Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
1
ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ
Wektory na płaszczy
ź
nie i w przestrzeni
Wektorem nazywać będziemy uporządkowaną parę punktów, uporządko-
waną tzn. powiedziane jest który punkt jest pierwszy, a który drugi.
Z „tradycyjnego” punktu widzenia, taka uporządkowana para punktów ma
trzy cech: kierunek (prosta wyznaczona przez parę punktów), zwrot (od
punktu pierwszego do drugiego) oraz długość (odległość pomiędzy punkta-
mi).
W praktyce wektory wygodnie jest opisywać wybierając układ współrzęd-
nych czyli dwie osie, najczęściej prostopadłe do siebie. Wówczas współrzęd-
ne punktu są parą liczb, nazywaną współrzędnymi punktu. Współrzędne
wektora będą z definicji równe róŜnicy współrzędnych punktów: końcowe-
go i początkowego.
(1)
(2)
Początek
wektora
Początek
wektora
Koniec
wektora
Koniec
wektora
Długość
wektora
Długość
wektora
Zwrot: od punktu początkowego do końcowego
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
2
Współrzędne we punktów będziemy zapisywać w nawiasach okrągłych, a
wektora w kwadratowych, mamy zatem:
)
,
(
y
x
A
=
i
[ ]
b
a
v
,
=
r
. W tym
drugim przypadku zapis powinien kojarzyć się z macierzą 1x2 – i nie jest to
przypadek. Własności wektora są takie same jak macierzy, w szczególności
moŜna wektory dodawać (odejmować) i mnoŜyć przez liczbę, tak, jak to
miało miejsce dla macierzy.
W przypadku, gdy mamy do czynienia z przestrzenią (trójwymiarową),
współrzędne wektora będą trzema liczbami, dlatego, przy ustalonym ukła-
dzie współrzędnych (tym razem trzy osie), wektor zapisuje się w postaci:
[
]
c
b
a
v
,
,
=
r
Długością wektora nazywać będziemy liczbę:
2
2
b
a
v
+
=
r
Gdy mowa o wektorze na płaszczyźnie
2
2
2
c
b
a
v
+
+
=
r
Gdy mowa o wektorze w przestrzeni.
1
2
y
y
−
1
2
x
x
−
(
)
2
2
, y
x
( )
y
x,
x
y
(
)
1
1
, y
x
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
3
Oprócz wspomnianych wcześniej działań na wektorach moŜna zdefiniować
mnoŜenie nazywane iloczynem skalarnym wektorów. Jednak w odróŜnieniu
od poprzednich działań wynikiem iloczynu skalarnego jest liczba, a nie
wektor. Interpretacja geometryczna iloczynu skalarnego wektorów jest
podana na rysunku.
Iloczyn skalarny jest liczbą równą:
( )
u
v
u
v
u
v
r
r
p
r
r
r
r
,
cos
⋅
⋅
=
⋅
Własności iloczynu skalarnego:
v
u
u
v
r
r
r
r
⋅
=
⋅
Jeśli iloczyn skalarny wektorów niezerowych jest równy zeru wtedy i
tylko wtedy, gdy wektory są prostopadłe
u
v
r
r
⊥
(leŜą na prostych
prostopadłych).
Jeśli przynajmniej jeden z wektorów jest wektorem zerowym, to ilo-
czyn skalarny jest równy zeru.
Iloczyn skalarnych dwóch wektorów na płaszczyźnie moŜna wyrazić
wzorem:
v
r
u
r
Rzut prostopadły wektora
v
r
na
kierunek wektora
u
r
Iloczyn skalarny jest
iloczynem rzutu pro-
stopadłego jednego z
wektorów na kierunek
drugiego wektora i
długości drugiego
wektora
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
4
2
1
2
1
b
b
a
a
u
v
+
=
⋅
r
r
Gdzie
[
]
1
1
,b
a
v
=
r
,
[
]
2
2
, b
a
u
=
r
Jeśli mamy do czynienia z wektorami w przestrzeni i ich współ-
rzędne są równe:
[
]
1
1
1
,
,
c
b
a
v
=
r
i
[
]
2
2
2
,
,
c
b
a
u
=
r
, to iloczyn skalar-
ny wyraŜa się wzorem:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
u
v
+
+
=
⋅
r
r
Kolejnym działaniem, które moŜna zdefiniować dla wektorów w przestrzeni
(na płaszczyźnie nie moŜna) jest iloczyn wektorowy, tym razem wartością
iloczynu jest wektor, a nie liczba, oznacza się go symbolem:
u
v
r
r
×
. Jego
interpretację geometryczną przedstawia rysunek.
Własności iloczynu wektorowego:
Iloczyn wektorowy jest antysymetryczny, tzn.:
v
u
u
v
r
r
r
r
×
−
=
×
v
r
u
r
Zwrot iloczynu wektorowego
wyznaczony jest przez regułę
śruby prawoskrętnej
Długość wektora jest liczbowo równa polu
równoległoboku rozpiętego na wektorach
v
r
i
u
r
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
5
Długość iloczynu wektorowego wyraŜa się wzorem:
( )
u
v
u
v
u
v
r
r
p
r
r
r
r
,
sin
⋅
⋅
=
×
JeŜeli przynajmniej jeden z wektorów jest wektorem zerowym, to
wartość iloczynu wektorowego jest równa zeru (jest wektorem ze-
rowym).
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów niezerowych jest równy zeru
wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe
u
v
r
r
(leŜą na pro-
stych równoległych, co oznacza, Ŝe jeden z nich moŜna otrzymać z
drugiego przez pomnoŜenie przez liczbę róŜną od zera).
Jeśli mamy zadane współrzędne obu wektorów
[
]
1
1
1
,
,
c
b
a
v
=
r
,
[
]
2
2
2
,
,
c
b
a
u
=
r
, to iloczyn wektorowy moŜna zapisać w postaci
wyznacznika:
=
×
2
2
2
1
1
1
det
c
b
a
c
b
a
k
j
i
u
v
r
r
r
r
r
Gdzie wektory stojące w pierwszym wierszu mają współrzędne:
[ ]
0
,
0
,
1
=
i
r
,
[ ]
0
,
1
,
0
=
j
r
,
[ ]
1
,
0
,
0
=
k
r
.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych α i β oraz wektorów
v
r
,
u
r
i
w
r
zachodzi równość:
(
)
w
v
u
v
w
u
v
r
r
r
r
r
r
r
×
+
×
=
+
×
β
α
β
α
Jeśli iloczyn wektorowy pomnoŜymy skalarnie przez wektor
[
]
3
3
3
,
,
c
b
a
w
=
r
, to wartość tak otrzymanego iloczynu (tzw.
iloczyn mieszany trzech wektorów) jest liczba równą:
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
6
(
)
=
×
⋅
2
2
2
1
1
1
3
3
3
det
c
b
a
c
b
a
c
b
a
u
v
w
r
r
r
Trzy wektory niezerowe leŜą na jednej płaszczyźnie wtedy i tylko
wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zeru. Wówczas jeden z
nich moŜna przedstawić w postaci kombinacji liniowej dwóch po-
zostałych tzn. istnieją takie dwie liczby rzeczywiste α i β, nierówne
zeru równocześnie, Ŝe spełniona jest równość:
u
v
w
r
r
r
β
α
+
=
Proste na płaszczy
ź
nie i w przestrzeni
Ogólne równanie prostej
Ogólne równanie prostej
Ogólne równanie prostej
Ogólne równanie prostej na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
Zacznijmy od płaszczyzny, rozwaŜmy wektor o współrzędnych
[ ]
B
A,
oraz
prostą prostopadłą do tego wektora przechodząca przez punkt o współ-
rzędnych
(
)
0
0
y
x
. Dowolny inny punkt leŜący na tej prostej, o współrzęd-
nych
( )
y
x,
, definiuje wektor o współrzędnych:
[
]
0
0
,
y
y
x
x
−
−
.
( )
y
x,
(
)
0
0
, y
x
[ ]
B
A,
[
]
0
0
,
y
y
x
x
−
−
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
7
PoniewaŜ oba wektory są prostopadłe, to ich iloczyn skalarny jest równy
zeru, zatem:
(
) (
)
0
0
0
=
−
+
−
y
y
B
x
x
A
Po „otwarciu” nawiasów i uporządkowaniu wyrazów równania, dochodzi-
my do tzw. ogólnej postaci prostej:
0
=
+
+
C
By
Ax
Symbolem C oznaczono wszystkie wyrazy zawierające współrzędne punktu
(
)
0
0
y
x
.
Przykłady prostych w postaci og
Przykłady prostych w postaci og
Przykłady prostych w postaci og
Przykłady prostych w postaci ogólnej
ólnej
ólnej
ólnej
0
4
3
2
=
+
−
y
x
Wektor o współrzędnych
[ ]
3
,
2
−
jest prostopadły do
prostej
0
3
2
=
−
y
x
Wektor o współrzędnych
[ ]
3
,
2
−
teŜ jest prostopadły do pro-
stej
0
3
3
=
−
−
y
Wektor o współrzędnych
[ ]
3
,
0
−
jest prostopadły do prostej
Z postaci ogólnej łatwo jest otrzymać warunek prostopadłości prostych,
gdyŜ współczynniki stojące przy zmiennych x i y są współrzędnymi wektora
prostopadłego do prostej. Zatem mając dwie proste o równaniach:
0
1
1
1
=
+
+
C
y
B
x
A
oraz
0
2
2
2
=
+
+
C
y
B
x
A
Widzimy, Ŝe będą one prostopadłe, gdy wektory
[
]
1
1
, B
A
,
[
]
2
2
, B
A
będą
prostopadłe. Warunkiem koniecznym i dostatecznym prostopadłości jest
zerowa wartość iloczynu skalarnego, a więc musi zachodzić:
0
2
1
2
1
=
+
B
B
A
A
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
8
Podobnie dochodzimy do warunku równoległości prostych badając oba
wspomniane wektory, a mianowicie proste są równoległe wtedy i tylko wte-
dy, gdy wektory
[
]
1
1
, B
A
i
[
]
2
2
, B
A
są równoległe. Zatem istnieje liczba
niezerowa α, taka Ŝe
[
] [
]
2
2
1
1
,
,
B
A
B
A
α
=
. Jeśli zbudujemy ze współ-
rzędnych obu wektorów wyznacznik:
2
2
1
1
det
B
A
B
A
To będzie on równy zeru, gdyŜ pierwszy wiersz powstaje z drugiego przez
pomnoŜenie go przez liczbę. W konsekwencji, warunek równoległości pro-
stych ma postać:
0
1
2
2
1
=
−
B
A
B
A
Kierunkowa postać prostej
Kierunkowa postać prostej
Kierunkowa postać prostej
Kierunkowa postać prostej na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
na płaszczyźnie
Postać kierunkową otrzymujemy z postaci ogólnej wyznaczając współrzęd-
ną y, w konsekwencji:
B
C
x
B
A
y
−
−
=
Zatem postać ta daje się otrzymać tylko wówczas, gdy
0
≠
B
, wprowa-
dzając oznaczenia:
B
A
a
−
=
oraz
B
C
b
−
=
postać kierunkową zapisujemy
w postaci:
b
x
a
y
+
⋅
=
Interpretację współczynników przedstawia rysunek.
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
9
Przykłady pros
Przykłady pros
Przykłady pros
Przykłady prostej w postaci kierunkowej
tej w postaci kierunkowej
tej w postaci kierunkowej
tej w postaci kierunkowej
1
2
−
−
=
x
y
Prosta przecinająca oś y-ów w punkcie o współrzędnej rów-
nej -1 i nachylona do osi x-ów pod kątem, którego tangens
jest równy -2.
11
=
y
Prosta przecinająca oś y-ów w punkcie o współrzędnej równej 11 i
nachylona do osi x-ów pod kątem, którego tangens jest
równy 0, zatem jest równoległa do tej osi.
x
y
3
=
Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i na-
chylona do osi x-ów pod kątem, którego tangens jest równy
3.
Warunki równoległości i prostopadłości prostych w postaci kierunkowej
moŜna otrzymać z poprzednich dzieląc oba równania przez B
1
i B
2
i korzy-
stając z definicji współczynników a i b, stąd:
Warunek prostopadłości:
0
1
2
1
=
+
a
a
Warunek równoległości:
b
Tangens kąta nachy-
lenia prostej = a
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
10
2
1
a
a
=
Drugie równanie ma szczególnie prostą interpretację: dwie proste są rów-
noległe, gdy tworzą ten sam kąt z osią x-ów.
W podsumowaniu moŜna stwierdzić, Ŝe w postaci kierunkowej nie moŜna
przedstawić prostych równoległych do osi y-ów.
Postać odcinkowa prostych na płaszczyźnie
Postać odcinkowa prostych na płaszczyźnie
Postać odcinkowa prostych na płaszczyźnie
Postać odcinkowa prostych na płaszczyźnie
JeŜeli prosta nie jest równoległa do osi x-ów ani do osi y-ów i nie przechodzi
przez początek układu współrzędnych, to moŜna ją zapisać w postaci od-
cinkowej:
1
=
+
b
y
a
x
Interpretacja geometryczna jest następująca.
MoŜna zatem stwierdzić, Ŝe współczynniki w tej postaci prostej są współ-
rzędnymi punktów, w których prosta przecina osie układu współrzędnych.
Jeśli przyjrzymy się postaci ogólnej, to postać odcinkową otrzymamy za
pomocą następującego przekształcenia:
1
=
−
+
−
B
C
y
A
C
x
a
b
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
11
W konsekwencji:
A
C
a
−
=
,
B
C
b
−
=
.
Przykład
Przykład
Przykład
Przykłady prostych w postaci odcinkowej
y prostych w postaci odcinkowej
y prostych w postaci odcinkowej
y prostych w postaci odcinkowej
1
1
2
=
+
−
y
x
Prosta przecinająca oś x-ów w punkcie o współrzędnej rów-
nej -2, a oś y-ów w punkcie o współrzędnej równej 1.
1
5
2
=
−
y
x
Prosta przecinająca oś x-ów w punkcie o współrzędnej równej
2, a oś y-ów w punkcie o współrzędnej równej -5.
Ćwiczenie świąteczne
Ćwiczenie świąteczne
Ćwiczenie świąteczne
Ćwiczenie świąteczne: Jak wyglądają warunki równoległości i prost
: Jak wyglądają warunki równoległości i prost
: Jak wyglądają warunki równoległości i prost
: Jak wyglądają warunki równoległości i prosto-
o-
o-
o-
padł
padł
padł
padłoooości
ści
ści
ści prostych w postaci odcinkowej?
prostych w postaci odcinkowej?
prostych w postaci odcinkowej?
prostych w postaci odcinkowej?
Postać parametryczna prostej na płaszczyźnie
Postać parametryczna prostej na płaszczyźnie
Postać parametryczna prostej na płaszczyźnie
Postać parametryczna prostej na płaszczyźnie
RozwaŜmy wektor na płaszczyźnie o współrzędnych v
1
i v
2
(
[
]
2
1
, v
v
v
=
r
)
oraz prostą równoległą do tego wektora i przechodząca przez punkt o
współrzędnych
(
)
0
0
, y
x
, sytuację pokazuje rysunek.
( )
y
x,
(
)
0
0
, y
x
Wektor
[
]
0
0
,
y
y
x
x
−
−
jest
proporcjonalny do
wektora
v
r
[
]
2
1
, v
v
v
=
r
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
Matematyka wykład 6
12
W konsekwencji mamy równanie, dla dowolnej pary liczb x i y i pewnego t:
[
]
[
]
2
1
0
0
,
,
v
v
t
y
y
x
x
⋅
=
−
−
Stąd:
+
=
+
=
t
v
y
y
t
v
x
x
2
0
1
0
Jest to postać parametryczna prostej, w której t nazywa się parametrem.
Warunek równoległości dwóch prostych:
+
=
+
=
t
v
y
y
t
v
x
x
2
0
1
0
i
+
′
=
+
′
=
t
u
y
y
t
u
x
x
2
0
1
0
jest warunkiem równoległości wektorów
[
]
2
1
, v
v
i
[
]
2
1
,u
u
, czyli:
0
det
1
2
2
1
2
1
2
1
=
−
=
u
v
u
v
u
u
v
v
Podobnie, dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny wektorów rów-
noległych do prostych jest równy zeru:
0
2
2
1
1
=
+
u
v
u
v
Przykłady pr
Przykłady pr
Przykłady pr
Przykłady prostych w postaci parametrycznej
ostych w postaci parametrycznej
ostych w postaci parametrycznej
ostych w postaci parametrycznej
+
=
−
−
=
t
y
t
x
3
2
5
Prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych
(
)
2
,
5
−
i
jest równoległa do wektora
[ ]
3
,
1
−
=
−
=
2
y
t
x
Prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych
( )
2
,
0
i jest rów-
noległa do wektora
[ ]
0
,
1
−