1
1.
Oblicz granicę ciągów:
A)
a)
lim
→
√2
+ 8
W celu obliczenia granicy używamy twierdzenia o trzech ciągach, za pierwszy ciąg podstawiamy jakiś
o mniejszej wartości, np.
√8
, za drugi nasz ciąg dla którego mamy policzyć granicę, a za trzeci jakiś o
większej (np.
√3 ∗ 8
). W efekcie uzyskamy:
√8
< √2
+ 8
< √3 ∗ 8
Ciąg
√8
= 8, ciąg √3 ∗ 8
= 8 ∗ √3
= 8 ∗ 1 = 8. Wiemy więc z tego, że granica środkowego ciągu
również wynosi
8. Również, w oparciu o naszą wiedzę, możemy od razu napisać granicę,
argumentując że zależy ona od największego składnika i wynika z twierdzenia o trzech ciągach.
b)
√3
+ 7
+ 4
√7
< √3
+ 7
+ 4
< √4 ∗ 7
√7
= 7
√4 ∗ 7
= 7 ∗ √4
= 7 ∗ 1 = 7
√3
+ 7
+ 4
= 7
c)
√2
+ 9
+ 8
+ 7
√9
< √2
+ 9
+ 8
+ 7
< √4 ∗ 9
√9
= 9
√4 ∗ 9
= 9 ∗ √4
= 9 ∗ 1 = 9
√2
+ 9
+ 8
+ 7
= 9
B)
a)
lim
→
1 +
W celu obliczenia granicy tego typu
[1
], musimy podnieść wyrażenie w nawiasie do potęgi według
przykładu
(1 +
)
= (1 +
)
!
, czyli symbolicznie:
1 +
"
#
= 1 +
"
#
$
%
&∗
'
W efekcie otrzymamy liczbę
( podniesioną do potęgi
%∗
$
lim
→
1 +
= lim 1 +
!
= (
!
2
b)
lim 1 +
)
*
= lim 1 +
)
+
,
= (
-
c)
lim
→
1 +
)
.
= lim 1 +
)
)
/+
= (
/
+
C)
a)
lim
→
(√0 + 1 − √0 + 7)
W celu obliczenia granicy tego typu mnożymy liczbę dla której chcemy wyznaczyć granicę przez tzw.
„specyficzną jedynkę”, w której iloczynie i mianowniku jest liczba o przeciwnym znaku (w tym
przypadku
√0 + 1 + √0 + 7)
lim
→
(√0 + 1 − √0 + 7) = lim2√0 + 1 − √0 + 73 ∗ √
0 + 1 + √0 + 7
√0 + 1 + √0 + 7
= lim
n + 1 − n − 7
√0 + 1 + √0 + 7
=
= lim
−6
∞ = 0
b)
lim
→
(√60 + 8 − √60 + 2)
lim
→
(√60 + 8 − √60 + 2) = lim2√60 + 8 − √60 + 23 ∗ √
60 + 8 + √60 + 2
√60 + 8 + √60 + 2
=
= lim
60 + 8 − 60 − 2
√60 + 8 + √60 + 2
= lim
6
∞ = 0
c)
lim
→
(√0 + 3 – √0 + 11 )
lim
→
(√0 + 3 – √0 + 11 ) = lim 2√0 + 3 − √0 + 113 ∗ √
0 + 3 + √0 + 11
√0 + 3 + √0 + 11
=
= lim
n + 3 − n − 11
√0 + 3 + √0 + 11
= lim
−8
∞ = 0
2.
Zamień ułamek okresowy na zwykły
a)
3,1(2)
Żeby rozwiazać to zadanie należy potraktować zadanie jako ciąg geometryczny, w tym przypadku o
ilorazie
: = 0,1. Okresową częścią jest 0,02 i ją będziemy rozpatrywać jako ciąg, a następnie dodamy
do wyniku
3,1
;
=
"
1 − : =
0,02
1 − 0,1 =
0,02
0,9 =
2
90
3,1 =
31
10
31
10 +
2
90 =
31
10 +
2
90 =
279
90 +
2
90 =
281
90
3
b)
5,2(63)
: = 0,01
"
= 0,063
5,2 =
52
10
;
=
0,063
1 − 0,01 =
0,063
0,99 =
63
990
52
10 +
63
990 =
5148 + 63
990
=
5211
990
c)
6,1(9)
: = 0,1
"
= 0,09
6,1 =
61
10
;
=
"
1 − : =
0,09
1 − 0,1 =
0,09
0,9 =
9
90
61
10 +
9
90 =
549 + 9
90 =
558
90
3.
Funkcja
a)
=(>) =
.*?
@)?
- dziedzina i przeciwdziedzina
W celu wyznaczenia dziedziny funkcji homograficznej musimy przyrównać jej mianownik do 0, a
następnie odjąć wynik od R
D:
1 + 3> = 0 ⇔ 3> = −1 ⇔ > = −
)
B = C\{−
1
3}
Przeciwdziedzinę odczytamy później, a będzie ona
C\asymptota pozioma
G = C\{−
2
3}
- parzystość i nieparzystość
W celu zbadania parzystości bądź nieparzystości funkcji, należy w miejsce
> podstawić – > i zobaczyć
czy w wyniku przekształceń uzyskamy
=(>) lub – =(>)
Parzystość funkcji jest to jej symetria względem osi OY,
HIJKęMNOąQ" RSI =(−>) = =(>)
4
=(−>) =
4 + 2>
1 − 3> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta
Nieparzystość funkcji jest to jej symetria względem początku układu współrzędnych i sprawdza się ją
korzystając ze wzoru
=(>) = −=(>)
=(−>) =
4 + 2>
1 − 3> = −
−4 − 2>
3> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami
Punkty przecięcia z osiami to innymi słowy miejsca zerowe funkcji oraz jej wartość dla 0.
Miejsca zerowe funkcji homograficznej wyznaczamy przyrównując iloczyn licznika i mianownika do 0.
(4 − 2>)(1 + 3>) = 0 ⇔ 4 − 2> = 0 ∨ 1 + 3> = 0 ⇔ > = 2⋁> = −
1
3
Następnie musimy sprawdzić czy liczby, które nam wyszły należą do dziedziny.
> = 2 ∈ B, > = −
1
3 ∉ B
Wartość funkcji dla 0 wyznaczamy podstawiając
> = 0
=(0) =
4 − 2 ∗ 0
1 + 3 ∗ 0 =
4
1 = 4
- granice na końcach przedziału określoności
Musimy wyznaczyć granicę dla
> → ∞,> → −∞ oraz dla > → liczb wyrzuconych z dziedziny, zarówno
od lewej i prawej strony, czyli w tym przypadku dla
> → −
)
i
> → −
)
@
lim
?→
4 − 2>
1 + 3> = lim
x(4x − 2)
>(1> + 3)
= lim
−2
3 = −
2
3
lim
?→
4 − 2>
1 + 3> = lim
>(4> − 2)
>(1> + 3)
= lim
−2
3 = −
2
3
lim
?→)
4 − 2>
1 + 3> = lim
4 − 2 ∗ − 13
1 + 3 ∗ − 13
= lim
4 + 23
1 − 1
= lim
4 23
0
= −∞
lim
g→)
h
4 − 2>
1 + 3> = lim
4 − 2 ∗ − 13
@
1 + 3 ∗ − 13
@
= lim
4 + 23
@
1 − 1
@
= lim
4 23
0
@
= ∞
- asymptota pionowa i pozioma
5
W celu wyznaczenia asymptoty poziomej liczymy
lim
g→
i lim
g→
lub korzystamy z faktu, że
asymptota ta jest dana wzorem
I =
%
i
, gdzie
" i Q to współczynniki przy x.
I =
−2
3 = −
2
3
W celu wyznaczenia asymptoty pionowej bierzemy liczbę bądź liczby wyrzucone z dziedziny lub
korzystamy ze wzoru
> = −
j
i
> = −
1
3
-szkic wykresu
Wszystko co do tej pory obliczyliśmy przyda nam się do obliczenia granicy. Na osi współrzędnych
zaznaczamy asymptoty, punkty przecięcia współrzędnych, granice dla obliczonych punktów.
-funkcja odwrotna
k
l
W celu wyznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji
=, musimy wyznaczyć z jej wzoru x
I =
4 − 2>
1 + 3> /∗ (1 + 3>) ⇔ I(1 + 3>) = 4 − 2> ⇔ I + 3>I = 4 − 2> ⇔ 3>I + 2> = 4 − I
>(3I + 2) = 4 − I/: (3I + 2) ⇔ > =
4 − I
3I + 2
Następnie zamieniamy miejscami x i y, i mamy wzór funkcji odwrotnej
=
: I =
4 − >
3> + 2
6
− złożenie funkcji k2k
l
(o)3 ,k
l
(k(o))
Złożenie funkcji polega na podstawienie w miejsce x z pierwszej funkcji, wzoru funkcji drugiej.
Wynikiem złożenia powinien być x
=2=
(>)3 =
4 − 2 ∗ 4 − >
3> + 2
1 + 3 ∗ 4 − >
3> + 2
=
4 ∗ (3> + 2) − 2 ∗ (4 − >)
3> + 2
3> + 2 + 3 ∗ (4 − >)
3> + 2
=
12> + 8 − 8 + 2>
3> + 2
3> + 2 + 12 − 3>
3> + 2
=
14>
3> + 2
14
3> + 2
=
14>
14
= >
=
2=(>)3 =
4 − (4 − 2>
1 + 3>)
3 ∗ 4 − 2>
1 + 3> + 2
=
4 ∗ (1 + 3>) − 4 − 2>
1 + 3>
12 − 6> + 2 ∗ (1 + 3>)
1 + 3>
=
4 + 12> − 4 + 2>
1 + 3>
12 − 6> + 2 + 6>
1 + 3>
=
14>
1 + 3>
14
1 + 3>
=
14>
14
= >
b)
=(>) =
-?
*?@
-dziedzina, przeciwdziedzina
D:
2> + 1 = 0 ⇔ 2> = −1 ⇔ > = −
*
B = C\{−
*
}
G = C\{−
*
}
-parzystość, nieparzystość
=(−>) =
6 + >
1 − 2> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta
=(−>) =
6 + >
1 − 2> = −
−> − 6
2> − 1 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
-punkty przecięcia z osiami
(6 − >)(2> + 1) = 0
6 − > = 0 ⋁ 2> + 1 = 0
> = 6 ∈ B ⋁ > = −
*
∉ B
=(0) =
6 − 0
2 ∗ 0 + 1 =
6
1 = 6
-granice na końcach przedziału określoności
lim
?→
6 − >
2> + 1 = lim
>(6> − 1)
>(2 + 1>)
= lim
−1
2 = −
1
2
lim
?→
6 − >
2> + 1 = lim
x 6x − 1
> 2 + 1>
= lim
−1
2 = −
1
2
lim
?→*
6 − >
2> + 1 = lim
6 + 12
2 ∗ − 12
+ 1
= lim
6 12
−1
+ 1 = lim
6 12
0
= −∞
7
lim
?→*
h
6 − >
2> + 1 = lim
6 + 12
@
2 ∗ p− 12
@
q + 1
= lim
6 12
−1
@
+ 1 = lim
6 12
0
@
= ∞
- asymptota pionowa i pozioma
I =
"
Q =
−1
2 = −
1
2
> = −
S
Q = −
1
2 = −
1
2
- szkic wykresu
-funkcja odwrotna
k
l
I =
6 − >
2> + 1 /∗ (2> + 1) ⇔ I(2> + 1) = 6 − > ⇔ 2>I + I = 6 − > ⇔ 2>I + > = 6 − I
>(2I + 1) = 6 − I/: (2I + 1) ⇔ > =
6 − I
2I + 1
=
: I =
6 − >
2> + 1
- złożenie funkcji
k(k
l
(o)), k
l
(k(o))
=2=
(>)3 =
6 − 6 − >
2> + 1
2 ∗ 6 − >
2> + 1 + 1
=
6 ∗ (2> + 1) − 6 + >
2> + 1
12 − 2> + 2> + 1
2> + 1
=
12> + 6 − 6 + >
2> + 1
13
2> + 1
=
13>
2> + 1
13
2> + 1
=
13>
13 = >
=
2=(>)3 =
6 − 6 − >
2> + 1
2 ∗ 6 − >
2> + 1 + 1
=
6 ∗ (2> + 1) − 6 + >
2> + 1
2 ∗ (6 − >) + 2> + 1
2> + 1
=
12> + 6 − 6 + >
2> + 1
12 − 2> + 2> + 1
2> + 1
=
13>
2> + 1
13
2> + 1
=
13>
13 = >
c)
=(>) =
)@*?
-@?
8
- dziedzina, przeciwdziedzina
B: 6 + 5> = 0 ⇔ 5> = −6 ⇔ > = −
6
5
B = C\{−
6
5}
G = C\{
2
5}
- parzystość, nieparzystość
=(−>) =
3 − 2>
6 − 5> ≠ =(>) funkcja nie jest parzysta
=(−>) =
3 − 2>
6 − 5> = −
2> − 3
5> − 6 ≠ −=(>) funkcja nie jest nieparzysta
- punkty przecięcia z osiami
(3 + 2>)(6 + 5>) = 0
3 + 2> = 0 ∨ 6 + 5> = 0
2> = −3 ∨ 5> = −6
> = −
3
2 ∈ B ∨ > = −
6
5 ∉ B
=(0) =
3
6 =
1
2
- granice na końcach przedziału określoności
lim
g→
3 + 2>
6 + 5> = lim
>(3> + 2)
>(6> + 5)
= lim
2
5 =
2
5
lim
g→
3 + 2>
6 + 5> = lim
>(3> + 2)
>(6> + 5)
= lim
2
5 =
2
5
lim
?→-
3 + 2>
6 + 5> = lim
3 + − 12
5
6 + (−6
) = lim
3
5
0
= −∞
lim
g→-
h
3 + 2>
6 + 5> = lim
3 + (− 12
5
@
)
6 − 6
@
= lim
3
5
0
@
= ∞
- asymptota pionowa i pozioma
9
I =
"
Q =
2
5
> = −
S
Q = −
6
5
- szkic wykresu
- funkcja odwrotna
I =
3 + 2>
6 + 5> /∗ (6 + 5>) ⇔ I(6 + 5>) = 3 + 2> ⇔ 6I + 5>I = 3 + 2> ⇔ 5>I − 2> =
= 3 − 6I ⇔ >(5I − 2) = 3 − 6I ⇔ > =
3 − 6I
5I − 2
=
: I =
3 − 6>
5> − 2
- złożenie funkcji
k k
l
(o) , k
l
(k(o))
=2=
(>)3 =
3 + 2 ∗ 3 − 6>
5> − 2
6 + 5 ∗ 3 − 6>
5> − 2
=
15> − 6 + 6 − 12>
5> − 2
30> − 12 + 15 − 30>
5> − 2
=
3>
5> − 2
3
5> − 2
=
3>
3 = >
=
2=(>)3 =
3 − 6 ∗ 3 + 2>
6 + 5>
5 ∗ 3 + 2>
6 + 5> − 2
=
18 + 15> − 18 − 12>
6 + 5>
15 + 10> − 12 − 10
6 + 5>
=
3>
6 + 5>
3
6 + 5>
=
3>
3 = >
10
4.
Granica funkcji
A)
a)
lim
g→r
√?
?*
W celu wyznaczenia granicy w miejsce x podstawiamy liczbę do której x dąży (w tym przypadku 0)
lim
?→r
5√0 + 1 − 5
0 − 2
= lim
5 ∗ √1 − 5
−2
= lim
5 − 5
−2 = lim
0
−2 = 0
b)
lim
g→*
)√?@)
*?
lim
?→*
3√> + 1 − 3
2>
= lim
3√2 + 1 − 3
4
= lim
3√3 − 3
4
=
3√3 − 3
4
c)
lim
g→)
)√?@*
?)
lim
g→)
3√> + 1 − 2
> − 3
= lim
3√3 + 1 − 2
3 − 3
= lim
3√4 − 2
0
= lim
6 − 2
0 = lim
4
0 = ∞
B)
a)
lim
g→
st (u?)
-?
W celu wyznaczenia granicy funkcji trygonometrycznej należy pamiętać o dwóch rzeczach:
lim
?→r
st(?)
?
= 1 oraz lim
?→
sin (>) nie istnieje. Czyli:
lim
?→
sin (7>)
6> 0v( vJK0v(O(
b)
lim
?→r
st(?)
)?
lim
?→r
st(?)
)?
= 1
c)
lim
g→r
st (w?)
x?
lim
g→r
sin (8>)
9>
= 1
C)
a)
lim
g→
?
!
@-?r
?@w
W celu wyznaczenia granicy tego rodzaju musimy wyciągnąć w liczniku i mianowniku przed nawias
najwyższą potęgę wielomianu
lim
?→
15>
+ 6> − 10
−> + 8
= lim
>
(15 + 6
>
.
− 10
>
)
>
(− 1
>
.
+ 8
>
)
= lim
15
0
= −∞
11
b)
lim
g→
?
y
@-?
-?w
lim
g→
−5>
*
+ 6> − 1
6> − 8
= lim
>
*
(−5 + 6> −
1
>
*
)
>
*
(6> −
8
>
*
)
= lim
−5
0
@
= ∞
c)
lim
g→
-?
!
@w?
y
@u?
w?
!
?
/
*
lim
g→
6>
+ 8>
*
+ 7>
8>
− >
.
− 12 = lim
x
(6 + 8
x
)
+ 7
x
.
)
>
(8 − 1> −
12
>
)
= lim
6
8 =
6
8
Autor: shenlon