Funkcje zdaniowe i zbiory

Zbiór (inaczej zwany mnogością) to podstawowe pojęcie w matematyce. Przy jego pomocy moŜna
zdefiniować na gruncie teorii mnogości (zwanej teŜ teorią zbiorów) wszystkie inne pojęcia matematyczne.
Przyjmuje się, Ŝe jest to pojęcie pierwotne, tzn. nie wymagające definicji. Z drugiej strony matematycy w
praktyce nadają temu pojęciu pewien określony intuicyjny sens. Intuicyjnie moŜna powiedzieć, Ŝe zbiór
jest to objęcie przez umysł pewnej liczby przedmiotów (materialnych lub duchowych), zwanych
elementami tego zbioru. Tę nieformalną definicję podajemy dla wygody czytelnika, zastrzegając się
jednak, Ŝe nie oddaje ona w pełni treści pojęcia zbioru. Jest tylko pewnym przybliŜeniem.

Zazwyczaj zbiory oznaczamy duŜymi literami, zaś ich elementy małymi literami. Gdy   jest elementem
zbioru 

, mówimy teŜ, Ŝe   naleŜy do 

 i zapisujemy to zdanie symbolicznie w postaci:

 nazywamy symbolem naleŜenia do zbioru.

oznacza zdanie 

. Koniunkcję zdań postaci

zapisujemy krócej w formie

Przykłady zbiorów to zbiór uczniów w klasie, zbiór jabłek na drzewie, zbiór liczb rzeczywistych
dodatnich. Przyjmujemy, Ŝe dwa zbiory, które mają te same elementy, są równe. Innymi słowy, dla
dowolnych zbiorów 

 mamy

Zasadniczo zbiory moŜemy określać na dwa sposoby.

Sposób 1. Określenie zbioru przez wypisanie jego elementów. Na przykład, zapis

oznacza, Ŝe wszystkimi elementami zbioru 

 są Piotr, Jan, Ewa, Ala, 

. W szczególności prawdą jest,

Ŝe Piotr 

. Podobnie zapis

oznacza zbiór, którego wszystkie elementy to liczby 

. 

 oznacza zbiór, którego jedynym

elementem jest liczba  . NaleŜy tu podkreślić, Ŝe   i 

 to róŜne obiekty. Podobnie jabłko i zbiór

jednoelementowy złoŜony z jabłka to dwa róŜne przedmioty. Najprościej wyjaśnić to mówiąc, Ŝe jabłko
wisi na drzewie, a zbiór złoŜony z tego jabłka istnieje w umyśle.

W przypadku zbioru skończonego

dla wszystkich   prawdziwa jest równowaŜność

Dlatego zapisy 

 i 

 oznaczają ten sam zbiór złoŜony z  .

Zanim przystąpimy do podania drugiego sposobu określania zbiorów, wprowadzimy pojęcie funkcji
zdaniowej.

Wypełniając róŜne formularze często wpisujemy róŜne słowa w odpowiednie wolne miejsca. RozwaŜmy
na przykład wyraŜenie:

Gdy w miejsce kropek wpiszemy określenie jakiejś osoby (np. słowo Janek), wyraŜenie to stanie się
zdaniem. Podobnie, jeśli w wyraŜeniu algebraicznym

w miejsce niewiadomej   wpiszemy konkretną liczbę, stanie sie ono zdaniem. Obydwa rozwaŜane
powyŜej wyraŜenia są przykładami funkcji zdaniowych.

Definicja 3..1   WyraŜenie 

, które staje się zdaniem, gdy za   podstawimy obiekt określonego typu

(np. element jakiegoś zbioru) nazywamy funkcją zdaniową (predykatem). Jeśli określony jest zbiór 

, z

którego bierzemy obiekty do podstawiania za zmienną  , to mówimy, Ŝe zmienna   w funkcji zdaniowej

 ma zakres zmienności (lub krótko: zakres) 

. Piszemy wówczas 

. MoŜna równieŜ

rozwaŜać funkcje zdaniowe bez określania zakresu zmiennej.

W funkcji zdaniowej 

 zakresem zmiennej jest zbiór ludzi. W 

 zakresem zmiennej   jest zbiór liczb

rzeczywistych. Podobnie definiuje się funkcje zdaniowe 

 większej (skończonej)

liczby zmiennych.

Przykładem funkcji zdaniowej dwóch zmiennych jest wyraŜenie 

. Równania i nierówności (na

przykład takie, jak rozwaŜane w rozdziale 2) to równieŜ funkcje zdaniowe.

Przy pomocy spójników logicznych 

 i nawiasów moŜemy z danych funkcji zdaniowych

tworzyć nowe (złoŜone) funkcje zdaniowe. Na przykład, jeśli 

 i 

 to dane funkcje zdaniowe,

to równieŜ

są funkcjami zdaniowymi, przy czym wymagamy tu zgodności zakresów wspólnych zmiennych w tych
funkcjach (o ile są określone); w naszym przypadku zmienna   powinna mieć ten sam zakres w funkcjach

 i 

. Bardziej konkretny przykład to funkcja zdaniowa

(tu 

 oznacza zbiór liczb rzeczywistych). Ogólnie, gdy 

 jest formułą zdaniową, zaś 

 są

funkcjami zdaniowymi o odpowiednio zgodnych zakresach zmiennych, to podstawiając w 

funkcje 

 za zmienne zdaniowe 

 odpowiednio, dostajemy złoŜoną funkcję zdaniową.

Teraz moŜemy przedstawić drugi sposób określania zbioru.

Sposób 2. Określenie zbioru przez podanie własności, którą mają wszystkie jego elementy. ZałóŜmy, Ŝe

 jest funkcją zdaniową. Zapis

oznacza zbiór tych wszystkich  , dla których zdanie 

 jest prawdziwe

3.1

. ZauwaŜmy, Ŝe wówczas

dla wszystkich   mamy

Jeśli zakresem zmiennej   w 

 jest dany zbiór 

, to zbiór 

 istnieje, zapisujemy go

wówczas równieŜ w formie 

. Zapis ten odczytujemy następująco:

``zbiór takich   naleŜących do 

, które spełniają warunek 

''.

W matematyce zbiory określone w ten sposób to m.in.

 jest liczbą naturalną  (zbiór wszystkich liczb naturalnych),

 jest liczbą rzeczywistą  (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych),

zbiory liczb całkowitych  , liczb wymiernych 

 czy liczb niewymiernych 

.

Szczególnym zbiorem jest tak zwany zbiór pusty, tzn. zbiór bez elementów. Przyjęliśmy, Ŝe zbiory o tych
samych elementach są równe. Dlatego dowolne dwa zbiory puste są sobie równe. Istnieje więc tylko jeden
zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem  .

RozwaŜmy funkcję zdaniową 

. Wówczas

oznacza zbiór takich liczb rzeczywistych  , które spełniają warunek 

. Rozwiązując

odpowiednie równanie znajdujemy, Ŝe dla wszystkich liczb rzeczywistych   mamy

a zatem jedynymi elementami tego zbioru są liczby 

. Mamy więc

Lewa strona tej równości określa nasz zbiór przez podanie warunku spełnianego przez jego elementy,
prawa strona określa ten sam zbiór przez wypisanie jego elementów.

Przykład. Antynomia (paradoks) Russella. Niech 

 oznacza funkcję zdaniową 

. Wówczas nie

istnieje zbiór 

.

Dowód. Przypuśćmy nie wprost, Ŝe zbiór 

 istnieje. Wówczas dla wszystkich   mamy

W szczególności zdanie 

 jest słuszne, gdy   oznacza zbiór 

. Wówczas dostajemy, Ŝe 

 wtedy i

tylko wtedy, gdy 

, sprzeczność.