M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
Płaszczyzna w przestrzeni
Po
P sta
t ć
a ogó
g ln
l a
a pł
p a
ł s
a zc
z zy
z zn
z y
Płaszczyznę w przestrzeni moŜna opisać na kilka sposobów, przez analogię
do przypadku prostej na płaszczyźnie, moŜna ją traktować jako zbiór ( x , y , z
0
0
0 )
punktów w przestrzeni przechodzący przez zadany punkt i
mający tę własność, Ŝe kaŜdy wektor o współrzędnych [ x − x , y − y , z − z 0
0
0 ]
[ A, B, C]
jest prostopadły do zadanego wektora
. Wówczas:
(
A x − x + B y − y + C z − z
=
0 )
(
0 )
(
) 0
0
W konsekwencji, po wymnoŜeniu i uporządkowaniu zmiennych otrzymujemy równanie płaszczyzny w postaci ogólnej: Ax + By + Cz + D = 0
Wyraz D zawiera współrzędne ustalonego punktu na płaszczyźnie.
Po
P sta
t ć
a ki
k e
i ru
r nko
k w
o a
Z tej postaci moŜna wyznaczyć zmienną z otrzymując odpowiednik postaci kierunkowej prostej:
z = a + bx + cy
D
A
=
B
=
Gdzie: a = −
, b
− , c − . Przedstawienie to wymaga, aby C
C
C
płaszczyzna nie była równoległa do osi 0z. Interpretację współczynników pominiemy.
1
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
Pł
P a
ł sz
s c
z zy
z zn
z a
a wyz
y n
z ac
a zo
z na
a pr
p ze
z z
z tr
t z
r y
z pu
p nkty
t
Kolejna analogia: przez dwa punkty przechodzi jedna prosta, tym razem trzy niewspółliniowe punkty wyznaczają płaszczyznę. RozwaŜmy punkt P( x, y, z) płaszczyzny oraz trzy niewspółliniowe punkty: P x , y , z
P x , y , z
P x , y , z
2 ( 2
2
2 )
1 ( 1
1
1 )
0 ( 0
0
0 ) ,
oraz
. Trzy wektory o
wspólnym początku:
r
r = [ x − x , y − y , z − z 0
0
0 ]
r
r = x − x , y − y , z − z 1
[ 1 0 1 0 1 0]
r
r = x − x , y − y , z − z 2
[ 2 0 2 0 1 0]
LeŜą na jednej płaszczyźnie, zatem iloczyn mieszany tych wektorów jest równy zeru:
r
r
r
r ⋅ ( r × r =
1
) 0
2
Co zapisujemy w jawnej postaci:
x − x
y − y
z − z
0
0
0
det x − x
y − y
z − z
= 0
1
0
1
0
1
0
x − x
y − y
z − z
2
0
2
0
2
0
Dwa rozwaŜane przypadki moŜna zilustrować rysunkiem.
2
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
z
[ A, B, C]
P1
P2
P0
P
y
x
Po
P sta
t ć
a odc
d in
i ko
k w
o a
w
W niektórych przypadkach moŜna korzystać z innych postaci płaszczyzn, równieŜ przez analogię do prostych na płaszczyźnie. Mamy więc płaszczyznę w postaci odcinkowej:
x + y + z =1
a
b
c
Gdzie a, b, c są współrzędnymi punktów przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych. Postać ta istnieje, gdy prosta nie jest równoległa do Ŝadnej z osi i nie przechodzi przez początek układu współrzędnych. Co oznacza, Ŝe Ax + By + Cz + D =
w postaci ogólnej
0 wszystkie współczynniki
są róŜne od zera.
3
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
Po
P sta
t ć
a pa
p r
a a
r m
a etr
t y
r c
y zn
z a
Kolejny przypadek, to postać parametryczna, w tym celu rozwaŜmy dwa r
r
v = [ v , v , v
u = [ u , u , u
1
2
3 ]
1
2
3 ]
wektory leŜące na płaszczyźnie:
,
P x , y , z
0 ( 0
0
0 )
oraz punkt leŜący na płaszczyźnie
, dowolny wektor
r
r = [ x − x , y − y , z − z 0
0
0 ]
płaszczyzny o współrzędnych:
jest
r
r
u
kombinacją liniową wektorów v i tzn. istnieją liczby s i t, Ŝe zachodzi równość:
r
r
r
r = v
s + u
t
Wyznaczając z tego związku zmienne x, y i z, znajdujemy parametryczne równanie płaszczyzny:
x = x
s v
t u
0 +
⋅ 1 + ⋅
1
y = y
s v
t u
0 +
⋅ 2 + ⋅ 2
z = z
s v
t u
0 +
⋅ 3 + ⋅ 3
Istnieje zatem pełna analogia pomiędzy postaciami prostej na płaszczyźnie i postaciami płaszczyzn w przestrzeni, moŜna je ująć w formie tabeli.
Pros
o ta
Płaszcz
c yz
y na
n
Pos
o tać o
g
o ól
ó na
n
(prostop
o adłoś
o ć
ć d
o
Ax + By + C = 0
Ax + By + Cz + D =
0
we
w ktor
o a)
Pos
o tać
y = a ⋅ x + b
= +
+
z
a
bx
cy
kier
e unkowa
w
4
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
Pos
o tać
x + y =
x
y
z
1
+ + = 1
od
o cink
n owa
w
a
b
a
b
c
x = x
s v
t u
0 +
⋅ 1 + ⋅
Pos
o tać
x = x
1
0 + v t
1
y = y
s v
t u
0 +
⋅ 2 + ⋅
p
2
parametrycz
c na
n
y = y
0 + v t
2
z = z s v t u
0 +
⋅ 3 + ⋅ 3
Ponadto przez dwa punkty przechodzi jedna prosta, podobnie jak przez trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
Równanie prostej w przestrzeni
Postać krawędziowa p
rostej
e
W najprostszym przypadku, z geometrycznego punktu widzenia, prostą
moŜemy traktować jako przecięcie się dwóch płaszczyzn, zatem jest ona rozwiązaniem układu równań:
A x B y C z D
1
+ 1 + 1 + 1 = 0
A x B y C z D
2
+ 2 + 2 + 2 = 0
Jednak układ moŜe być sprzeczny, (płaszczyzny są równoległe) lub obie płaszczyzny mogą się pokrywać w obu przypadkach układ nie zadaje Ŝadnej prostej. Zatem interesuje nas przypadek, gdy zbiór rozwiązań zaleŜy od jednego parametru – będzie to równanie szukanej prostej. Z sytuacją
taką będziemy mieli do czynienia wówczas, gdy rząd macierzy
A
B
C
1
1
1
A
B
C
2
2
2
będzie równy 2. Rozwiązanie układu będzie opisywało prostą, jako przecięcie dwóch płaszczyzn.
5
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
Pr
P o
r sta
t
a pr
p z
r e
z cho
h dzą
z c
ą a
a pr
p z
r e
z z dwa pu
p nkty, po
p st
s ać pa
p r
a ametr
t yczn
z a
RozwaŜmy rysunek
Punkt P
Punkt P1
Punkt P0
Wektory o początku w początku układu współrzędnych mają współrzędne:
→
OP =
0
[ x , y , z
0
0
0 ]
→
OP = x , y , z
1
[ 1 1 1]
→
OP = [ x, y, z]
Z
rysunku
wynika,
Ŝe
istnieje
liczba
t,
taka
Ŝe
[
→
→
x − x , y
y , z
z
t OP OP
0
− 0 − 0]
= 1−
0 ,
zatem
równanie
prostej
przechodzącej przez dwa punkty przybiera postać: 6
M te
t m
e a
m ty
t ka
k w
ykł
k a
ł d
d 7
x = x
t x
x
0 + ( 1 −
0 )
y = y t y y
0 + ( 1 −
0 )
z = z
t z
z
0 + ( 1 −
0 )
→
→
Zauwa
OP
OP
1 −
Ŝmy, Ŝe wektor
0 jest wektorem leŜącym na prostej,
[ v , v , v
1
2
3 ]
oznaczając jego współrzędne
znajdujemy parametryczną
postać prostej w przestrzeni, czyli prostej przechodzącej przez ustalony punkt oraz równoległej do zadanego wektora:
x = x 0 + v t
1
y = y 0 + v t
2
z = z 0 + v t
3
Jeśli wyeliminujemy z ostatniego układu parametr t, to otrzymamy równanie w postaci podwójnego układu równań: x − x
y − y
z − z
0
0
0
=
=
v
v
v
1
2
3
Jednak pojawia się ograniczenie: Ŝadna ze składowych wektora nie moŜe być równa zeru.
Pozostaje rozwaŜyć wzajemne połoŜenia prostych i płaszczyzn, poniewaŜ
jedne z postaci zwierają wektory (równoległe lub prostopadłe), to wystarczy zbadać wzajemne połoŜenie tych wektorów. Na przykład z postaci parametrycznej prostych moŜna odczytać wektory równoległe do prostych, zatem aby stwierdzić, Ŝe proste są prostopadłe do siebie wystarczy sprawdzić, czy te wektory są prostopadłe – podobnie gdy chcemy zbadać
równoległość prostych.
7