Egzamin z Analizy 2, 16 VI 2011 godz. 9.00

1. Zadanie wstępne

∂ 2 f

1.1 Obliczyć pochodną

( P ) , gdzie f ( x, y) = x 2 ln(5 x + y 3)

, P = (2 , − 2)

∂x∂y

−

→

h

z − y

q

i

1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego F =

xy + z 3 ,

, x z 2 + 3 y w x + y

punkcie P = (2 , − 1 , 2) 1.3 Obliczyć całkę iterowaną





1

x 2

Z

Z



4 x 2 + 2 y d y d x





0

0

Z

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y d x + x d y C

C :

x = t 2 , y = t od t = 0 do t = 2

1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:

√

A :

z x 2 + y 2 , z ¬ 2

2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f ( x, y) = 2 x 2 + 4 y 2 − xy 2

3. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y( x) : x 2 + y 4 + 2 xy = 0

ZZ

4. Obliczyć

( x 2 + y) d x d y , gdzie obszar D jest ograniczony parabolami y = x 2 , y 2 = x D

.

5. Znaleźć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej para-

√

boloidą obrotową z = 2 x 2 + 2 y 2 , stożkiem z = 2 x 2 + y 2 leżącej w obszarze y ­ 0

6. Sprawdzić twierdzenie Greena dla pola wektorowego P = −y , Q = x . Obszar D jest trójkątem ABC: A(0 , − 1) , B(2 , 0) , C(0 , 2) 1