GP, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2011/12.
Równania p laszczyzny i prostej.
1. Napisać równania ogólne i parametryczne p laszczyzn spe lniajacych podane warunki:
,
a) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −2, 0) i jest prostopad la do wektora ~
n = [0, −3, 2];
b) p laszczyzna przechodzi przez punkty P1(0, 0, 0), P2(1, 2, 3), P3(−1, −3, 5); c) p laszczyzna przechodzi przez punkty P1(1, −3, 4), P2(2, 0, −1) oraz jest prostopad la do p laszczyzny OXZ; d) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (1, −1, 3) oraz jest równoleg la do wektorów ~a = [1, 1, 0], ~b = [0, 1, 1]; e) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (0, 3, 0) i jest równoleg la do p laszczyzny π : 3x − y + 2 = 0; f) p laszczyzna przechodzi przez punkt P (2, 1, −3) i jest prostopad la do p laszczyzn π1 : x + y = 0, π2 : y − z = 0.
2. Napisać równanie ogólne p laszczyzny przechodzacej przez oś OY i punkt A(4, 0, 3). Narysować te p laszczyzne.
,
,
,
3. Napisać równanie ogólne p laszczyzny przechodzacej przez krawedź przeciecia sie p laszczyzn: π
,
,
,
,
1 : 2x − y + 3z − 6 = 0,
π2 : x + 2y − z + 3 = 0 oraz przez punkt A(1, 2, 4).
4. Napisać równanie ogólne p laszczyzny przechodzacej przez punkt A(2, −1, 1) i prostopad lej do p laszczyzn
,
π1 : 3x + 2y − z + 4 = 0 i π2 : x + y + z − 3 = 0. Narysować ja.
,
5. Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spe lniajacych podane warunki:
,
a) prosta przechodzi punkt P (−3, 5, 2) i jest równoleg la do wektora ~
v = [2, −1, 3];
b) prosta przechodzi przez punkty P1(1, 0, 6), P2(−2, 2, 4); c) prosta przechodzi przez punkt P (0, −2, 3) i jest prostopad la do p laszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0; d) prosta przechodzi przez punkt P (7, 2, 0) i jest prostopad la do wektorów ~
v1 = [2, 0, −3] i ~v2 = [−1, 2, 0].
x + y + z + 1 = 0
6. Wyznaczyć równanie prostej przechodzacej przez punkt P (0, −2, 1) i przecinajacej prosta l : pod
,
,
,
x − y − z + 1 = 0
katem prostym.
,
7. Wyznaczyć równanie prostej prostopad lej do danych prostych:
x − z + 2 = 0
x + y + z − 5 = 0
l1 :
, l
.
x + y − 2 = 0
2 :
x − y − z + 3 = 0
8. Napisać równanie prostej prostopad lej do osi OZ poprowadzonej z punktu A(2, −3, 4).