Analiza Matematyczna - I Rok Informatyki
Lista 14 - Zastosowania geometryczne całek z funkcji jednej zmiennej
Zadanie 1. Obliczyć długości łuków następujących krzywych:
(1) krzywej y = x
2
, 0 ¬ x ¬ 2;
(2) linii łańcuchowej y = a cosh
x
a
= a
e
x
a
+e
− x
a
2
dla 0 ¬ x ¬ t;
(3) krzywej logarytmicznej y = ln x w przedziale
√
3 ¬ x ¬ 2
√
2;
(4) krzywej y = arc sin x +
√
1 − x
2
dla −1 ¬ x ¬ 1;
(5) okręgu o równaniach parametrycznych: x = r cos t, y = r sin t, r > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;
(6) cykloidy: x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), gdzie r > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;
(7) asteroidy: x = a cos
3
t, y = a sin
3
t, gdzie a > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;
(8) ewolenty (rozwijającej) okręgu: x = a cos t + at sin t, y = a sin t − at cos t, a > 0,
0 ¬ t ¬ 2π;
(9) spirali logarytmicznej r = ae
kθ
, gdzie a > 0, k > 0, 0 ¬ θ ¬ α;
(10) spirali Archimedesa: r = aθ, a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;
(11) kardioidy: r = a(1 + cos θ), gdzie a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;
(12) lemniskaty r
2
= 2a
2
cos(2θ);
(13) linii śrubowej (krzywa przestrzenna): x = R sin
2
t, y = R sin t cos t, z = R cos t,
0 ¬ t ¬ 2π.
Zadanie 2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych następującymi krzywymi:
(1) okręgiem: x = R cos t, y = R sin t, gdzie R > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;
(2) elipsą: x = a cos t, y = b sin t, gdzie a, b > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;
(3) odcinkiem osi OX i łukiem cykloidy określonej w Zadaniu 1;
(4) asteroidą określoną w Zadaniu 1.;
(5) osiami współrzędnych i parabolą:
√
x +
√
y =
√
a, a > 0;
(6) spiralą logarytmiczną określoną w Zadaniu 1 oraz promieniami wodzącymi o ampli-
tudach 0 i α, gdzie 0 ¬ α ¬ 2π;
(7) lemniskatą określoną w Zadaniu 1;
(8) rozetą trójkątną: r = a sin 3θ, a > 0;
(9) pętlą spirali Archimedesa: r = aθ, a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;
(10) spiralą hiperboliczną: r =
a
θ
, a > 0,
π
4
¬ θ ¬ 2π;
