Wykład 12. Wzajemne położenie prostych w R3 , proste skośne.
Definicja 12.1.1. Rzutem ukośnym punktu P (x, y, z) wzgl ędem wektora −
→
a = [ax, ay, az] na płasz-
′ ′
′
′
czyzn ę π nazywamy punkt P
x , y , z
tej płasz-
czyzny, który do niej nale ży. ( rysunek) Dygresja: W szczególnym przypadku mamy
′
P P
⊥ π, co oznacza, że wektor kierunkowy
−
→
k prostej l, na której le żą punkty jest wektorem
−
→
normalnym −
→
n płaszczyzny π ( k = −
→
n ).
Definicja 12.1.2. Określanie wielkości związanych z płaszczyzną:
1. Odległoś ć punktu P0 (x0, y0, z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 jest określona jako
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d =
q
A2 + B2 + C2
Dygresja: Odległoś ć punktu od płaszczy-
′
zny jest równa długości odcinka P P , gdzie
′ ′
′
′
P
x , y , z
jest rzutem prostokątnym punktu
P na płaszczyzn ę π.
2. Odległości pomi ędzy dwoma równoległymi płaszczyznami π1 : Ax+By+Cz +D1 = 0, π2 : Ax+By +Cz +D2 = 0 określa si ę jako
|D1 − D2|
d = q
A2 + B2 + C2
3. Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierun-
−
→
kowym k do płaszczyzny π o wektorze normalnym −
→
n określamy jako
−
→
−
→
−
→
−
→
n × k
n ◦ k
cos
φ =
lub
sin φ =
−
→
−
→
|−
→
n | k
|−
→
n | k
4. Kąt mi ędzy dwiema płaszczyznami π1, π2 o wektorach normalnych −
→
n 1, −
→
n 2 wyraża si ę
formułą
|−
→
n
cos
1 ◦ −
→
n 2|
φ = |−→n1||−→n2|
Defincja 12.1.3. Określanie wielkości związanych z prostą:
1. Odległoś ć punktu od P0 (x0, y0, z0) od pro-
−
→
stej l o wektorze kierunkowym k określamy jako
−
→
−−−→
k × P0P1
d =
,
−
→
k
gdzie P1 (x1, y1, z1) jest dowolnym punk-tem le żącym na prostej l
2. Odległoś ć pomi ędzy prostymi skośnymi l1, l2
wyraża si ę wzorem
−
−−→
−
→
−
→
P1P2 × k 1 ◦ k 2
d =
,
−
→
−
→
k
k
1 ×
2
−
→
−
→
gdzie k 1, k 2 są wektorami kierunkowymi prostych skośnym, natomiast punkty P1 (x1, y1, z1) , P2 (x2, y2, z2) są punktami le żącymi na prostych l1 i l2.
3. Kąt mi ędzy dwiema prostymi l1 i l2 o wekto-
−
→
−
→
rach kierunkowych k 1, k 2 wyraża si ę formułą
−
→
−
→
k 1 ◦ k 2
cos
φ = −
→ −
→
k 1 k 2
• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-
stochowa 2001.
• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.
• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.
• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.