LISTA 7 (na 1,5 ćwiczeń) FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE
Zad.7.1 Wyprowadzić wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f. Narysować w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = f (x) i y = f –1 (x) .
1
a) f (x) = 4 − 2x , b) f (x) =
,
1 − x
c) f (x) = x2 − 2x + 2 dla x ≥ 1 , d) f (x) = x2 − 2x + 2 dla x ≤ 1 .
Zad.7.2. Narysować wykresy funkcji:
1 x
1
a)
x
f (x) = 2
, b) f (x) = − 1 , c) f (x) = 1 +
, d)
− x .
2
x
f (x) = − e
e
Zad.7.3. Obliczyć
π
log 5
3
1
log 2 2
log
2ln
1 ln
2
, log 0
,
0 1 , log tg
3
,
3 ,
3
2
,
10
6
ln e
2
,
e
,
2
e −
,
3
log 2 log 18
3 −
3
, 3log5 +
5
,
0 log64 , log 3 log 8
2 ⋅
3 .
Zad.7.4. Narysować wykresy funkcji:
a) f (x) = log (x
)
1
2
+ , b) f (x) = log
x
5
,
0
, c) f (x) = ln x , d)
2
f (x) = ln x .
Zad.7.5. Rozwiązać równania i nierówności (x+ 2)2 − 5x
5
a) 1
1
=
, b) 4x− 1 + 2x = 8 , c) e2x− 3 = 4 ,
2
4
+
x
1 x 2
d)
ex2 − 8 ≥ e , e) 2x − 6 < 2 , f) 2 +
> 1 ,
2
2ln x
g) ln x2 − 2 = 0 , h) 3log x − 1 = 2 , i)
= 1
ln 5
( x −
,
)
4
j) log2( x + )
1 − log x > 1
2
, k) log
(2x − )
4 > 4
5
,
0
− , l) ln2 x + lnx ≥ 2 .
Zad.7.6. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne ( x , y ) spełniają podany warunek.
a) log y = log x + log 3
2
2
2 , b) log
y = 2log
(x + )
1
5
,
0
5
,
0
,
c) 2ln y = ln x + ln 2 , d) log y = log x + log 5
,
0 ,
e) ln y = − ln(x − )
1 , f) ln y = − ln x + 1 , g) ln(x − y) + ln(x + y) = 0 , h) ln x − y + ln x + y = 0 .
Zad.7.7. Obliczyć
1
3
arcsin1 , arccos0 , arctg(− )
1 , arcct (
g − )
1 , arcsin − , arcco s −
,
2
2
1
1
π
arctg 3 , arcct
g −
, sin
11
arcsin , arcco s co s − , arcsin sin π
3
3
6
4
Zad.7.8. Określić dziedzinę funkcji
2
1
2x
a)
1 − x
f (x) = arcsin
, b) g(x) = arccos , c) h(x) = arcsin
.
2
x
2
1 + x
Dla funkcji f i g podać zbiór wartości.
Zad.7.9. Rozwiązać równanie
1
1
3
3
a) sin x =
, b) sin x = − , c) cos x =
, d) cos x = − .
3
4
3
4
Zad.7.10. Obliczyć granice ciągów lub funkcji 1
1
a)
x
lim 2
, b) lim
lim (arcsin x + arccosx
x
x , c)
)
x→ 0
,
x
0−
→
x→ − ∞ 2 − 3
1
lim [n ln(n + )
1 − n ln n]
d) lim arctgn , e) lim ln , f)
.
n→ ∞
n→ ∞
n
n→ ∞
Zad.7.11. Korzystając z reguły de L`Hospitala obliczyć granice
π
x − arctgx
ln x
ln sin x
a) lim
lim
2
, b)
, c)
2 ,
x→ 0
x
x→ + ∞
x
lim
x→ 1
ln x
ln +
lim ( x − ln x)
1
lim
( x
1 2 )
d)
, e)
, f) lim
− ctgx .
x
x→ − ∞
3
x→ + ∞
−
x
0 x
→
Zad.7.12. Wyznaczyć wszystkie asymptoty podanych funkcji 1
x
a)
x
2
f (x) = (x + )
2 e
, b) f (x) =
, c) f (x) = ln(x − 4) .
arctgx
Jolanta Sulkowska