Egzamin z Analizy 2, 18 VI 2010 godz. 9.00

1. Zadanie wstępne

∂ 2 f

1.1 Obliczyć pochodną

( P ) , gdzie f ( x, y) = 2 x ln( x 2 + y)

, P = (1 , 1)

∂x∂y

−

→

h

x

1.2 Obliczyć dywergencję pola wektorowego F = 2 x 2 y + z ,

, x 2 z + yz 2i w punkcie y

P = (1 , − 1 , 0)

1.3 Obliczyć całkę iterowaną

1  x



Z

Z



(2 x + 2 y) d y d x

0

0

Z

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną

y d x + x d y

C

C :

x = t 2 , y = t od t = 0 do t = 1

1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: A :

x 2 + y 2 ¬ 4 , z 2 ¬ x 2 + y 2

2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji

f ( x, y) = xy 2 − 4 y 2 − 2 x 2

3. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y( x) : x 2 + y 4 + 2 xy = 0

4. Obliczyć masę obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 , y 2 = x jeżeli gęstość ρ( x, y) = x 2 + y ZZ Z

5. Obliczyć

x 2 d x d y d z , jeżeli bryła A jest ograniczona powierzchniami z 2 = x 2 + y 2

A

, x 2 + y 2 = 2 − z 2 .

6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola ~

F = [ yz, x + y 2 , z 3] przez powierzchnię zamkniętą S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 zorientowaną na zewnątrz.

1