Egzamin z Analizy 2, 26 VI 2013

1. a) Zadanie wstępne

∂ 2 f

1.1 Obliczyć pochodną

( − 1 , 1) , gdzie: f ( x, y) = x 4 + y 4 + y ln(2 + xy 2)

∂y 2

1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego

−

→

√

F = y 2 sin( x − 1) , yeyz− 4 , y z 2 − 3 w punkcie A = (1 , 2 , 2) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną

1  2 y



Z

Z



30 x 2 y d x d y

0

y

Z

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

3 xy d x − 2 x 2 d y ; C

C :

x = t 2 + 1 , y = t 3 od A(1 , 0) do B(2 , 1) 1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:

√

√

A :

z ­ 2 x 2 + y 2 , z ¬ 9 −

x 2 + y 2

1. b) Zadanie wstępne

∂ 2 f

1.1 Obliczyć pochodną

(1 , 1) , gdzie f ( x, y) = ( x 2 − y 2) exy− 1

∂x∂y

1.2 Obliczyć rotację pola wektorowego

−

→

F = xyz , x 2 + y 3 , x 3 z 2 w punkcie A = (1 , 1 , 1) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną

1  x+1



Z

Z



(2 x + 4 y) d y d x 0

x

Z

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

2 y d x − 3 x d y ; C

C :

x = t 3 + 1 , y = t 2 + t od A(2 , 2) do B(1 , 0) 1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:

√

A :

z ­ 2( x 2 + y 2) , z ¬ 8 x 2 + y 2

2. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y( x) : x 2 + y 4 + 2 xy = 0

3. Znaleźć ekstrema lokalne warunkowe funkcji f ( x, y, z) = x + y + z pod warunkiem xyz − 8 = 0 .

ZZ

4. Obliczyć

12 x d x d y , gdzie

D

D : y ­ x 2 , x + y ¬ 2 , y ¬ 2

1

5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-

√

wierzchniami z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + y 2 .

−

→

6. Znaleźć potencjał pola wektorowego F = P , Q , R , 1

2 xy

z

P = 6 x 2 yz +

, Q = 2 x 3 z −

, R = 2 x 3 y + √

.

y 2 + 1

( y 2 + 1)2

z 2 + 1

Z

Obliczyć

P d x + Q d y + R d z , gdzie K - krzywa kawałkami gładka o początku w K

√

punkcie A(0 , 0 , 0) i końcu w B(2 , 1 , 3) .

2