FIZYKA – WZORY

Rozdziały:

1.1. Mechanika punktu materialnego

1.2. Mechanika bryły sztywnej

1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej

1.4. Pole grawitacyjne

1.5. Pole elektrostatyczne

1.6. Prąd stały

1.7. Pole magnetyczne

1.8. Pole elektromagnetyczne

1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne

1.10. Fale mechaniczne i elektromagnetyczne

1.11. Optyka

1.12. Dualizm falowo-korpuskularny

1.13. Termodynamika

1.14. Budowa atomu

1.15. Jądro atomowe i cząstki elementarne

1.1. Mechanika punktu materialnego

POJĘCIA PODSTAWOWE

Wektor połoŜenia r = [x,y,z]

Wartość wektora połoŜenia

2

2

2

r =

x + y + z

dx

dy

dz

Prędkość v = [v

=

=

=

x,vy,vz], gdzie v

, v

, v

x

dt

y

dt

z

dt

Jednostką prędkości jest metr na sekundę: m/s

dv

d 2 x

dv

d 2 y

dv

d 2 z

Przyspieszenie a = [a

=

=

=

=

=

=

x,ay,az], gdzie a

x

, a

y

, a

z

x

dt

dt

y

dt

dt

z

dt

dt

Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu: m/s2

1

t

Droga s w przedziale czasu t

s( t , t )

v t dt

0

1

=

0 do t1:

∫ ( )

t 0

1

Dla ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego: v = v

,

2

s = s + v t +

at

0 + at

0

0

2

RUCH PO OKRĘGU

Ruch po okręgu: x = x + r cosα ( t) , y = y + r cosα ( t) , gdzie α(t) – dowolna funkcja czasu 0

0

Jest to ruch po okręgu ośrodku w x0 i y0.

dα

Wielkość ϖ =

nazywamy prędkością kątową, zaś wielkość

dt

dϖ

d α

2

ε =

=

przyspieszeniem kątowym.

dt

dt

v

∆ v v 2

2

v

Dla ruchu jednostajnego ϖ =

= const.,ε = 0 , a = lim

=

,

2

a =

= ϖ r = const., gdzie

r

n

∆ t

r

n

r

an – przyspieszenie dośrodkowe.

ZASADY DYNAMIKI

I zasada dynamiki: Istnieje taki układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym

wszystkie punkty materialne nie podlegające oddziaływaniom poruszają się ruchem

jednostajnym prostoliniowym lub spoczywają. Prawa mechaniki mają szczególnie prostą

postać w inercjalnych układach odniesienia.

→

II zasada dynamiki: Punkt materialny, na który działa niezrównowaŜona siła F , uzyskuje w

→

inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie a o kierunku i zwrocie zgodnym z

→

→

kierunkiem i zwrotem siły i o wartości wprost proporcjonalnej do wartości siły: F = m a

Za jednostkę siły przyjęto taką siłę, która ciału o masie 1kg nadaje przyspieszenie 1m/s2.

m

Jednostkę tę nazywamy niutonem (N): 1 N = 1 kg *

2

s

Istnieje teŜ inne sformułowanie II zasady dynamiki:

→

→

Pierwsza pochodna pędu p względem czasu jest równa sile F działającej na ciało:

→

→

d p = F

dt

Zmiana pędu w czasie t0 do t1 jest równa popędowi siły.

III zasada dynamiki: Oddziaływania w przyrodzie mają charakter zwrotny. Jeśli ciało B

wpływa na stan ciała A, to i ciało A musi wpływać na stan ciała B.

lub:

JeŜeli ciało B działa na ciało A pewną siłą, to jednocześnie ciało A działa na ciało B siłą

równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną i leŜącą na tej samej prostej.

F

= − F

AB

BA

PRAWO ZACHOWANIA PĘDU UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Suma pędów ciał wchodzących w skład układu izolowanego, zwana całkowitym pędem

układu, jest wielkością stałą: p = p + p = const.

a

b

ENERGIA KINETYCZNA I PRACA

Praca wykonana przez siłę F działającą na punkt materialny o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

1

2

E =

mv

k

2

Praca przy stałej sile jest równa iloczynowi skalarnemu siły i wektora przesunięcia wzdłuŜ

kierunku działania siły: W = F[ r( t ) − r( t )] = Fs cos .

1

0

α

JeŜeli na punkt materialny działa zmienna siła, wówczas praca wynosi: W = ∫ Fdr .

Jednostką pracy i energii jest dŜul (J). Jest to praca wykonana przez przyłoŜenie siły 1N i przesunięcie ciała na drodze 1m w kierunku równoległym do siły.

Praca przypadająca na jednostkę czasu nazywana jest mocą. Jednostką mocy jest wat (W).

1.2. Mechanika bryły sztywnej

Bryłą sztywną nazywamy ciało, w którym odległości między dowolnie wybranymi punktami nie zmieniają się podczas ruchu ciała. Wektor połoŜenia r środka masy: 1

r =

∑ m r

i i

M

dα

Prędkość kątowa bryły: ϖ =

dt

2

dϖ

d α

Przyspieszenie kątowe bryły: ε =

=

2

dt

dt

ruch postępowy

ruch obrotowy

wzajemne zaleŜności

jednostajny

droga

s = vt

α = ϖ t

s = r

α

prędkość

s

α

v = ϖ r

v =

ϖ =

t

t

jednostajnie zmienny

przyspieszenie

v − v

ϖ ϖ

a = r

ε

a

0

=

0

ε

−

=

t

t

prędkość

v = v

ϖ = ϖ

v = ϖ r

0 + ε t

0 + at

droga

2

at

2

ε t

s = v t +

α = ϖ t +

0

2

0

2

2

n

ϖ

2

I ϖ

Energia kinetyczna obracającej się bryły: E

m l 2 lub

z

E =

k =

∑ i i

2

k

2

i=1

n

Moment bezwładności: I

m l 2

z = ∑

i i

i=1

Jednostką momentu bezwładności jest [Iz]=kg*m2

Moment pędu bryły: J = I

ϖ z

Jednostką momentu pędu jest [J]=kg*m2/s

Moment siły: M = r * F

1.3. Elementy mechaniki relatywistycznej

Nie obowiązuje II zasada dynamiki w postaci ma=F.

Obowiązuje w dalszym ciągu prawo: F=dp/dt.

Zamiast wzoru p=mv teoria względności kaŜe uŜywać wzoru p = m v , gdzie m r

r zaleŜy od

masy ciała w spoczynku i od prędkości ciała:

m

m =

r

2

v

1 − 2

c

RównowaŜność masy i energii:

2

E = mc

1.4. Pole grawitacyjne

POJĘCIA PODSTAWOWE

→

→

m m r 12

Prawo powszechnej grawitacji:

1

2

F

= −

12

G

2

r

r 12

F

M

NatęŜenie pola grawitacyjnego:

Mm

γ =

= G

2

m

r

1

1

Praca w polu grawitacyjnym: W = GMm(

− )

r

r

1

2

GMm

Energia potencjalna: E = −

r

E

M

Potencjał grawitacyjny: V =

= − G

m

m

Prawa Keplera:

I – Orbita kaŜdej planety jest elipsą, przy czym Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk elipsy.

II – Prędkość polowa kaŜdej planety jest stała, co oznacza, Ŝe wektor połoŜenia planety zakreśla w jednakowych przedziałach czasu równe pola.

III – Stosunek kwadratu okresu T obiegu planety dookoła Słońca do sześcianu średniej 2

T

odległości R od niego jest dla wszystkich planet Układu Słonecznego jednakowy:

= const.

3

R

1.5. Pole elektrostatyczne

POJĘCIA PODSTAWOWE

Całkowity ładunek elektryczny układu odosobnionego nie moŜe ulegać zmianie.

Qq

Siła między ładunkami: F = k

2

r

1

k = π

4 ε

F

NatęŜenie pola: E =

q

Wektor indukcji: D = ε

0ε E

r

Strumień indukcji: φ

D dS

E = ∫

n

S

PRAWO GAUSSA

JeŜeli w obszarze ograniczonym zamkniętą powierzchnią S nie ma ładunków lub suma ich równa się zeru, to φ

E =

.

0

PRACA W POLU ELEKTROSTATYCZNYM

1

1

Praca: W = kQq(

− )

r

r

1

2

kQq

Energia potencjalna: E =

r

E

Potencjał: V =

q

ZACHOWANIE SIĘ CIAŁ MATERIALNYCH W POLU ELEKTROSTATYCZNYM,

KONDENSATORY

Q

Pojemność: C =

(jednostką jest farad [F])

V

ε S

Pojemność kondensatora płaskiego: C =

d

1.6. Prąd stały

NAPIĘCIE. NATĘśENIE. GĘSTOŚĆ PRĄDU. OPÓR ELEKTRYCZNY.

PRAWO OHMA

ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ODBIORNIKÓW ENERGII

ELEKTRYCZNEJ

PRAWA KIRCHHOFFA

PRACA I MOC PRĄDU STAŁEGO

1.7. Pole magnetyczne

F

Indukcja magnetyczna: B =

(jednostka tesla [T])

qv

PRZEWODNIK Z PRĄDEM W POLU MAGNETYCZNYM

Siła elektrodynamiczna: F = I l

∆ B sinα

PRAWO BIOTA-SAVARTA

µ

∆ l × r

0

∆ B =

I

3

4π

r

1.8. Pole elektromagnetyczne

PRAWO INDUKCJI FARADAYA. DRUGIE PRAWO MAXWELLA.

dφ

SEM indukowane:

B

Ε = −

dt

Reguła Lenza: Prąd indukowany ma taki kierunek, Ŝe przeciwstawia się zmianie strumienia,

która go wywołała.

II prawo Maxwella: Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne.

PIERWSZE PRAWO MAXWELLA

KrąŜenie wektora indukcji magnetycznej B po pewnej krzywej L jest proporcjonalne do zmian

strumienia pola elektrycznego Φ przechodzącego przez powierzchnię S rozpiętą na krzywej S.

dφ

K

E

= ε

0 µ

b

0

dt

RÓWNANIA MAXWELLA

Nazwa

Równanie

Sformułowanie słowne

r r

Prawo Gaussa dla elektryczności

ε

Strumień pola E przez dowolną

0 ∫ EdS = Q

powierzchnię zamkniętą równy jest

lub

całkowitemu ładunkowi zawartemu

1

wewnątrz tej powierzchni.

φ =

Q

E

ε0

r v

Prawo Gaussa dla magnetyzmu

∫ BdS = 0

Strumień pola B przez dowolną

powierzchnię zamkniętą równy jest

lub

zeru.

φ

B = 0

Prawo Ampere’a rozszerzone

r r

∫

φ

KrąŜenie wektora indukcji

Bd =

d

l

E

µ ε

µ

0

0

+ I

przez Maxwella

magnetycznej B po pewnej krzywej jest

dt

0

proporcjonalne do zmiany strumienia

lub

pola elektrycznego przechodzącego

dφ

przez powierzchnię S oraz do prądu

K = µ I

E

+

0

µ0ε

B

0

przewodzenia I przepływającego w

dt

przewodniku wewnątrz obwodu

całkowania.

Prawo indukcji Faradaya

r r

∫

φ

KrąŜenie wektora natęŜenia pola

Ed = − d

l

B

elektrycznego po krzywej zamkniętej

dt

jest równe ze znakiem przeciwnym

lub

pochodne względem czasu strumienia

dφ

indukcji B przechodzącej przez

K

B

= −

E

powierzchnię rozpiętą na krzywej.

dt

1.9. Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne

RUCH HARMONICZNY

1

Częstotliwość w hercach [Hz]: v =

T

π

Częstotliwość kołowa w radianach na sekundę [rad/s]: ω

2

=

T

 π

2



Równanie ruchu harmonicznego: x = A sin

t + α  ; A>0, T>0.

 T



dx

Prędkość ruchu harmonicznego: v

cos

s =

= ϖ A

(ϖ t +α)

dt

dv

Przyspieszenie ruchu harmonicznego: a =

S

2

sin

S

= ϖ

− A (ϖ t +α)

dt

a

2

= ϖ

− x

S

Prawo Hooke’a: F= - kx

2

k

SpręŜyna drgająca: ϖ =

m

ENERGIA W PROSTYM RUCHU HARMONICZNYM

Energia potencjalna w punkcie x:

2

E = − kx

p

1

Energia kinetyczna w kaŜdej chwili:

2

E =

mv

K

2

1

Całkowita energia:

2

E = E + E =

kA

K

p

2

ELEKTRYCZNY OBWÓD DRGAJĄCY

dφ

dI

Indukcyjność:

B

ε

= −

= − L

, gdzie L – indukcyjność w henrach [H]

samoinduk j

c i

dt

dt

Porównanie drgań mechanicznych i elektrycznych

Q

x

I

v

C

1/k

L

m

1

ϖ =

k

ϖ =

LC

m

1

2

2

E =

kx

1 Q

=

p

E

2

p

2 C

1

1

2

E =

mv

2

E =

LI

k

2

k

2

Fale mechaniczne i elektromagnetyczne

RODZAJE FAL

- Fala poprzeczna

- Fala podłuŜna

- Jednowymiarowa

- Dwuwymiarowa

- Trójwymiarowa

- Impuls

- Ciąg fal

- Fala harmoniczna prosta

- Płaska

- Kulista

FALE HARMONICZNE

v

Długość fali: λ = Tv =

f

FALE STOJĄCE

λ

Długość sznura (warunek powstania fali, węzły na końcach):

n

L = n

2

FALE DŹWIĘKOWE

Zakres słyszalny: 20-20000Hz

Pod zakresem słyszalnym – INFRADŹWIĘKI. Nad zakresem słyszalnym –

ULTRADŹWIĘKI.

Parametry dźwięku: głośność, wysokość, barwa.

ZJAWISKO DOPPLERA

1

v − v

v − v

Częstotliwość dźwięku poruszającego się: f

0

′ =

=

= f

0

T

0

′

λ

v

0

Oddalający się od źródła: v0>0, zbliŜający się do źródła v0<0.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

1

Prędkość fali elektromagnetycznej: v =

εµ

r

r

r

1

Energetyczne własności fal opisuje wektor Poyntinga: S =

E × B

µ

0

Widmo fal:

- Gamma

- X – twarde i miękkie

- Nadfiolet

- Widzialne

- Podczerwień

- Fale radiowe i mikrofale

- UKF i TV

- Radiofonia

- Fale długie

Optyka

PODSTAWOWE PRAWA OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

1. W ośrodkach jednorodnych światło rozchodzi się wzdłuŜ linii prostych, które nazywamy

promieniami.

2. Kąt odbicia promieni świetlnych od granicy dwóch ośrodków jest równy kątowi padania.

3. Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania światła na granicy dwóch

ośrodków jest wielkością stałą.

sin α

Prawo załamania:

= const. = n

12

sin β

v 1

n =

12

v 2

c

n =

1

v 1

OBRAZY W SOCZEWKACH

Właściwości soczewek skupiających:

- Promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę przecinają się w jednym punkcie, w ognisku soczewki, połoŜonym na głównej osi optycznej 1

 1

1 

- Ogniskowa:

= ( n

1

, gdzie r - promienie krzywizny obu soczewek

12 −

) + 

f

 r

r

1

2 

- Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów w odległości x>f na głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów połoŜonych w odległości x<f.

- Odległość przedmiotu – x, odległość obrazu – y

1

1

1

= +

f

x

y

Przyjmuje się, Ŝe odległości obrazów pozornych od soczewki są ujemne.

Właściwości soczewek rozpraszających:

- Promienie równoległe do głównej osi optycznej soczewki odchylają się po przejściu przez soczewkę tak, Ŝe ich przedłuŜenia przecinają w ognisku pozornym – punkcie połoŜonym na głównej osi optycznej przed soczewką

- Ogniskowej soczewki rozpraszającej przypisujemy umownie wartość ujemną. Ogniskowa 1

 1

1 

ta jest określana takŜe wzorem soczewkowym:

= ( n

1

12 −

) + 

f

 r

r

1

2 

- Soczewka rozpraszająca wytwarza obrazy pozorne przedmiotów połoŜonych na głównej osi optycznej

1

1

1

- Odległość przedmiotu x i obrazu y od soczewki spełniają równanie soczewki:

= +

f

x

y

h

y

Powiększenie: p = 0 =

h

x

p

Jednostka zdolności skupiającej – dioptria [D] = [m-1].

Rodzaje obrazów w soczewkach skupiających i zwierciadłach kulistych wklęsłych: x

y

p

Rodzaj obrazu

x = ∞

y=f

p=0

Wiązka promieni równoległych do osi

optycznej soczewki (zwierciadła) skupia

się w ognisku

x>2f

f<y<2f

p<1

Obraz rzeczywisty, zmniejszony,

odwrócony

x=2f

y=2f

p=1

Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu

(równy), odwrócony

f<x<2f

y>2f

p>1

Obraz rzeczywisty, powiększony,

odwrócony

x=f

y = ∞

p = ∞

Promienie wychodzące z ogniska po

odbiciu od zwierciadła (po przejściu przez

soczewkę) są równoległe

0<x<f

y<0

p>1

Obraz pozorny, powiększony, prosty

OPTYKA FALOWA. DYFRAKCJA I INTERFERENCJA ŚWIATŁA

Zasada Huyghensa: kaŜdy punkt ośrodka, do którego dochodzi czoło fali, staje się źródłem

wtórnych fal elementarnych.

POMIAR DŁUGOŚCI FALI ŚWIATŁA

Siatka dyfrakcyjna: d sin α = n

n

λ

gdzie n=0,1,2,... (n < d/λ), d – stała siatki (odległość między szczelinami w siatce)

Dualizm falowo-korpuskularny

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE ZEWNĘTRZNE

2

mv max

eU =

h

2

gdzie Uh – potencjał hamujący, vmax – maksymalna prędkość elektronu.

1

2

hf = W +

mv

max

2

gdzie W – praca wyjścia, h – stała Plancka, f – częstotliwość.

ZJAWISKO COMPTONA

1

2

hf = hf +

mv

0

max

2

Zmiana częstotliwości fotonu padającego i nadanie prędkości elektronowi.

FALE MATERII DE BROGLIE’A

h

λ =

p

ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

p

∆

x

∆ ≥ h

x

PołoŜenie i pęd cząstki moŜemy określić ze skończoną dokładnością.

Termodynamika

PARAMETRY STANU

F

∆

Ciśnienie w paskalach [Pa]: p =

S

∆

Prawo Pascala: Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zaleŜy od

ustawienia powierzchni, na którą działa, i w kaŜdym punkcie gazu czy cieczy jest jednakowe.

RÓWNOWAGA TERMODYNAMICZNA – ZEROWA ZASADA TERMODYNAMIKI

JeŜeli ciała A i B są w równowadze termicznej z trzecim ciałem C (termometrem), to A i B są

w równowadze termicznej ze sobą.

CIEPŁO

I zasada termodynamiki: W dowolnej przemianie termodynamicznej układu zamkniętego

zmiana ∆ U energii wewnętrznej jest równa ciepłu Q dostarczonemu do układu i pracy W

wykonanej nad układem.

U

∆ = Q + W

Ciepło właściwe – c : Q = cm( t − t ) 1

0

Podstawową jednostką ciepła jest dŜul [J], a jednostką ciepła właściwego dŜul na kilogram razy kelwin [J/(kg*K)].

PRZEMIANY FAZOWE

- topnienie

- krzepnięcie

- parowanie

- skraplanie

- sublimacja

- resublimacja

RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO

Przemiana izotermiczna:

Opisywana przez prawo Boyle’a i Mariotte’a: Dla ustalonej liczby moli gazu i temperatury

iloczyn ciśnienia i objętości jest w ustalonej temperaturze wielkością stałą.

p V = p V = const.

1 1

2

2

Przemiana izobaryczna:

Opisywana przez prawo Gay-Lussaca: Dla ustalonej liczby moli gazu pod stałym ciśnieniem

wzrost temperatury powoduje wzrost objętości gazu proporcjonalny do róŜnicy temperatur.

V = V 1

( + α t

∆ )

0

α - współczynnik termicznej rozszerzalności gazu

Przemiana izochoryczna:

Opisywana przez prawo Charlesa: Dla ustalonej liczby moli gazu w stałej objętości wzrost

temperatury powoduje wzrost ciśnienia gazu proporcjonalny do róŜnicy temperatur.

p = p 1

( + β t

∆ )

0

β

-współczynnik pręŜności termicznej gazu

1

Dla gazu doskonałego α = β =

, a przy uŜyciu skali Kelvina ( T=t+273) otrzymujemy:

273

V

V 0

=

= const.

T

T 0

p

p 0

=

= const.

T

T 0

Równanie Clapeyrona: pV = nRT , gdzie R- stała gazowa PRZEMIANA ADIABATYCZNA GAZU DOSKONAŁEGO

k

k

p V = p V

1 1

2

2

gdzie k = cp /cv , cp- ciepło właściwe przy przemianie izobarycznej, cv- ciepło właściwe przy przemianie izochorycznej.

DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI

We wszystkich układach odosobnionych całkowita entropia układu nie moŜe maleć.

ELEMENTY KINETYCZNEJ TEORII GAZÓW

2 n

Ciśnienie: p =

E

ksr

3 V

2

Energia kinetyczna średnia: E

= RT

ksr

3

Budowa atomu

Jądro atomowe i cząstki elementarne