Analiza zespolona
WYKŁAD 9 (26.11.2013r.)
Niech Γ ma parametryzację Γ: < . >→ ℂ.
Z definicji krzywa Γ ma parametryzację: = − , ∈< −β,−α >
: < −β, −α >→ ℂ
Γ : : < , >→ ℂ
Γ : : < , >→ ℂ
Załóżmy, że koniec Γ =początek Γ (czyli
=
).
• Krzywa Γ + Γ dana jest z definicji parametryzacją:
=
,
∈< , >
+
−
,
∈< , + −
>
• Dodatnio zorientowany okrąg o środku w ∈ ℂ i promieniu > 0 oznaczamy przez
,
i definiujemy parametryzacją:
= + !,
∈< 0,2# >
• Niech , ∈ ℂ. Odcinek zorientowany o początku i końcu oznaczamy [ , ] i definiujemy parametryzacją:
= +
−
,
∈< 0,1 >
Łamana o początku i początku '.
, , … , '
[ , ] + [ , ] + ⋯ + [ '* , '] =:[ , , … , ']
CAŁKA ZWYCZAJNA
Niech + = , + -.: < , >→ ℂ. Jeśli ,, . są całkowalne w sensie Riemanna, to mówimy, że + jest całkowalna w sensie Riemanna i kładziemy: 2
2
2
/ + 0 ≔ / , 0 + / . 0 .
3
3
3
Przykład:
5
5
5
1) 4
! 0 = 4 6780 + - 4 8-9 0 = 0
2) 4
0
*
= 4 * !
: !
*
0 = 4 <!
:!;
*
− - 4 !<!
:!;
*
= = 6 >|
:!;
* − - @9 1 +
* = 5
Angelika Mirowska
Załóżmy, że +, >: < , >→ ℂ całkowalne (w sensie Riemanna): 2
2
2
2
a) A 4 +
3
= 4 A +, BC 4 +
3
3
= 4 BC+
3
2
2
b) ∀E∈ℂ = 4 +
3
= 4 =+
3
2
2
2
c) 4 + + > = 4 +
3
3
+ 4 >
3
2
F
2
d) ∀F∈G3,2H 4 +
3
= 4 +
3
+ 4 +
F
2
2
e) I4 +
3 I ≤ 4 |+|
3
Dowód (e):
2
Jeśli 4 +
3
= 0 to nierówność jest prawdziwa.
2
Załóżmy, że 4 +
3
≠ 0. Zapiszmy tę całkę w postaci trygonometrycznej 42 +
2
3
= I4 +
3 I L, gdzie M ∈ ℝ
2
2
2
O/ +O = * L = / + = / * L+
3
3
3
Przykładamy A do obu stron:
2
2
2
2
O/ +O = / A ( * L+) ≤ / P * L+P = / |+|
3
3
3
3
A Q ≤ |Q|, P * LP = 1
CAŁKA KRZYWOLINIOWA
Definicja:
Niech R będzie krzywą regularną o parametryzacji : < , >→ ℂ, niech +: |Γ| → ℂ będzie funkcją ciągłą. Całkę krzywoliniową z + wzdłuż Γ definiujemy wzorem: 2
/ +( )0 = / +T ( )U V( )0 .
S
3
Przykład:
1
2-
2-
08
#
/
0 = /
= -
[ * , : ]
1 − - + 2- = / 1 + -(2 − 1) 0 = 8 = 2 − 1
08 = 20 = - /* 1 + -8
2
parametryzacja odcinka: ( ) = 1 − - + T1 + - − (1 − -)U = 1 − - + 2- ,
∈< 0,1 >.
Można też inaczej sparametryzować odcinek: ( ) = 1 + - ,
∈< −1,1 >.
Angelika Mirowska
1
1
#
/
0 = /
-0 = -
[ * , : ]
* 1 + -
2.
Własność 41:
a) ∀E∈ℂ = 4 +
S = 4 =+
S
b) 4 + + > = 4 +
S
S + 4 >
S
c) 4 +
*S = − 4 +
S
d) 4
+
S
= 4 + + 4 +
W:S;
SW
S;
Dowód (c):
Parametryzacja:
Γ: : < , >→ ℂ
−Γ: : < − , − >→ ℂ, σ t = γ −t
*3
*3
/ + = / +T
U V 0 = / +T − U V − 0 = 8 = −
*S
*2
*2
08 = −0 =
3
2
= / +T 8 U V 8 08 = − / +T 8 U V 8 08 = − / + ∎
2
3
S
Definicja:
Długość krzywej. Mamy daną parametryzację Γ: : < , >→ ℂ regularną. Długość dana jest wzorem:
2
0ł Γ = / | V( )| 0 .
3
Własność 42 (o szacowaniu modułu całki krzywoliniowej): Niech Γ regularna, +: |Γ| → ℂ ciągła, ] ≔ 0ł(^), _ = sup {|+( )|: ∈ |Γ|}.
Wtedy:
O/ +( )0 O ≤ _ ∙ ] (f7@ f7Q-
6ℎ9- h iQ7@-9-7Q >7 f 78 7hą =)
S
Dowód:
2
2
2
O/ +O = O/ +T ( )U V( )0 O ≤ / P+T ( )UP ∙ | V( )|0 ≤ _ ∙ / | V( )|0 = _] ∎
S
3
3
3
Własność 43:
Niech Γ będzie krzywą regularną, +': |Γ| → ℂ, n = 0,1,2, … . + ciągła.
Jeśli (+') zbiega jednostajnie do + to: lim / + = / +.
'→o
'
S
S
Angelika Mirowska
FUNKCJE PIERWOTNE
Niech +: < , >→ ℂ. Powiemy, że p: < , >→ ℂ jest funkcją pierwotną +, gdy pV = +.
Własność 44:
Funkcja + ma funkcję pierwotną wtedy i tylko wtedy, gdy A +, BC+ posiadają funkcje pierwotne.
Własność 45:
Jeśli p: < , >→ ℂ jest funkcją pierwotną +: < , >→ ℂ i + jest całkowalna to 2
/ + 0 = p
− p
.
3
Przykład:
+
= '!,
∈< 0,2# >, 9 ∈ ℤ
Chcemy policzyć:
5
5 1
1
/ + 0 = /
'!
5 '
-9
′0 = -9
−
= 0
Jeśli 9 = 0 ⇒ + = 1
5
/ +( )0 = 2#.
Niech +: t → ℂ, G ⊂ ℂ zbiór otwarty.
Funkcja p: G → ℂ jest funkcją pierwotną +, gdy pV = +.
Twierdzenie 46:
Jeśli G ⊂ ℂ jest zbiorem otwartym, +: t → ℂ jest funkcją ciągłą, p: G → ℂ jest funkcją pierwotną +, Γ
jest krzywą regularną, |Γ| ⊂ ℂ, = =początek(Γ), w =koniec(Γ). Wtedy:
/ + = p(w) − p(=).
S
Dowód:
Niech : < , >→ ℂ parametryzacja Γ. Przyjmujemy dla uproszczenia, że jest klasy .
Mamy:
2
2
/ + = / +T ( )U V( )0 = / pVT ( )U V( )0 =
S
3
3
2
= / (p ∘ )V( )0 = pT ( )U − pT ( )U = p(w) − p(=) ∎
3
Angelika Mirowska
1
+
= , ∈ ℂ \{0}
5 - !
5
/
+ 0 = /
! 0 = / -0 = 2#- ≠ 0,
0,1 − 7h ą>
z ,
Wniosek:
Funkcja + nie posiada funkcji pierwotnej 1
+
':
'
= ', 9 ≠ −1 to p'
= 9 + 1
.
Angelika Mirowska