EGZAMIN POPRAWKOY ALGEBRA LINIOWA sem II

15.09.2010

Zad. 1 [5p] Wyznacz wartości własne i wektory własne macierzy A:

A =

[

1 0 1
0 4 0
1 0 1

]

Zad. 2 Niech 

V = R

2

[

x ]

 oznacza przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 2 o 

współczynnikach rzeczywistych.

a) [2p] Sprawdź, że odwzorowanie  L: V  V  dane wzorem  Lq x  = 3  xq '  x  jest 

liniowe (q' oznacza pochodną)

b) [4p] Podaj macierze tego odwzorowania w bazie 

{

1, x , x

2

}

 oraz w bazie 

{

1 − x , 1  x , x

2

}

c) [3p] Wyznacz jądro L.

Zad. 3 [8p + 2bonus] Jedyne dwie dopuszczalne odpowiedzi TAK lub NIE.

a)

T ∈ LV , W 

 jest monomorfizmem liniowym 

⇔

Ker T =

{

0

}

b) jeśli 

u

1

, u

2

, ... , u

k

 są wektorami liniowymi niezerowymi 

T : V  W

 jest liniowe to 

Tu

1

, Tu

2

, ... , Tu

k

 są liniowo niezależne w  W .

c) jeśli  T : V  W  jest liniowe i 

Tu

1

, Tu

2

, ... , Tu

k

 są liniowo niezależne w  W  to 

u

1

, u

2

, ... , u

k

 są liniowo niezależne.

d) liniowo niezależne wektory własne macierzy A odpowiadają jej różnym wartościom 

własnym.

e) jeśli wszystkie wartości własne macierzy A są równe, to A jest diagonalizowalna.
f) Metoda Grama-Schmidta umożliwia konstrukcję układu ortogonalnego z dowolnego 

zbioru wektorów.

g) Istnieje macierz ortogonalna A taka, że  A

T

 nie jest ortogonalna.

h) Suma macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną.

Zad. 4

a) [3p] Sprawdź, że wzór 

〈

p , q

〉

=

p 0q0  p 1q1  p 2q2  określa iloczyn skalarny 

w 

R

2

[

x]

.

b) [3p] Wyznacz rzut ortogonalny wektora 

x

2

 na podprzestrzeni wielomianowej stopnia co 

najwyżej 1 (z powyższym iloczynem skalarnym)