background image

A

lge
b

ra l
in

iow
a 1

E

g

za

m

in

 p

o

d

st

aw

o

w

y

, s

em

es

tr

 z

im

o

w

y

 2

0

0

9

/2

0

1

0

N

a pi
er

w

sz

ej

 s

tr

oni
e pr
ac

y

 pr
os

z

ę
 na
pi

sa

ć
 na
zw

ę
 kur

su, z
 kt
ór

eg

o odby

w

a s

 e

g

za

m

in, na

zw

ę
 e

g

za

m

inu

(pods

ta

w

ow
y

, popr

aw

kow

y

 l

ub doda

tkow

y

), s

w

oj

e i

m

 i

 na
zw

is

ko, num

er

 i

nde

ks

u, w

y

dz
ia

ł, ki
er

une

k,

rok s

tudi
ów
, i

m

 i

 na
zw

is

ko w

y

adow

cy

 (

or

az

 os
oby

 pr
ow
adz
ą
ce

j ć

w

ic

ze

ni

a)

, da

 or
az

 s

por
z

ą
dz

 po-

ni

ż

sz

ą
 t

abe
lk

ę

P

on
ad
to p
ros

z

ę p

on
u

m

er

ow
a

ć, p
od
p

is

a

ć i

 s

p

iąć
 z

sz

yw
ac
ze

m

 w
sz

ys

tk

ie

 p

oz
os

tał

e

k

ar
tk

i p

rac
y.

C

1

2

3

4

5

6

S

um
a

T

re

śc

i z

ada
ń

 pr
os

z

ę
 ni
e pr
ze

pi

sy

w

R

oz
w

ią

zan
ie

 z

ad
an
ia o n

u

m

er

ze

 n

 n

al

e

ży n
ap
is

a

ć 

n

n

-t

ej

k

ar
tc

e p

rac
y

. N
a r

oz
w

za

ni

e z

ada
ń

 pr
ze

zna
cz

ono 90 m

inut
, z
a r

oz
w

za

ni

e ka
ż

de
g

o z
ada
ni

a m
o

ż

na

ot

rz

y

m

 od 0 do 5 punkt

ów
. W

 r

oz
w

za

ni

ac

h na

le

ż

y

 dokł

adni
e opi
sy

w

 pr
ze

bi

eg

 r

oz
um
ow
ani

a, t

zn.

for

m

ow

 w
y

kor
zy

st

y

w

ane
 de
fini

cj

e i

 t

w

ie

rdz
eni

a, pr
zy

ta

cz

 s

tos

ow
ane
 w
zor

y

, uz

as

adni

 w
y

ci

ą
g

ane

w

ni

os

ki

. P
ona

dt

o pr

os

z

ę
 s

por
z

ą
dz

 s

ta

ra

nne

 r

y

sunki

 z

 pe
łny
m

 opi

se

m

. P

ow
od
ze

n

ia!

       T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.
P

rz

ed

st

aw

 n

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

 z

es

p

o

lo

n

ej

 w

sz

y

st

k

ie

 li

cz

b

y

  

  s

p

n

ia

ce

 z

w

ze

k

z

.

z

2

+

6

5

z

2

.
Je

d

n

y

m

 z

 p

ie

rw

ia

st

k

ó

w

 w

ie

lo

m

ia

n

u

  

je

st

 li

cz

b

V

(

z

)

=

z

4

+

2

z

3

+

7

z

2

+

6

z

+

1

2

ze

sp

o

lo

n

 

. P

o

d

a

ć

 p

o

zo

st

p

ie

rw

ia

st

k

i t

eg

o

 w

ie

lo

m

ia

n

u

.

z

1

=

1

i
3

3

.
M

et

o

d

ą

 b

ez

w

y

zn

ac

zn

ik

o

w

ą

 o

b

lic

zy

ć

 m

ac

ie

rz

  

 i 

sp

ra

w

d

zi

ć

 p

o

p

ra

w

-

1

1

0

2

1

2

0

4

0

0

1

0

1

2

0

3

1

n

o

ść

 w

y

n

ik

u

.

4

.
R

o

zw

za

ć

 p

o

d

an

y

 u

k

ła

d

 r

ó

w

n

a

ń

 w

y

k

o

rz

y

st

u

w

zo

ry

 C

ra

m

er

a:

 .

 

2

x

+
y
+
z
=
6

x

+
2

z

=
4

3

x

+
2

y

+
z
=
7

5

.
D

an

 p

u

n

k

ty

  

   

   

   

B

=

(

1

,0

,1

),

D
=

(

0

,2

,0

),

  r

ó

w

n

o

le

g

ło

śc

ia

n

u

E

=

(

2

,0

,1

),

G
=

(

1

,0

,2

)

 (

ry

su

n

ek

). 

W
 ja

k

im

 p

u

n

k

ci

i p

o

d

A

B

C

D

E

F

G

H

   

  

ja

k

im

 k

ą

te

m

 p

rz

ec

in

aj

ą

 s

 p

rz

ek

ą

tn

je

g

o

  

  i

  

?

  

A

G

C

E

   

   

6

.
W
 ja

k

ie

j o

d

le

g

ło

śc

i o

d

 p

ła

sz

cz

y

zn

y

 p

rz

ec

h

o

d

z

ą

ce

j p

rz

ez

 p

u

n

k

ty

  

,

P

=

(

1

,3

,0

)

  z

n

aj

d

u

je

 s

 p

u

n

k

t  

?

Q
=

(

2

,1

,1

),

R

=

(

1

,2

,−

1

)

A

=

(

0

,2

,−

1

)

O

dpow

ie

dz
i do 
ze

st

aw

 

C

 

1

 

P

ie

ci

e

ń

 o

 ś

ro

d

k

u

  

, p

ro

m

ie

n

iu

 w

ew

n

ę

tr

zn

y

m

  

  

z

0

=

0

r

=

2

   

  i

 z

ew

n

ę

tr

zn

y

m

  

;

R

=

3

2

.  

 

;

1

+

i
3

,

i
3

,−

i
3

3

.  

;

2

1

0

0

1

1

0

2

0

0

1

0

0

1

0

1

4

.

;

x

=

2

,

y

=

1

,

z

=

3

5

.  

k

ą

t  

 

,  

p

u

n

k

t  

 

;

ar

cc

o

s

1

5

(

1

,

1

2

,1

)

6

.  

.

3

1

1

background image

A

lge
b

ra l
in

iow
a 1

E

g

za

m

in

 p

o

d

st

aw

o

w

y

, s

em

es

tr

 z

im

o

w

y

 2

0

0

9

/2

0

1

0

N

a pi
er

w

sz

ej

 s

tr

oni
e pr
ac

y

 pr
os

z

ę
 na
pi

sa

ć
 na
zw

ę
 kur

su, z
 kt
ór

eg

o odby

w

a s

 z

al

ic

ze

ni

e, t

er

m

in

za

lic

ze

ni

a (

pods

ta

w

ow
y

, popr

aw

kow

y

 l

ub doda

tkow

y

), s

w

oj

e i

m

 i

 na
zw

is

ko, num

er

 i

nde

ks

u, w

y

dz
ia

ł,

ki

er

une

k, r
ok s

tudi
ów
, i

m

 i

 na
zw

is

ko w

y

adow

cy

 (

or

az

 os
oby

 pr
ow
adz
ą
ce

j ć

w

ic

ze

ni

a)

, da

 or
az

spor
z

ą
dz

 poni

ż

sz

ą
 t

abe
lk

ę

P

on
ad
to p
ros

z

ę p

on
u

m

er

ow
a

ć, p
od
p

is

a

ć i

 s

p

iąć
 z

sz

yw
ac
ze

m

 w
sz

ys

tk

ie

p

oz
os

tał

e k

ar
tk

i p

rac
y.

E

1

2

3

4

5

6
S

u

m

a

T

re

śc

i z

ada
ń

 pr
os

z

ę
 ni
e pr
ze

pi

sy

w

R

oz
w

ią

zan
ie

 z

ad
an
ia o n

u

m

er

ze

 n

 n

al

e

ży n
ap
is

a

ć 

n

n

-t

ej

k

ar
tc

e p

rac
y

. N
a r

oz
w

za

ni

e z

ada
ń

 pr
ze

zna
cz

ono 120 m

inut
, z
a r

oz
w

za

ni

e ka
ż

de
g

o z
ada
ni

a m
o

ż

na

ot

rz

y

m

 od 0 do 5 punkt

ów
. W

 r

oz
w

za

ni

ac

h na

le

ż

y

 dokł

adni
e opi
sy

w

 pr
ze

bi

eg

 r

oz
um
ow
ani

a, t

zn.

for

m

ow

 w
y

kor
zy

st

y

w

ane
 de
fini

cj

e i

 t

w

ie

rdz
eni

a, pr
zy

ta

cz

 s

tos

ow
ane
 w
zor

y

, uz

as

adni

 w
y

ci

ą
g

ane

w

ni

os

ki

. P
ona

dt

o pr

os

z

ę
 s

por
z

ą
dz

 s

ta

ra

nne

 r

y

sunki

 z

 pe
łny
m

 opi

se

m

. P

ow
od
ze

n

ia!

 

    
 

T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.
N

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

 z

es

p

o

lo

n

ej

 n

as

zk

ic

o

w

a

ć

 z

b

r

.

{

z


C
:

z

+

2

i

3

z

1

}

2

.
Z

n

al

e

ź

ć

 p

ie

rw

ia

st

k

i w

ie

lo

m

ia

n

u

 z

es

p

o

lo

n

eg

o

  

.

z

2

+

3

z

+

3

+

i

 

3

.
W
y

zn

ac

zy

ć

 m

ac

ie

rz

  
  z

 r

ó

w

n

an

ia

D

 .

 

0

1

1

2

 

D
⋅ 

 

2

4

2

1

 

=

 

0

1

2

6
0

 

4

.
M

et

o

d

ą

 e

lim

in

ac

ji 

G

au

ss

ro

zw

za

ć

 u

k

ła

d

 r

ó

w

n

a

ń

 .

x
+
y

+
2

t

=
1

y
+
2

z

+
5

t

=
0

2

x

+
z
+
4

t

=
7

x

+
2

y

+
3

z

+
8

t

=
0

5

.
U

za

sa

d

n

, ż

rz

u

ty

 p

ro

st

o

k

ą

tn

p

u

n

k

w

  

  n

P

=

(

0

,

2

,

1

),

Q
=

(

2

,

3

,

1

)

p

ła

sz

cz

y

zn

ę

  

  t

w

o

rz

ą

 w

ra

p

o

cz

ą

tk

ie

m

 u

k

ła

d

u

 w

sp

ó

łr

z

ę

d

n

y

ch

π

:

x

+

y

+

z

=

0

tr

ó

jk

ą

t r

ó

w

n

o

b

o

cz

n

y

.

6

.
W
y

zn

ac

zy

ć

 p

u

n

k

t o

ra

k

ą

t, 

p

o

d

 ja

k

im

 p

rz

ec

in

aj

ą

 s

 p

ro

st

e

  o

ra

  

, g

d

zi

 

 . 

k

1

:

 

x

=

2

+
t

y

=

2

+
2

t

z

=

1

+
3

t

k

2

:

 

x

=
3

+
4

s

y

=
4

+
s

z

=
2

+
5

s

s,

t


R

O

dpow

ie

dz
i do 
ze

st

aw

 

E

 

1

.  

G

ó

rn

p

ó

łp

ła

sz

cz

y

zn

w

ra

b

rz

eg

ie

m

 o

g

ra

n

ic

zo

n

sy

m

et

ra

ln

ą

 o

d

ci

n

k

a

   

  o

 k

o

ń

ca

ch

  

,  

b

ez

 p

u

n

k

tu

  
;

z

1

=

2

i,

z

2

=

3

z

2

2

.  

 

;

z

1

=

2

+

i,

z

2

=

1

i

3

.  

 

 ;

 

7

4

4

4

 

4

.  

 

,  

;

x

=

1

,

y

=

6
z

=

7

,

t

=

4

6

.  

 p

u

n

k

t  

,  

k

ą

t  
.

(

3

,4

,2

)

π

6

background image

A

lge
b

ra l
in

iow
a 1

E

g

za

m

in

 p

o

d

st

aw

o

w

y

, s

em

es

tr

 z

im

o

w

y

 2

0

0

9

/2

0

1

0

 

N

a pi
er

w

sz

ej

 s

tr

oni
e pr
ac

y

 pr
os

z

ę
 na
pi

sa

ć
 na
zw

ę
 kur

su, z
 kt
ór

eg

o odby

w

a s

 e

g

za

m

in, na

zw

ę
 e

g

za

m

inu

(pods

ta

w

ow
y

, popr

aw

kow

y

 l

ub doda

tkow

y

), s

w

oj

e i

m

 i

 na
zw

is

ko, num

er

 i

nde

ks

u, w

y

dz
ia

ł, ki
er

une

k,

rok s

tudi
ów
, i

m

 i

 na
zw

is

ko w

y

adow

cy

 (

or

az

 os
oby

 pr
ow
adz
ą
ce

j ć

w

ic

ze

ni

a)

, da

 or
az

 s

por
z

ą
dz

 po-

ni

ż

sz

ą
 t

abe
lk

ę

P

on
ad
to p
ros

z

ę p

on
u

m

er

ow
a

ć, p
od
p

is

a

ć i

 s

p

iąć
 z

sz

yw
ac
ze

m

 w
sz

ys

tk

ie

 p

oz
os

tał

e

k

ar
tk

i p

rac
y.

G

1

2

3

4

5

6

S

um
a

T

re

śc

i z

ada
ń

 pr
os

z

ę
 ni
e pr
ze

pi

sy

w

R

oz
w

ią

zan
ie

 z

ad
an
ia o n

u

m

er

ze

 n 
n

al

e

ży n
ap
is

a

ć 

n

n

-t

ej

k

ar
tc

e p

rac
y

. N
a r

oz
w

za

ni

e z

ada
ń

 pr
ze

zna
cz

ono 90 m

inut
, z
a r

oz
w

za

ni

e ka
ż

de
g

o z
ada
ni

a m
o

ż

na

ot

rz

y

m

 od 0 do 5 punkt

ów
. W

 r

oz
w

za

ni

ac

h na

le

ż

y

 dokł

adni
e opi
sy

w

 pr
ze

bi

eg

 r

oz
um
ow
ani

a, t

zn.

for

m

ow

 w
y

kor
zy

st

y

w

ane
 de
fini

cj

e i

 t

w

ie

rdz
eni

a, pr
zy

ta

cz

 s

tos

ow
ane
 w
zor

y

, uz

as

adni

 w
y

ci

ą
g

ane

w

ni

os

ki

. P
ona

dt

o pr

os

z

ę
 s

por
z

ą
dz

 s

ta

ra

nne

 r

y

sunki

 z

 pe
łny
m

 opi

se

m

. P

ow
od
ze

n

ia!

       T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.
O

b

lic

zy

ć

  

.

(

6

4

i

5

+

i

)

47

2

.
O

b

lic

zy

ć

 i 

za

zn

ac

zy

ć

 n

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

 z

es

p

o

lo

n

ej

 w

sz

y

st

k

ie

 p

ie

rw

ia

st

k

i w

ie

lo

m

ia

n

u

 w

ie

d

z

ą

c,

 ż

lic

zb

 
  j

es

t j

ed

n

y

m

 z

 n

ic

h

.

V

(

z

)

=

z

4

4

iz

3

+

8

iz

+

3

2

4

i

3

.
O

b

lic

zy

ć

  

  i

 n

te

j p

o

d

st

aw

ie

 w

y

zn

ac

zy

ć

 m

ac

ie

rz

  

  d

la

B

2

B

1

 .

B

=

1

3

0

0

3

1

0

0

0

0

3

1

0

0

1

3

4

.
M

et

o

d

ą

 e

lim

in

ac

ji 

G

au

ss

ro

zw

za

ć

 u

k

ła

d

 r

ó

w

n

a

ń

 .

x
+
2

y

+
z

=

1

y

+
t
=

0

x
+
5

y

+
3

z

+
t
=

1

x


2

y


5

z

+
5

t

=

2

5

.
N

ap

is

a

ć

 r

ó

w

n

an

ie

 p

ar

am

et

ry

cz

n

p

ro

st

ej

  

  p

ro

st

o

p

ad

łe

j d

o

 tr

ó

jk

ą

ta

 o

 w

ie

rz

ch

o

łk

ac

h

 

k

,  

,  

P

=

(

2

,0

,4

)
Q
=

(

4

,−

2

,3

)
R

=

(

1

,2

,2

)

i p

rz

ec

h

o

d

z

ą

ce

j p

rz

ez

 p

u

n

k

t p

rz

ec

in

an

ia

 s

 je

g

o

 ś

ro

d

k

o

w

y

ch

.  

  

6

.
W
y

zn

ac

zy

ć

 p

u

n

k

t o

ra

k

ą

t p

rz

ec

ci

p

ła

sz

cz

y

zn

y

  

  p

ro

st

ą

π

:

x

3

y

+

z

=

1

 .

k

:

x

+

y

=

6

,

x

z

=

8

O

dpow

ie

dz
i do 
ze

st

aw

 

G

 

1

.

;

2

2

3

(

1

+

i

)

2

.

;

2

i,

4

i,
3

i,


3

i

3

.

 
 
;

B

2

=

1

0

I,

B

1

=

1

1

0

B

4

.

,  

;

x

=

y

=

1
z

=

2

,

t

=

1

5

.

,  

,  

,  

;

x

=

1

+

2

t
y

=

3

t
z

=

3

+

6

t
t


R

6

.

p

u

n

k

t  

,  

k

ą

t  

 

.

(

5

,1

,−

3

)

ar

cs

in

5

3

3

background image

A

lge
b

ra l
in

iow
a 1

E

g

za

m

in

 p

o

d

st

aw

o

w

y

, s

em

es

tr

 z

im

o

w

y

 2

0

0

9

/2

0

1

0

 

N

a pi
er

w

sz

ej

 s

tr

oni
e pr
ac

y

 pr
os

z

ę
 na
pi

sa

ć
 na
zw

ę
 kur

su, z
 kt
ór

eg

o odby

w

a s

 e

g

za

m

in, na

zw

ę
 e

g

za

m

inu

(pods

ta

w

ow
y

, popr

aw

kow

y

 l

ub doda

tkow

y

), s

w

oj

e i

m

 i

 na
zw

is

ko, num

er

 i

nde

ks

u, w

y

dz
ia

ł, ki
er

une

k,

rok s

tudi
ów
, i

m

 i

 na
zw

is

ko w

y

adow

cy

 (

or

az

 os
oby

 pr
ow
adz
ą
ce

j ć

w

ic

ze

ni

a)

, da

 or
az

 s

por
z

ą
dz

 po-

ni

ż

sz

ą
 t

abe
lk

ę

P

on
ad
to p
ros

z

ę p

on
u

m

er

ow
a

ć, p
od
p

is

a

ć i

 s

p

iąć
 z

sz

yw
ac
ze

m

 w
sz

ys

tk

ie

 p

oz
os

tał

e

k

ar
tk

i p

rac
y.

H

1

2

3

4

5

6

S

um
a

T

re

śc

i z

ada
ń

 pr
os

z

ę
 ni
e pr
ze

pi

sy

w

R

oz
w

ią

zan
ie

 z

ad
an
ia o n

u

m

er

ze

 n 
n

al

e

ży n
ap
is

a

ć 

n

n

-t

ej

k

ar
tc

e p

rac
y

. N
a r

oz
w

za

ni

e z

ada
ń

 pr
ze

zna
cz

ono 90 m

inut
, z
a r

oz
w

za

ni

e ka
ż

de
g

o z
ada
ni

a m
o

ż

na

ot

rz

y

m

 od 0 do 5 punkt

ów
. W

 r

oz
w

za

ni

ac

h na

le

ż

y

 dokł

adni
e opi
sy

w

 pr
ze

bi

eg

 r

oz
um
ow
ani

a, t

zn.

for

m

ow

 w
y

kor
zy

st

y

w

ane
 de
fini

cj

e i

 t

w

ie

rdz
eni

a, pr
zy

ta

cz

 s

tos

ow
ane
 w
zor

y

, uz

as

adni

 w
y

ci

ą
g

ane

w

ni

os

ki

. P
ona

dt

o pr

os

z

ę
 s

por
z

ą
dz

 s

ta

ra

nne

 r

y

sunki

 z

 pe
łny
m

 opi

se

m

. P

ow
od
ze

n

ia!

       T

er

es

a J
ur
le

w

ic

z

Z

A

D

A

N

IA

1

.
N

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

 z

es

p

o

lo

n

ej

 n

as

zk

ic

o

w

a

ć

 z

b

r

.

z


C
:

π

ar

g
(

z

3

i

)

3

2

π

,
z

2

6

Im
z

2

.
Ile

 r

ó

ż

n

y

ch

 p

ie

rw

ia

st

k

ó

w

 z

es

p

o

lo

n

y

ch

 m

w

ie

lo

m

ia

n

  

V

(

z

)

=

z

1

2

3

z

4

2

P

rz

ed

st

aw

 je

 n

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

 z

es

p

o

lo

n

ej

3

.
W
y

zn

ac

zy

ć

 w

sz

y

st

k

ie

 m

ac

ie

rz

 
  z

 w

ar

u

n

k

u

B

.

B

T

B

=

 

9

1

3

0

 

+

B

2

4

.  

   

M

et

o

d

ą

 m

ac

ie

rz

y

 o

d

w

ro

tn

ej

 r

o

zw

za

ć

 u

k

ła

d

 r

ó

w

n

a

ń

.

 

4

x

+
3

y

+
2

z

=
3

x

+
2

z

=
4

x

+
y
+
3

z

=
1

5

.
O

b

lic

zy

ć

 p

o

le

 tr

ó

jk

ą

ta

 o

 w

ie

rz

ch

o

łk

ac

h

  

  z

n

aj

d

u

ce

g

o

 s

P

,

Q

,

R

a

 

n

p

ła

sz

cz

y

ź

n

ie

, p

rz

y

 c

zy

m

  

;

P

=

(

1

,2

),

Q
=

(

5

,6

),

R

=

(

2

,−

3

)

 

b

 

w

 p

rz

es

tr

ze

n

i, 

je

ż

el

i  

.

P

=

(

2

,1

,−

1

),

Q
=

(

4

,3

,1

),

R

=

(

0

,5

,−

1

)

6

.
N

ap

is

a

ć

 r

ó

w

n

an

ia

 d

w

ó

ch

 n

ie

p

rz

ec

in

aj

ą

cy

ch

 s

 p

ła

sz

cz

y

zn

, z

 k

ry

ch

 je

d

n

za

w

ie

ra

 p

ro

st

ą

  

,  

,  

za

ś d

ru

g

p

ro

st

ą

  

k

1

:

x

=

1

s,

y

=

3

,

z

=

2

+

2

s
s


R

k

2

:

x

2

=

3

y

=

z

1

.

O

dpow

ie

dz
i do 
ze

st

aw

 

H

 

1

.  

 p

rz

es

u

n

ta

 w

 g

ó

 o

 w

ek

to

r  
  c

z

ę

ść

 z

ew

n

ę

tr

za

 k

o

ła

 o

 ś

ro

d

k

u

  

3

i

z

0

=

0

   

   

i p

ro

m

ie

n

iu

  

  z

n

aj

d

u

ca

 s

 w

 I

II

  ć

w

ia

rtc

u

k

ła

d

u

 w

sp

ó

łr

z

ę

d

n

y

ch

;

r

=

3

2

.  

 je

st

  

  r

ó

ż

n

y

ch

 p

ie

rw

ia

st

k

ó

w

 tw

o

rz

ą

cy

ch

 z

b

r  

;

8

4

1

4

2

3

.  

 

;

 

1

0

3

1

3

 

,

 

1

0

3

1

3

 

4

.  

 

,  

 

,  

 

;

x

=

4

3

y

=

5

3

z

=

4

3

5

.  

 a

)  
,  

b

)  

;

2

1

2
1

4

6

.  

 

,  

.

π

1

:

2

x

3

y

+

z

+

5

=

0
π

2

:

2

x

3

y

+

z

3

=

0