Egzamin dla Aktuariuszy z 24 marca 2001 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
2 2
S
1
≅ χ(2) ≅ Γ ,1 ≅ wykl( ) 5
,
0
2
σ
2
P(
2
S ≤ σ )
2 2
2
=
S
P
≤
−
2 = 1
1
− e ≈ ,
0 63212
2
σ
Zadanie 2
X
- numer pierwszej kuli
1
0 X
X
2 =
Y
2 =
1
X wpp
2
0 X
X
X
X
3 =
1 ∨
3 =
Y
3 =
2
X wpp
3
0 X
X
X
X
X
X
4 =
1 ∨
4 =
2 ∨
4 =
Y
4 =
3
X wpp
4
X X
X
2
2 =
Z
2 =
1
0 wpp
X X
X
X
X
3
3 =
l
u
b
1
3 =
Z
3 =
2
0 wpp
X X
X
X
X
X
X
4
4 =
1 ∨
4 =
2 ∨
4 =
Z
4 =
3
0 wpp
Y + Z = X
i
i
i
10
10
k 1
11 10
11
EZ
E Z X
k P X
k
2 = ∑
( 2 1 = ) ( 1 = )= ∑
=
=
k =
10 10
2 100
20
1
k =1
10 10
10 10
k
j
1
1 11
11
EZ
E Z X
k, X
j P X
k, X
j
10 2
3 = ∑ ∑
( 3 1 =
2 =
) ( 1 =
2 =
) = ∑∑
+
=
⋅ =
k =
10
10 100
100 2
10
1 j=1
k =1 j=
1
EZ
E Z X
k X
j X
m P
4 = ∑ ∑ ∑
( 4 1 = , 2 = , 3 = )
= 33
(..)
20
11
EY = EX − EZ = 5
,
5 −
2
2
2
20
11
33
EY = 5
,
5 −
, EY = 5
,
5 −
3
4
10
20
ODP = E( X + Y + Y + Y =
⋅ −
−
−
≈
≈
1
2
3
4 )
11
11
33
5
,
5
4
18 9
,
1 ,
8 7
20
10
20
Zadanie 3
( )
E( Y X > x) ∞ E( Y t)
∞
= ∫
f t
− x
∂
= x + 2 → ( x + 2) e =
−
E Y t f t
( )
x
∫ ( )
e
∂ x
x
x
→ −
−
−
−
−
E( Y x) e x = e x − xe x − 2 e x → E( Y x) = 1+ x EXY = EE( XY X ) = E( XE( Y X ) = E(
2
X + X ) = 1+ 2 = 3
EY = E 1
( + X ) = 1 + 1 = 2
COV(X,Y)=3-2=1
Nie moŜna obliczyć vary
Odpowiedź (E) jest prawidłowa
Zadanie 4
1
X ≅ N ,
0
2
σ
n
X zl V
10
2
V 10 ≅ χ )
9
(
2
σ
X 10
X 10
3 σ
X 3
σ
≅ t 9
( ) →
=
≅ t 9
( )
2
σ
10
1 V 10
V
V
9
2
σ
X
P
> 3
c = ,
0 05 → 3 c = 8
,
1 331 → c ≈ ,
0 6021
0 V
Zadanie 5
1
( − )
P( X
3 = ,
1 X 2 ≠ ,
1 X 1 ≠ )
1 = P( X 3 = , 1 X 2 = ,
2 X 1 = 3)
α
β β
= β + 2 α − αβ
P( X
X
P
P
P
2 ≠ ,
1
1 ≠
)1 = ,1
(
)
3
,
2
+
,
3
(
)
3
,
2
+ ( ,
3
,
2
)
2 =
βα 1
( − β) + α 1
( − β)2 + α 1
( − β)
βα − β 2 α + α − 2 αβ + αβ 2 + α − αβ
2 α 1
( − β
=
=
=
)
β + 2 α − αβ
β + 2 α − αβ
β + 2 α − αβ
αβ 1
( − β) β + 2 α − αβ
β
ODP =
=
β + 2 α − αβ 2 α 1
( − β)
2
Zadanie 6
∑ X
i ≅ Γ( ,
n θ)
100
1
100
100
1
100
1
P( ,
0
θ ≤ θˆ
99
− θ ≤ ,
1 0 θ
1 )
= P
≤ ≤
= P
− nθ ≤ X ≤
− nθ =
10 θ
1
θˆ
9 θ
9
10 θ
1
θ
9 θ
9
θ
100
100
100
= P
−1 n ≤ X ≤
−1
n = 9
,
0 5 → 9
,
1 6 =
−1 n → n ≈ 40000
101
99
99
Zadanie 7
Atom punkt x = θ
− θ
P( X = θ) = 1 − e dalej wykładniczy
− tn
P(min ≤ t) = 1 − P(min > t) = 1 − e
− tn
f
t
( )
min
= ne
− n
θ
P(min = θ) = 1 − P(min > θ) = 1 − e 2
2
ˆ
ˆ
R( θ) = Eθ − 2 E
θ θ + θ
∞
2
2
θ
E 2
ˆ = ∫ 2 − xn
x ne
+ θ 2 (
−
1 −
n
θ
e
) θ − θn
−
=
e
+
θ
n
e
+ θ 2
n
n 2
θ
∞
1
θ
E ˆ = ∫
− xn
xne
+ θ(
−
1 −
θn
e
) −
=
nθ
e
+ θ
n
θ
θ
2
− θ
n
2
− θ
n
2
θ
2
− nθ
2
2
2
− nθ
R θ
( ) =
e
+
e
+ θ −
e
− θ
2
+ θ =
e
n
n 2
n
n 2
Zadanie 8
v = var( X X + X = 5 + var X → b o X X + X
n
zl o
d X
2
1
2
)
3
( 2 1 2)
3
j
5−
5
j
−5 5
−5
e
e
P(
P X
j
X
5
j
!
j
5
(
j)!
X
j X
X
5
2 =
1 +
2 =
) ( 2 = ∧ 1 = − )
−
=
P( X
X
5
1 +
2 =
)
=
=
5
10
−10
e
!
5
5
−
55
10
e
!
5
5
1
=
=
−
≅ dwum
)
5
,
0
;
5
(
!
j 5
( − j)!105 10
e
j
2
var( X X + X = 5 = ⋅ ⋅ =
2
1
2
)
1 1
5
5 2 2 4
ODP=1,25+5=6,25
Zadanie 9
E < X >= EX − E X
2
3
∞ k+1
∞
∞
E X = ∫ − λx e
λ
+ ∫
−
2
λx
e
λ
+ ... = ∑ ∫
− λx
λ
k e
= ∑ k( − λk
− λ( k+
e
−
)
1
e
)= ∑ − λk
ke
( −
1 −
λ
e
)
1
2
k =1 k
k =1
k =1
u = − λ
e
+ −
2 2 λ
e
+ ...
− λ
−2
ue
=
λ
e
+ −
2 3 λ
e
+ ...
−
−
−
−
−
u(
λ
λ
e
e
1
λ
− e )
λ
2 λ
= e + e
+ ... =
→ u =
−
1
λ
− e
( −
1
λ
− e )2
− λ
− λ
E X = (
− λ
e
e
1 − e
)
1
(
=
=
→ E X eλ − E X =
2
−
−
λ
λ
1 − e λ )
1
1 − e
e −1
1 + c
e λ = c
λ = ln 1
( + c) − ln( c) 1
EX =
λ
1
ODP =
− c = ( )
A
ln 1
( + c) − ln c
Zadanie 10
1
S : p(−6) =
6
3
9
1
8 + 4
12
S : p(−4) =
p( 4
− ) =
=
4
3
81
..
9
1
8
4 + 32 + 24
60
S : p(−2) =
p( 2
− ) =
p( 2
− ) =
=
2
9
81
3
..
9
4
24
32 + 96 + 32
160
p(0) =
p(0) =
p(0) =
=
9
81
3
..
9
4
32
96 + 128 + 16
240
p(2) =
p(2) =
p(2) =
=
9
81
3
..
9
16
128 + 64
192
p(4) =
p(4) =
=
81
3
..
9
64
p(6) = 3
9
r = P( S
S
S
P S
S
S
P S
S
S
10 =
,
2 1 ≤ ,
5 ..., 9 ≤ 5) = ( 10 = ,
2 1 ≤ ,
5 ..., 8 ≤ 5) = ... = ( 10 = , 2 1 ≤ ,
5 ..., 6 ≤ 5) =
k = 6 − odpada; k = , 4 k = ,
2 k = ,
0 k = − ;
2 S
4 ∈ [−
;
4 4];−4 = 2 − k
5
= P( S
,
2 S
5
P S
2
k P S
k
10 =
6 ≤
) = ∑ ( 4 = − ) ( 6 = ) =
k =−6
= P( S
P S
P S
P S
P S
P S
P S
P S
4 = −2)
( 6 = 4)+ ( 4 = 0) ( 6 = 2)+ ( 4 = 2) ( 6 = 0)+ ( 4 = 4) ( 6 = −2) =
8 192
24 ⋅ 240
32 ⋅160
16 ⋅ 60
=
+
+
+
≈ ,
0 2265
81 93
95
95
95