Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
E( Y T = ,
5 X
P X
T
E Y T
X
P X
T
1 ≥
)3 ( 1 ≥ 3 = 5)+ ( = ,5 1 < )3 ( 1 < 3 = 5)=
= P( X ≥ 3 T = 5 =
≥
+ = = = −
1
) P( X 3 X Y 5) y 5 x, gdzie X ≅ wykl( θ), Y ≅ Γ( ; 4 θ
n
i
)
zl; X + Y ≅ Γ(5; θ)
5
4
− x
θ
θ
3
− θ(5− x
∫ e
θ
5
( − x) e
) dx
6
3
=
θ 5 4 −5 θ
5 e
24
2 −5 θ 5
LICZ = 5 − x = t →=
e
θ
3
2 −5 θ 5
e
θ
2 24
16
3
ODP =
=
=
= ,
0 0256
5
θ
3
4
− θ
54
5
54
5 e
24
Zadanie 2
JeŜeli H prawdziwa to liczba ustawień xyxxyyy takie samo prawdopodobieństwo 0
Trzeba policzyć prawdopodobieństwo, Ŝe suma pozycji >13
765,764,763,762,761,754,753,752,743,654,653 czyli wszystkich moŜliwości 11
11
11
11
11
ODP =
=
=
=
7
!
7
56 ⋅ 7
35
!
3
!
4
6
3
Zadanie 3
E( 2
2
2
2
N − 2 aXN + a X − 2 bN + 2 abX + b ) 2
2
2
2
= EN − 2 aE( XN) + a EX − 2 bEN + 2 abEX + b
∂
−
2
E( XN )
bEX
= −2 E( XN) + 2 aEX + 2 bEX = 0 → a =
2
a
∂
EX
∂ = −2 EN + 2 aEX + 2 b = 0
∂ b
2
EN ⋅ EX − EXE( XN ) b =
2
2
EX
− ( EX )
to min
1
EN = EE( N λ) 1
= Eλ =
wiadomo, Ŝe N ≅ UJ. DWUM ; 2
4
9
1
EX = EEE( X N, θ) = EE( Nθ) 1
1
9
= EN θ
E = 2
=
8 3
12
9
2
EX
= EEE( 2
X
N , θ ) = EE( Nθ 1
( − θ +
2
2
N θ ) = 1
)
Eθ 1
( − θ) + 11
2
Eθ =
4
32
11
1
2
1
3 1
1 1
19
=
− Eθ + Eθ =
+
=
32
4
4
32 6
4 3
192
E( XN ) = EE( XN N ) = E( NE( X N ) = E( NE( Nθ))
1
=
2
11
E N =
→
3
96
1 19
1 11
11
35 1
−
−
35
54
4 192
12 96
96
212 12
→ b =
=
, a =
=
19
1
212
19
53
−
192
144
192
Zadanie 4
2
P(
t
t
X 2 < t) = P(− t < X < t ) = 2 ∫
− x
θ
x
θ e
= ∫ − wθ
e
θ
≅ wykl θ
( )
0
0
∑ 2
X
i
≅ Γ(2 ;
0 θ)
≅ χ 2 (40)
6 4
4 7
4
4 8
w
∞
w
20
19
∞
x =
−
− w
1
1
1
55 8
,
P( K ) =
θ
2
= ∫ θ
w
e 2
dw =
2
55 8
,
19
19
∫
w 19 e 2 → tθ =
→ t =
20
1 !
9 2
2
1 !
9 2
2
w =
θ
θ
θ
2 θ
t
2 θ
t
2 θ
x
H : EX = 0
0
przy
2
1
EX
= = 1 → θ = 1
θ
55 8
,
czyli: t =
≈ 27 8
, 793
2
Zadanie 5
2 n
− θ∑
L = θ Π
i
x
x e
i
ln L = 2 n ln θ + ∑ ln x θ
x
i −
∑ i
∂ = 2 n −∑
2 n
X
θˆ
0
i =
→ =
∂ θ
θ
∑ Xi
X ≅ Γ( ;
2 θ)
P( θ
X < t) = ... ≅ Γ(2 n ) 1
;
≅ ∑ X
i
1
1
po przekształceniach:
−1 2 n;
−1 2 n d
l
a X ≅ N (
)
1
,
0
0
,
1 5
9
,
0 5
ˆ
θ
E = ..
ˆ2
θ
E
= ...
sprawdzamy: dla n=400 wychodzi około 0,84
n=800 około 0,95 czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa bo dalej rośnie Zadanie 6
Zadanie z liczby ciągów binarnych n=10
m=6
n + m
Ω =
n
P( s
7 erii ∧ 10 o
rlow, r
6
eszek)
ODP =
P 1
( 0 o
rlow, r
6
eszek)
10 −1
6 −1 10 −1
5
+
16
3
2
2
3
16
1
LICZ =
, MIAN =
16
2
10
2
!
9
!
5
!
9
!
5
+
840
⋅
⋅
+ 360 1200
600
300
150
!
6
!
3
2
!
3
2
!
7
2
!
3
ODP =
=
=
=
=
=
!
16
8008
8008
4004
2002
1001
!
6
!
10
Zadanie 7
t
e −
P(
1
ln 1
( + X ) < t) = P(1+ X < t e ) = P( X < t e − )
1 = ∫
−
4 1
( +
5
x)
= 1+ x = w =
0
t
t
e
e
= ∫
1
−
X
4 w 5 = −
= 1− −4 t
e
≅ wykl( )
4 ≅ Γ
,
1
(
)
4 U =
; X , Y ≅ Γ ,
1
( 4)
4
w
X + Y
1
1
Z tego U ma rozkład Beta(1,1) czyli J(0,1) Zadanie 8
W = Z X − Z Y
i
i
i
i i
EW
i = pm − pm = 0
var W
i =
2
EWi =
2
EZ E
i
( 2
X i − 2 X Y
i i +
2
Yi ) = p[2( 2
σ +
2
m )−
2
2 σ
p
−
2
2 m ]=
= 2 2
pσ + 2
2
pm − 2 2 2
p σ − 2
2
pm = 2
2
pσ 1
( − p)
Wi
→ N( )
1
,
0
= X
n var Wi
Wi → X var W → N
=
−
i
( ;0var Wi ) N( ;02 2
pσ 1
(
p))
n
Zadanie 9
P( A ∩ B)
1
= → P( A ∩ B) 1 2
1
=
=
P( B)
4
4 5
10
P( A ∩ B ∩ C) 1
= P( A ∩ B) 1 1
1
=
=
2
2 10
20
P( A ∩ C)
1
1
= P( )
A =
[ P( A∪ B)− P( B) + P( A∩ B)] 1 3 2 1 2 1 2 1
3
=
− +
=
+
=
4
4
4 5
5
4 5
4 1
0 10
40
1
1 40
2
20
ODP =
=
=
3
20 3
3
40
Zadanie 10
n
1
L =
x (− θ; θ)...
x
,
max ≤ θ x min ≥ − θ
1
2 θ
Z tego: θˆ = max{ X
i }
t ∈ ( ;
0 θ)
1
P(
t
X < t) = P(− t < X < t) = ∫
= t ≅ J ( ;
0 θ)
− θ
2
θ
t
6
t
P(max < t)
6
= P ( X < t) = , t ∈ ( ; 0 θ)
θ
=
4
6
4
7 8
ODP = P(
0
6
ˆ
ˆ
θ
θ < θ < 2 θ )= P(
ˆ
θ < 2 θ )− P(
ˆ
θ < θ )
ˆ
= P θ > − P(ˆ θ > θ) 1
= 1− ≈ 9
,
0 844
2
2