7
ALGEBRA ZBIORÓW
Jako pojęcia pierwotne, tzn. takie, które nie definiujemy przyjmujemy:
zbiór ,element zbioru, przynależność elementu do zbioru.
Zdanie: x należy do zbioru
A
oznaczamy symbolem x
∈
A
(x
∉
A)
(x
∈
A)’
Jeżeli
A
⊂
B,
to
A
jest podzbiorem
B
Zbiory identyczne
A,B
(A=B)
[(A
⊂
B)
∧
(B
⊂
A)]
(A
⊄
B)
[(A
⊂
B)
∧
(A ≠ B)]
Zbiorem pustym
∅
nazywamy zbiór nie zawierający żadnego elementu.
Ponieważ x
∈ ∅
=> x
∈
A
A-dowolny zbiór
więc zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Zbiór
∅
oraz A to tzw.
podzbiory niewłaściwe zbioru A.
Oznaczamy przez W(x) własność elementu x
∈
X
≠
∅
Zbiór elementów posiadających własność W(x) oznaczamy następująco
{x
∈
X:W(x)}
DZIAŁANIA NA ZBIORACH
♦ SUMA ZBIORÓW
A,B
A
∪
B={x: ( x
∈
A)
∨
( x
∈
B)}
♦ ILOCZYN ZBIORÓW
A,B
A
∩
B={x: ( x
∈
A)
∧
( x
∈
B)}
Jeżeli
A
∩
B
=
∅
to mówimy, że zbiory A,B są rozłączne
8
♦ RÓŻNICA ZBIORÓW
A,B
A\B={x: ( x
∈
A)
∧
( x
∉
B)}
♦ RÓŻNICE SYMETRYCZNE
ZBIORÓW A,B
A
*
−
B={x:[( x
∈
A)
∧
( x
∉
B)]
∨
[( x
∈
B)
∧
( x
∉
A)] }
PRAWA ALGEBRY ZBIORÓW
(1) Prawo de Morgana
)
\
(
)
\
(
)
(
\
C
A
B
A
C
B
A
∩
=
∪
)
\
(
)
\
(
)
(
\
C
A
B
A
C
B
A
∪
=
∩
(2) Prawo przemienności
A
B
B
A
∪
=
∪
A
B
B
A
∩
=
∩
(3) Prawo łączności
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
∩
∩
=
∩
∩
∪
∪
=
∪
∪
)
(
)
(
)
(
)
(
(4) Prawo rozdzielności
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
∩
∪
∩
=
∪
∩
)
(
)
(
)
(
C
A
B
A
C
B
A
∪
∪
∪
=
∩
∪
Dla liczb rzeczywistych a,b,c mamy a(b+c)=ab+ac a+(b*c)≠(a+)(a+c)
Jeżeli ograniczymy się do rozpatrywania podzbiorów danego zbioru X≠
∅
to przy A
⊂
X piszemy
A’=X\A, A’- dopełnienie zbioru A
9
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI
Iloczynem kartezjańskim - produktem kartezjańskim
zbiorów niepustych
A,B nazywamy zbiór par uporządkowanych (a,b) takich, że a
∈
A, b
∈
B
oznaczamy ten zbiór symbolem
A
×
B={(a,b) : a
∈
A, b
∈
B}
RELACJE I FUNKCJE
Relacją między elementami zbiorów A,B nazywamy podzbiór iloczynu
kartezjańskiego
A
×
B.
Mówimy, że x
∈
A
oraz y
∈
B
pozostaje względem siebie w relacji
R,
co
zapisujemy
xRy
jeżeli (x,y) należą do tego samego podzbioru, stąd
R={(x,y)
∈
A
×
B : xRy}
Relacja
f
między elementami zbioru X oraz Y nazywa się
funkcją
,
określoną na X o wartościach z Y.
]
)
(
[
)
(
,
z
y
xfz
xfy
xfy
Y
z
y
X
x
Y
y
X
x
=
⇒
∧
∀
∀
∧
∃
∀
∈
∈
∈
∈
Funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiorze Y co zapisujemy
f: X
→
Y lub y=f(x) dla x
∈
X
10
wtedy X nazywamy
dziedziną funkcji
f,
a zbiór
Y
0
= { y
∈
Y : y=f(x) } dla x
∈
X
nazywamy przeciw dziedziną funkcji f.
Jeżeli Y
0
=Y to mówimy, że f jest suriekcją X na Y.
Relację f nazywamy
funkcją odwzorowującą
X w Y wzajemnie
jednoznacznie lub funkcją wzajemnie jednoznaczną lub iniekcją, jeżeli
=
⇒
∧
∀
∀
∀
∧
=
⇒
∧
∃
∀
∧
∃
∀
∈
∈
∈
∈
∈
∈
∈
z
x
zfy
xfy
z
y
xfz
xfy
xfy
X
z
Y
y
X
x
Y
z
y
X
x
Y
y
X
x
)
(
,