Analiza zespolona
WYKŁAD 3 (15.10.2013r.)
Twierdzenie 7:
Niech
⊂ ℂ, ∈ ℂ. Wtedy lim →
,
= 0. Wtedy i tylko wtedy , gdy
−
0.
→
Inaczej mówiąc topologia euklidesowa i topologia wyznaczona przez metrykę w ℂ są takie same.
Dowód:
" ⇐ " Zakładam, że
−
0. Wtedy
,
=
|
|
≤ | − |
0. Z
→
!| |" !| |"
→
twierdzenia o trzech ciągach lim →
,
= 0.
" ⇒ " Zakładamy, że
−
0. Mamy
,
=
|
|
=
, ∞
, ∞ |
|
→
!| |" !| |"
Zauważmy, że z nierówności trójkąta mamy
, ∞ ≤
,
+
, ∞ ⇒
, ∞ −
,
≤
, ∞
Ponieważ
−
0, to
,
<
, ∞ dla prawie wszystkich ). Zatem
→
(
1
1
, ∞ ≥
, ∞ −
,
>
, ∞ − 2 ,∞ = 2 ,∞ > 0
dla prawie wszystkich ). W konsekwencji
|
,
, ∞
− | =
, ∞
, ∞ ≤ 1
0 ∎
2
, ∞
, ∞ →
Własność 8:
Niech / ⊂ ℂ będzie zbiorem otwartym. Wtedy / jest spójny wtedy tylko wtedy, gdy dla dowolnych 0, 1 ∈ / istnieje łamana ł ⊂ / o końcach 0, 1.
(spójne: koło, pierścień, zewnętrze koła, łamana, odcinek) CIĄGI I SZEREGI LICZBOWE
Twierdzenie 9:
Niech
⊂ ℂ, ∈ ℂ, = 3 + 45 , = ) + 46. Wtedy → ⟺ 3 → 8 ∧ 5 → 6.
Angelika Mirowska
" ⇒ " Załóżmy, że → :. Wtedy 0 ← | − | = |
− ) + 4 5 − 6 | ≥ |3: − )| ≥ 0 ≥ |5 − 6| ≥ 0 .
Zatem z twierdzenia o trzech ciągach mamy
|3 − )| → 0, |5 − 6| → 0.
" ⇐ " Załóżmy, że |3 − )|, |5 − 6| → 0. Wtedy 0 ≤ | − | = | 3 − ) + 4 5 − 6 | ≤ |3 − )| + |5 − 6|
Z twierdzenia o trzech ciągach
| − | → 0 ∎
⊂ ℂ
< = = >
>?@
Jeżeli A → A ∈ ℂ, to mówimy, że ∑ ?@
= A
Twierdzenie 10:
⊂ ℂ, A = ) + 4C, = 3 + 45 . Wtedy ∑ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są
∑ 3 , ∑ 5 . Wtedy ∑ = ∑ 3 + ∑ 5 .
Własność 11:
1) ∑ ?@ jest zbieżny, to lim → | | = 0 (warunek konieczny) 2) ∑ ?@ | | jest zbieżny, to ∑ ?@ jest zbieżny.
Kryterium d’Alemberta
⊂ ℂ\{0}
1) Jeśli lim → G HIG < 1, to ∑ ?@ jest zbieżny bezwzględnie.
2) Jeśli G HIG ≥ 1 dla prawie wszystkich ), to ∑ ?@ jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy’ego
⊂ ℂ
1) Jeśli | | < 1, to ∑ ?@ jest zbieżny bezwzględnie.
2) Jeśli | | < 1, to ∑ ?@ jest rozbieżny.
Angelika Mirowska
Twierdzenie (o mnożeniu szeregów) Załóżmy, że ∑ ?@ 0 jest zbieżny, ∑ ?@ 1 jest zbieżny bezwzględnie. Niech J = ∑>?@ 0>1 >.
Wtedy ∑ ?@ J jest zbieżny i ∑ ?@ J = ∑ ?@ 0 ∑ ?@ 1 .
Kryterium Dirichleta
0 ⊂ ℝ, 1 ⊂ ℂ. Zakładamy, że
1) lim → 0 = 0
2) 0 jest monotoniczny
3) ∑>?@ 1> ?@ jest ograniczony.
Wtedy ∑ ?@ 0 1 jest zbieżny.
Niech L ⊂ ℂ, M: L → ℂ, @ jest punktem skupienia L,
∈ ℂ.
Twierdzenie 12:
lim M
= ⟺ lim PQM
= PQ ∧ lim RSM
= RS
→ O
→ O
→ O
Twierdzenie 13:
Jeżeli @ ∈ L (nie musi być punktem skupienia), to M jest ciągła w @ wtedy i tylko wtedy, gdy PQM i RSM są ciągłe w @.
Homografia
Niech 0, 1, J, ∈ ℂ. Homografią nazywamy funkcję postaci 0 + 1
ℎ
= J +
Przy czym przyjmujemy, że
1) G0 1
J
G = 0 − 1J ≠ 0
2) ℎ: ℂV → ℂV, gdzie
∞ X0 J = 0
ℎ ∞ = W0J X0 J ≠ 0
ℎ Y− JZ = ∞, J ≠ 0
ℎ
= 0 + 1 - przekształcenie liniowe
ℎ
= - inwersja
Angelika Mirowska
Przekształcenie liniowe przekształca prostą na prostą, okrąg na okrąg, koło na koło.
Dowód: (dla koła)
Niech ℎ
= 0 + 1. [ = { ∈ ℂ: | − @| < CF, @ ∈ ℂ, C > 0.
Niech ∈ [. Wtedy
|ℎ
− ℎ @ | = |0 + 1 − 0 @ + 1 | = |0|| − @| < |0|C
Połóżmy [\ = E ∈ ℂ: | − ℎ @ | < |0|CF. Pokazaliśmy, że ℎ [ ⊂ [′. Weźmy
∈ [′. Szukamy
∈ [, takie, że ℎ
= . Połóżmy = − _
^
^. Wtedy ℎ
= . Ponadto
| − @| = G − _ −
G = | Ò | < a|^| = C
^
_
@G = G
_!^ O
^
|^|
|^|
.
Zatem ∈ [.
Twierdzenie 15:
Każda homografia jest złożeniem skończonej ilości przekształceń liniowych i inwersji.
Angelika Mirowska