1. Oblicz granicę ciągów:
A)
a) lim→ √2 + 8
W celu obliczenia granicy używamy twierdzenia o trzech ciągach, za pierwszy ciąg podstawiamy jakiś o mniejszej wartości, np. √8 , za drugi nasz ciąg dla którego mamy policzyć granicę, a za trzeci jakiś o większej (np. √3 ∗ 8 ). W efekcie uzyskamy:
√
8 < √2 + 8 < √3 ∗ 8
Ciąg √8 = 8, ciąg √3 ∗ 8 = 8 ∗ √3 = 8 ∗ 1 = 8. Wiemy więc z tego, że granica środkowego ciągu również wynosi 8. Również, w oparciu o naszą wiedzę, możemy od razu napisać granicę, argumentując że zależy ona od największego składnika i wynika z twierdzenia o trzech ciągach.
b) √3 + 7 + 4
√
7 < √3 + 7 + 4 < √4 ∗ 7
√
7 = 7
√
4 ∗ 7 = 7 ∗ √4 = 7 ∗ 1 = 7
√
3 + 7 + 4 = 7
c) √2 + 9 + 8 + 7
√
9 < √2 + 9 + 8 + 7 < √4 ∗ 9
√
9 = 9
√
4 ∗ 9 = 9 ∗ √4 = 9 ∗ 1 = 9
√
2 + 9 + 8 + 7 = 9
B)
a) lim→ 1 +
W celu obliczenia granicy tego typu [1], musimy podnieść wyrażenie w nawiasie do potęgi według przykładu (1 + ) = (1 + ) !
, czyli symbolicznie:
&∗
"
" $ '
1 +
%
# = 1 + #
%∗
W efekcie otrzymamy liczbę ( podniesioną do potęgi $
lim
!
→ 1 +
= lim 1 +
= ( !
1
*
,
+
b) lim 1 + )
= lim 1 + )
= (-
.
) /+
c) lim→ 1 +
= lim 1 + )
= (/+
)
C)
a) lim →(√0 + 1 − √0 + 7)
W celu obliczenia granicy tego typu mnożymy liczbę dla której chcemy wyznaczyć granicę przez tzw.
„specyficzną jedynkę”, w której iloczynie i mianowniku jest liczba o przeciwnym znaku (w tym przypadku √0 + 1 + √0 + 7)
n + 1 − n − 7
lim (√0 + 1 − √0 + 7) = lim2√0 + 1 − √0 + 73 ∗ √0 + 1 + √0 + 7 = lim
=
→
√0 + 1 + √0 + 7
√0 + 1 + √0 + 7
−6
= lim ∞ = 0
b) lim →(√60 + 8 − √60 + 2)
lim (√60 + 8 − √60 + 2) = lim2√60 + 8 − √60 + 23 ∗ √60 + 8 + √60 + 2 =
→
√60 + 8 + √60 + 2
60 + 8 − 60 − 2
6
= lim
= lim
√60 + 8 + √60 + 2
∞ = 0
c) lim →(√0 + 3 – √0 + 11 )
lim (√0 + 3 – √0 + 11 ) = lim 2√0 + 3 − √0 + 113 ∗ √0 + 3 + √0 + 11 =
→
√0 + 3 + √0 + 11
n + 3 − n − 11
−8
= lim
= lim
√0 + 3 + √0 + 11
∞ = 0
2. Zamień ułamek okresowy na zwykły
a) 3,1(2)
Żeby rozwiazać to zadanie należy potraktować zadanie jako ciąg geometryczny, w tym przypadku o ilorazie : = 0,1. Okresową częścią jest 0,02 i ją będziemy rozpatrywać jako ciąg, a następnie dodamy do wyniku 3,1
"
0,02
0,02
2
;
= 1 − : = 1 − 0,1 = 0,9 = 90
31
3,1 = 10
31
2
31 2
279
2
281
10 + 90 = 10 + 90 = 90 + 90 = 90
2
b) 5,2(63)
: = 0,01
" = 0,063
52
5,2 = 10
0,063
0,063
63
; = 1 − 0,01 = 0,99 = 990
52
63
5148 + 63 5211
10 + 990 =
990
= 990
c) 6,1(9)
: = 0,1
" = 0,09
61
6,1 = 10 " 0,09 0,09 9
;
= 1 − : = 1 − 0,1 = 0,9 = 90
61
9
549 + 9 558
10 + 90 = 90 = 90
3. Funkcja
a) =(>) = .*?
@)?
- dziedzina i przeciwdziedzina
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji homograficznej musimy przyrównać jej mianownik do 0, a następnie odjąć wynik od R
D: 1 + 3> = 0 ⇔ 3> = −1 ⇔ > = − )
1
B = C\{− 3}
Przeciwdziedzinę odczytamy później, a będzie ona C\asymptota pozioma 2
G = C\{− 3}
- parzystość i nieparzystość
W celu zbadania parzystości bądź nieparzystości funkcji, należy w miejsce > podstawić – > i zobaczyć czy w wyniku przekształceń uzyskamy =(>) lub – =(>) Parzystość funkcji jest to jej symetria względem osi OY, HIJKęMNOąQ" RSI =(−>) = =(>) 3
4 + 2>
=(−>) = 1 − 3> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta Nieparzystość funkcji jest to jej symetria względem początku układu współrzędnych i sprawdza się ją korzystając ze wzoru =(>) = −=(>)
4 + 2>
−4 − 2>
=(−>) = 1 − 3> = − 3> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami
Punkty przecięcia z osiami to innymi słowy miejsca zerowe funkcji oraz jej wartość dla 0.
Miejsca zerowe funkcji homograficznej wyznaczamy przyrównując iloczyn licznika i mianownika do 0.
1
(4 − 2>)(1 + 3>) = 0 ⇔ 4 − 2> = 0 ∨ 1 + 3> = 0 ⇔ > = 2⋁> = − 3
Następnie musimy sprawdzić czy liczby, które nam wyszły należą do dziedziny.
1
> = 2 ∈ B, > = − 3 ∉ B
Wartość funkcji dla 0 wyznaczamy podstawiając > = 0
4 − 2 ∗ 0 4
=(0) = 1 + 3 ∗ 0 = 1 = 4
- granice na końcach przedziału określoności
Musimy wyznaczyć granicę dla > → ∞,> → −∞ oraz dla > → liczb wyrzuconych z dziedziny, zarówno
@
od lewej i prawej strony, czyli w tym przypadku dla > → − ) i > → − ) 4 − 2>
x(4
−2
2
lim
x − 2) = lim
?→ 1 + 3> = lim >(1
3 = − 3
> + 3)
4 − 2>
>(4
−2
2
lim
> − 2) = lim
?→ 1 + 3> = lim >(1
3 = − 3
> + 3)
4 − 2>
4 − 2 ∗ − 1
4 + 2
4 2
lim
3
3
3
= lim
?→ 1 + 3> = lim
1 − 1 = lim 0 = −∞
)
1 + 3 ∗ − 13
@
@
4 − 2>
4 − 2 ∗ − 1
4 + 2
4 2
lim
3
3
3
h 1 + 3> = lim
@ = lim 1 − 1@ = lim 0@ = ∞
g→)
1 + 3 ∗ − 13
- asymptota pionowa i pozioma
4
W celu wyznaczenia asymptoty poziomej liczymy limg→ i limg→ lub korzystamy z faktu, że asymptota ta jest dana wzorem I = %i, gdzie " i Q to współczynniki przy x.
−2
2
I = 3 = −3
W celu wyznaczenia asymptoty pionowej bierzemy liczbę bądź liczby wyrzucone z dziedziny lub korzystamy ze wzoru > = − ji
1
> = − 3
-szkic wykresu
Wszystko co do tej pory obliczyliśmy przyda nam się do obliczenia granicy. Na osi współrzędnych zaznaczamy asymptoty, punkty przecięcia współrzędnych, granice dla obliczonych punktów.
-funkcja odwrotna kl
W celu wyznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji =, musimy wyznaczyć z jej wzoru x 4 − 2>
I = 1 + 3>/∗ (1 +3>) ⇔ I(1 + 3>) = 4 − 2> ⇔ I +3>I = 4 − 2> ⇔ 3>I + 2> = 4 − I 4 − I
>(3I + 2) = 4 − I/: (3I + 2) ⇔ > = 3I + 2
Następnie zamieniamy miejscami x i y, i mamy wzór funkcji odwrotnej 4 − >
=: I = 3> + 2
5
− złożenie funkcji k2kl(o)3 ,kl(k(o))
Złożenie funkcji polega na podstawienie w miejsce x z pierwszej funkcji, wzoru funkcji drugiej.
Wynikiem złożenia powinien być x
4 − 2 ∗ 4 − >
4 ∗ (3> + 2) − 2 ∗ (4 − >)
12> + 8 − 8 + 2>
14>
14>
=2=(>)3 =
3> + 2 =
3> + 2
=
3> + 2
= 3> + 2 =
1 + 3 ∗ 4 − >
3> + 2 + 3 ∗ (4 − >)
3> + 2 + 12 − 3>
14
14
3> + 2
3> + 2
3> + 2
3> + 2
= >
4 − (4 − 2>
4 ∗ (1 + 3>) − 4 − 2>
4 + 12> − 4 + 2>
14>
14>
=2=(>)3 =
1 + 3>) =
1 + 3>
=
1 + 3>
= 1 + 3> =
3 ∗ 4 − 2>
12 − 6> + 2 ∗ (1 + 3>)
12 − 6> + 2 + 6>
14
14
1 + 3> + 2
1 + 3>
1 + 3>
1 + 3>
= >
b) =(>) = -?
*?@
-dziedzina, przeciwdziedzina
D: 2> + 1 = 0 ⇔ 2> = −1 ⇔ > = − *
B = C\{− }
*
G = C\{− }
*
-parzystość, nieparzystość
6 + >
=(−>) = 1 − 2> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta 6 + >
−> − 6
=(−>) = 1 − 2> = − 2> −1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
-punkty przecięcia z osiami
(6 − >)(2> + 1) = 0
6 − > = 0 ⋁ 2> + 1 = 0
> = 6 ∈ B ⋁ > = − ∉ B
*
6 − 0
6
=(0) = 2 ∗ 0 + 1 = 1 = 6
-granice na końcach przedziału określoności
6 − >
>(6
−1
1
lim
> − 1) = lim
?→ 2> + 1 = lim >(2 + 1
2 = − 2
>)
6 − >
x 6
−1
1
lim
x − 1 = lim
?→ 2> + 1 = lim > 2 + 1
2 = − 2
>
6 − >
6 + 1
6 1
6 1
lim
2
2
2
= lim
?→ 2> + 1 = lim
−1 + 1 = lim 0 = −∞
*
2 ∗ − 12 + 1
6
@
6 − >
6 + 1
6 1
6 1
lim
2
= lim
2
2
h 2> + 1 = lim
@
−1@ + 1 = lim 0@ = ∞
?→*
2 ∗ p− 12 q + 1
- asymptota pionowa i pozioma
" −1
1
I = Q = 2 = −2
S
1
1
> = − Q = −2 = −2
- szkic wykresu
-funkcja odwrotna kl
6 − >
I = 2> + 1/∗ (2> + 1) ⇔ I(2> + 1) = 6 − > ⇔ 2>I + I = 6 − > ⇔ 2>I + > = 6 −I 6 − I
>(2I + 1) = 6 − I/: (2I + 1) ⇔ > = 2I + 1
6 − >
=: I = 2> + 1
- złożenie funkcji k(kl(o)), kl(k(o))
6 − 6 − >
6 ∗ (2> + 1) − 6 + >
12> + 6 − 6 + >
13>
13>
=2=(>)3 =
2> + 1 =
2> + 1
=
2> + 1
= 2> + 1 =
2 ∗ 6 − >
12 − 2> + 2> + 1
13
13
13 = >
2> + 1 + 1
2> + 1
2> + 1
2> + 1
6 − 6 − >
6 ∗ (2> + 1) − 6 + >
12> + 6 − 6 + >
13>
13>
=2=(>)3 =
2> + 1 =
2> + 1
=
2> + 1
= 2> + 1 =
2 ∗ 6 − >
2 ∗ (6 − >) + 2> + 1
12 − 2> + 2> + 1
13
13 = >
2> + 1 + 1
2> + 1
2> + 1
2> + 1
c) =(>) = )@*?
-@?
7
- dziedzina, przeciwdziedzina
6
B: 6 + 5> = 0 ⇔ 5> = −6 ⇔ > = − 5
6
B = C\{− 5}
2
G = C\{5}
- parzystość, nieparzystość
3 − 2>
=(−>) = 6 − 5> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta 3 − 2>
2> − 3
=(−>) = 6 − 5> = −5> − 6 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami
(3 + 2>)(6 + 5>) = 0
3 + 2> = 0 ∨ 6 + 5> = 0
2> = −3 ∨ 5> = −6
3
6
> = − 2 ∈ B ∨ > = −5 ∉ B
3 1
=(0) = 6 = 2
- granice na końcach przedziału określoności
3 + 2>
>(3
2 2
lim
> + 2) = lim
g→ 6 + 5> = lim >(6
5 = 5
> + 5)
3 + 2>
>(3
2 2
lim
> + 2) = lim
g→ 6 + 5> = lim >(6
5 = 5
> + 5)
3
3 + 2>
3 + − 12
lim
5
5
?→- 6 + 5> = lim 6 + (−6) = lim 0 = −∞
@
3
3 + 2>
3 + (− 12 )
lim
5
5
h 6 + 5> = lim
6 − 6@
= lim 0@ = ∞
g→-
- asymptota pionowa i pozioma
8
" 2
I = Q = 5
S
6
> = − Q = −5
- szkic wykresu
- funkcja odwrotna
3 + 2>
I = 6 + 5>/∗ (6 +5>) ⇔ I(6 + 5>) = 3 + 2> ⇔ 6I + 5>I = 3 + 2> ⇔ 5>I − 2> =
3 − 6I
= 3 − 6I ⇔ >(5I − 2) = 3 − 6I ⇔ > = 5I − 2
3 − 6>
=: I = 5> − 2
- złożenie funkcji k kl(o) , kl(k(o))
3 + 2 ∗ 3 − 6>
15> − 6 + 6 − 12>
3>
3>
=2=(>)3 =
5> − 2 =
5> − 2
= 5> − 2 =
6 + 5 ∗ 3 − 6> 30> − 12 + 15 − 30>
3
3 = >
5> − 2
5> − 2
5> − 2
3 − 6 ∗ 3 + 2> 18 + 15> − 18 − 12>
3>
3>
=2=(>)3 =
6 + 5> =
6 + 5>
= 6 + 5> =
5 ∗ 3 + 2>
15 + 10> − 12 − 10
3
3 = >
6 + 5> − 2
6 + 5>
6 + 5>
9
4. Granica funkcji
A)
√?
a) limg→r
?*
W celu wyznaczenia granicy w miejsce x podstawiamy liczbę do której x dąży (w tym przypadku 0) 5
5 ∗
5 − 5
0
lim √0 + 1 − 5
√1 − 5
?→r
0 − 2
= lim
−2
= lim −2 = lim−2 = 0
)√?@)
b) limg→*
*?
3
3
3
3
lim √> + 1 − 3
√2 + 1 − 3
√3 − 3
√3 − 3
?→*
2>
= lim
4
= lim
4
=
4
)√?@*
c) limg→)
?)
3
3
3
6 − 2
4
lim √> + 1 − 2
√3 + 1 − 2
√4 − 2
g→)
> − 3
= lim
3 − 3
= lim
0
= lim 0 = lim0 = ∞
B)
st (u?)
a) limg→
-?
W celu wyznaczenia granicy funkcji trygonometrycznej należy pamiętać o dwóch rzeczach: lim
st(?)
?→r
= 1
?
oraz lim?→ sin (>) nie istnieje. Czyli:
sin (7>)
lim
?→
6> 0v( vJK0v(O(
st(?)
b) lim?→r
)?
lim
st(?)
?→r
= 1
)?
st (w?)
c) limg→r x?
sin (8>)
lim
g→r
9>
= 1
C)
?!@-?r
a) limg→
?@w
W celu wyznaczenia granicy tego rodzaju musimy wyciągnąć w liczniku i mianowniku przed nawias najwyższą potęgę wielomianu
15> + 6> − 10
>(15 + 6
15
lim
>. − 10
>) = lim
?→
−> + 8
= lim >(− 1
0 = −∞
>. + 8
>)
10
?y@-?
b) limg→
-?w
−5>* + 6> − 1
>*(−5 + 6
−5
lim
> − 1
>*) = lim
g→
6> − 8
= lim >*(6
0@ = ∞
> − 8
>*)
-?!@w?y@u?
c) limg→
w?!?/*
6> + 8>* + 7>
x(6 + 8
6 6
lim
x) + 7
x.) = lim
g→ 8> − >. − 12 = lim >(8 − 1
8 = 8
> − 12
>)
Autor: shenlon
11