleŜne? Podać zaleŜność między nimi.
3. Podać definicję płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni S : F ( x, y, z) = 0 w punkcie P
.
0 ∈ S
x −1
y + 2
z
4. Znaleźć odległość między prostymi równoległymi l :
=
=
i
2
1
−1
k : x = t
2 , y = −1 + t, z = 2 − t .
5. Metodą eliminacji Gaussa (doprowadzić do mac. I) rozwiązać układ równań
1
0
2 x
3
2
−1 0 y =
1 .
1
1
5 z
6
6. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1,-3,1) i prostą
x + 2y - z + 3 = 0
l :
.
3x - y + z = 0
4 – 2007
1. Podać definicję oraz kilka własności sprzęŜenia liczby zespolonej. Udowodnić twierdzenie o pierwiastkach zespolonych wielomianu o współczynnikach rzeczywistych.
2. Wyprowadzić wzór na odległość punktu P do prostej l przechodzącej przez punkt P i 0
1
r
równoległej do wektora u . Obliczyć odległość między prostymi równoległymi x − 2
y + 1
z
k : x = 3 + t, y = −1 + t
2 , z = 1 − t
2 i m :
=
=
.
1
2
− 2
3. Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zaleŜności od parametru a:
x + 3 y − 2 z = 0
− x − 2 y − 3 z = 0 .
2 x + 5 y + az = 0
4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór z ∈ C spełniający nierówność
i
6 Im ≤ − 2 2 + i . Czy pierwiastki równania 2
z − 4 z + 5 = 0 naleŜą do tego zbioru?
z
5. Przekształcić formę kwadratową f ( x, y, z) = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z 2 − 2 xy do postaci kanonicznej oraz znaleźć wektory własne macierzy formy.
6. Znaleźć rzut prostej l :
x − z = 2 ,
y + 2 z = 3 na płaszczyznę π : 2 x + y − z = 6 .
1. Wyprowadzić wzór na mnoŜenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej, podać wzór Moivre’a. Wiedząc, Ŝe 1 + i jest jednym z pierwiastków ósmego stopnia z liczby zespolonej z, narysować na płaszczyźnie zespolonej wszystkie pierwiastki oraz zapisać je w postaci trygonometrycznej. Podać liczbę z.
2. Podać definicję macierzy osobliwej. Udowodnić, Ŝe dla macierzy osobliwej nie istnieje macierz
3
2
odwrotna. Znaleźć rozwiązania równania macierzowego AX − BT B − 5 I dla A =
,
−1 −
1
1 − 2
B = 3
0 .
1
2
3. Omówić wzajemne połoŜenie prostych. Wykazać, Ŝe proste k : x = 2 − t 2 , y = −1 + t, z = −3 + t i
l : 2 x + z = ,
1 x − y = 3 leŜą na jednej płaszczyźnie oraz znaleźć tę płaszczyznę.
4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór:
i
1
z −1 + i ≤ − 3 + i
∧ Im
≤ .
z + 1
2
5. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( a – parametr ):
x − 2 y + 3 z + t = 5
− x + y − 2 z − t = 3
.
2 x − 3 y + 5 z + t = 4
3 x − 5 y + 8 z + t
6 = a
2 1 1
6. Znaleźć wartości własne i wektory macierzy A = 0 3 2 .
0 2 3
7 – 2007
1. Patrz zadanie 1 z zestawu nr 4.
2. Patrz zadanie 2 z zestawu nr 4.
3. Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelli’ego . Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności jednorodnego układu równań w zaleŜności od parametrów a i m:
x + 3 y − 2 z = 1
− x − 2 y − 3 z = 2 .
2 x + 5 y + az = m
4. Patrz zadanie 4 z zestawu nr 4.
5. Patrz zadanie 5 z zestawu nr 4.
1. a) Rozwiązać w dziedzinie zespolonej równanie: 2
z + 10 iz −16 = 0 ; który z pierwiastków tego
równania spełnia nierówność: z ≤ 3 + i
4 , zrobić rysunek.
r
r
r
b) Obliczyć objętość czworościanu rozpiętego na wektorach: u( , 2 −
)
3
,
1
, v ,
5
( − ,
1 2) i (
w − ,
1
)
1
,
0
.
2. Podać definicję rzędu macierzy. Wykorzystując algorytm eliminacji Gaussa przeprowadzić dyskusję rozwiązalności i rozwiązać układ równań ( m – parametr ): x + 3 y + 2 z = 2
− x − 2 y + z = 2 .
2 x + 3 y + mz = 8
3. Omówić postać trygonometryczną liczby zespolonej. Podać wzór Moivre'a. Znaleźć pierwiastki 18
3 1
zespolone równania: z − 3 z
=
− i + i
2
.
2
2
4. Wyprowadzić równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P ( x , y , z ) i prostopadłej do 0
0
0
0
r
wektora u( ,
A B, C) . Znaleźć płaszczyznę przechodzącą przez punkt P
,
1
,
3
(
2) równoległą do
prostych l : x = 1 + t
2 , y = 2 − t, z = t
3 i k : x = 2 + t, y = 1 − t, z = 3 + t 2 .
5. Podać definicję oraz warunek dostateczny istnienia macierzy odwrotnej. Rozwiązać równanie
1 − 2
3 − 5
macierzowe: XAT = BT B dla A =
, B = 3
0 .
1 − 2
1
2