t·m
i(m)
K(t) = K(0) ·
1 +
,
dla t = 0, 1, 2, . . .
m
Można rozszerzyć ww. zależności na okresy odsetkowe nie b ędące całkowitą wielokrotnością okresu kaptalizacji (m — dowolna liczba rzeczywista dodatnia)
oraz na dowolne rzeczywiste nieujemne chwile czasu t .
Efektywna stopa procentowa [ effective annual rate]: skracana do EAR, (prawie) „prawdziwa” stopa odsetkowa, uwzgl ędnia cz ęstotliwość kapitalizacji. Czasem jest nazywana annual percentage yield (APY). Z definicji to stopa odsetkowa EAR, która bez kapitalizacji w podokresach (czyli w okresach odsetkowych) daje takie same odsetki, jak wyliczona z uwzgl ędnieniem kapitalizacji stopa nominalna i = APR/m. EAR umożliwia proste porównanie inwestycji o różnej cz ęstotliwości kapitalizacji. Wynika stąd, że APR!m
EAR + 1 =
1 +
.
m
Ustawa z dnia 12 maja 2011r. o kredycie konsumenckim (Dz. U. z 2011 r. Nr 126, poz. 715) wprowadza poj ęcie rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania (RRSO), która (w przypadku kredytów), oprócz oprocentowania,
uwzgl ędnia także pozostałe koszty kredytu (np. prowizje).
Dlatego EAR jest „prawie” prawdziwa.
K. M. Przyłuski
MF 7
Kredyty (pożyczki)
B ędziemy rozpatrywać umowy kredytowe różniące si ę sposóbem spłaty.
Spłata kredytu [ loan repayment]: proces stopniowej spłaty kredytu w pewnym okresie czasu, ustalonym w umowie;
istnieją różnorakie „schematy”, które spełniają poniższe podstawowe założenia.
• W kolejnych okresach odsetki nale ˙
zne są proporcjonalne
do aktualnego zadłużenia.
• W pierwszej kolejno ´
sci spłacane s ˛
a zawsze odsetki,
a nie spłacona cz ęść odsetek powi ększa zadłużenie.
Wynika stąd, że obowiązuje schemat odsetek złożonych.
Spłata (dokładniej: kwota spłaty [ payment amount]) zmniejsza aktualne zadłużenie [ outstanding loan balance, in. outstanding principal], tylko wtedy, gdy jest wyższa niż należne za dany okres odsetki.
Jeśli jest niższa, zadłużenie zwi ększa si ę o różnic ę ww. odsetek i spłaty.
Rata kapitałowa [ principal repaid ] to ta cz ęść spłat, która redukuje zadłużenie pocz ˛
atkowe, czyli kwot ę kredytu.
Jeśli kwota spłaty w jakimś okresie nie przewyższa niezapłaconych odsetek, to rata kapitałowa jest zerowa.
Rata kapitałowa jest zawsze nieujemna!
K. M. Przyłuski
MF 8
Kredyt określony jest przez kwot ę kredytu, nominaln ˛
a stop ę
procentową (APR), cz ęstotliwość kapitalizacji i sposób spłat.
Spłaty (zwane też „ratami”) powinny nast ępować w określonych chwilach czasu, np. po trzecim i ósmym miesiącu oraz na koniec roku, albo np. na koniec każdego kwartału.
Okres czasu dzielący kolejne chwile płatności (niektóre płatności mogą być zerowe) nazywany bywa okresem płatno ści lub spłat [ payment period ]. Okres płatności może być różny od okresu odsetkowego. Dlatego pod poj ęciem okresu płatności b ędziemy w dalszym ci ˛
agu rozumieć też
takie okresy, po których może si ę zmienia ć zadłużenie.
Przykłady przybliżą nam poj ęcie okresu płatności.
Strumie ´
n przepływów pieni ężnych [ cash flow stream]: rozpatrujemy n jednakowych okresów. Są to zwykle okresy odsetkowe lub okresy płatności (czasem rozpatrywane są okresy jednostkowe). Zakładamy, że przepływy pieni ężne mogą nast ępować na początku pierwszego z okresów i na ko ńcu każdego z n okresów. Określają one ciąg CF = (CF0, CF1, . . . , CFn)
wpływów i wydatków w kolejnych okresach czasu, zwany (regularnym) strumieniem przepływów pieni ężnych.
CF0 to przepływ na początku pierwszego okresu;
dla k 6= 0, CFk to przepływ na ko ńcu k-tego okresu.
Dodatnie CFk — wpływ; ujemne — wydatek („wypływ”); zerowe — brak wpływów i wydatków.
K. M. Przyłuski
MF 9
Opis analizowanych kredytów
Czas trwania (umowy) 4 lata; okres płatności to 1 rok i jest równy okresowi odsetkowemu;
stopa odsetkowa wynosi 10 %; kwota kredytu to 1000 zł.
Dla wszystkich rozpatrywanych schematów spłaty kredytu: numer — dotyczy okresu spłaty;
zadłużenie — na początku okresu;
odsetki — wyznaczone dla zadłużenia z początku okresu; Uwaga: ww. odsetki to odsetki należne za dany okres; nie muszą być spłacane na bieżąco;
spłata — nast ępuje na ko ńcu okresu.
Kredyt 1.
Jednorazowa spłata kredytu oraz odsetek
Harmonogram („schemat”) spłaty tego kredytu: nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
0
0
2
1100
0,1
110
0
0
3
1210
0,1
121
0
0
4
1331
0,1
133,1
1000
1464,1
Σ
464,1
1000
1464,1
CF = (−1000, 0, 0, 0, 1464,1).
Ostatnia spłata = 1464,1 to po prostu 1000 · (1 + 0,1)4
(por. wzór na odsetki składane).
K. M. Przyłuski
MF 10