Zestaw 1

1. Rozstrzygnąć prawdziwość zdań:

(a) ∀x > 0 ∃a ∈ R : x < a < x,

2

√

(b) ∀x > 0 ∀y > 0 : x 6= y ⇒ x+y >

xy,

2

(c) ∃x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,

(d) ∀x ∈ R ∃y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,

(e) ∃x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2,

(f) ∀x ∈ R ∀y ∈ R : (x − y)2 = x2 − y2.

2. Podać zaprzeczenie zdania 1(f). Czy z 1(d) wynika 1(e).

3. Wyznaczyć zbiór A ⊂ N taki, aby zdanie:

∀x ∈ A : x2 ≤ 25 ⇔ |x − 4| > 1

było prawdziwe.

4. Wyznaczyć zbiór A ⊂ R taki, aby zdanie:

∀x ∈ A : 2|x|+2 < 8 ∨ log (x − 1) > 1

2

było prawdziwe.

5. Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, C, D zachodzą równości: (a) A ∪ (B \ C) = [(A ∪ B) \ C] ∪ (A ∩ C),

(b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ [(A ∩ C) \ D], (c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).

Uwaga!

def

A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B} ,

A2 def

= A × A.

6. Zbadać jakie relacje inkluzji (” ⊂ ”) zachodzą między zbiorami A, B i C jeśli prawdziwa jest równość:

(a) (A ∪ B) ∩ (C ∪ B) = B,

1

(b) (A \ B) ∪ C = A ∪ B,

(c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B.

7. Zilustrować graficznie zbiory: A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A0, B0 ⊂

2

R jeśli:

(a) A = {(x, y) ∈

2

2

R : y − 2x < 0}, B = {(x, y) ∈ R : x − 2y < 0}, n

o

(b) A = (x, y) ∈

2

2

R : 1 |x| + 1 |y| ≤ 1 , B =

(x, y) ∈

: x2 + y2 ≤ 1 .

3

2

R

4

9

[

\

8. Wyznaczyć

At oraz

At dla następujących rodzin zbiorów:

t∈T

t∈T

(a) A

t = x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 4

, t ∈ T =

t

t

N,

(b) At = {x ∈ R : X = cos t + 1}, t ∈ T = R,

(c) A

t = x ∈ R : 2 − 1 < x < 2 + 1

, t ∈ T =

t

t

N,

(d) At = {x ∈ R : x t2 ≤ 1}, t ∈ T = R \ {0}.

9. Które spośród odwzorowań jest funkcją:

(a) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| + |y| = 1,

(b) f : R → R; f (x) = y ⇔ |x| = |y|,

(c) f : N → N; f (x) = y ⇔ x2 = y2,

(d) f : R → R; f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,

(e) f : h0, +∞) → R; f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,

(f) f : R → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y2 − x = 0,

(g) f : h0, +∞) → h0, +∞); f (x) = y ⇔ y2 − x = 0.

10. Podać przykłady zbiorów X, Y ⊂ R aby odwzorowanie f : X → Y , f (x) = y ⇔ x2 + y2 = 4

było:

(a) funkcją,

(b) iniekcją,

(c) suriekcją.

11. Zbadać czy odwzorowanie f : x 7→ 2arctg (x+1) jest iniektywne. Podać Df i OIf . Czy istnieje f −1? Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f −1.

2

12. Zbadać, czy funkcja f : R → R zadana wzorem (

x2 + 1

dla x ≥ 0

f (x) =

2x − 2 dla x < 0

jest odwracalna w zbiorze R. Jeśli tak, to wyznaczyć funkcję f −1 (tzn. podać Df−1 i OIf−1

oraz wzór dla f −1 (x)).

13. Wyznaczyć f −1 ((−1, 1i) oraz f (h−5, 1)) jeśli funkcja f : R 7→ R zadana jest wzorem f (x) =

|x |x| − 4x|.

3