1. Jaka jest różnica w obliczeniach PSN i PSO w metodzie elementów skończonych dla elementów trójkątnych z trzema węzłami?
− elementy różnią się w obu stanach pod wpływem temperatury (macierze odkształceń początkowych są różne);
− różnica zachodzi na etapie budowania zależności konstytutywnych (zarówno dla elementów izotropowych, jak i dla ortotropowych) (czyli przy zapisie macierzy konstytutywnej (sprężystości));
− licząc w PSO przyjmuje się jednostkowa grubość (grubość nie ma znaczenia) w przeciwieństwie do PSN gdzie zawsze jest podana;
− Dla elementu w PSN i PSO trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym punkcie elementu są stałe.
Siły masowe dzielą się równomiernie na wszystkie węzły tego elementu.
2. Czym
różni
się
metoda
Cholewskiego
od
innych
metod
dekompozycyjnych?
Stosujemy ją wtedy gdy Macierz [A] jest symetryczna i dodatnio określona. Różnicą jest to, że dolna i górna macierz trójkątna jest taka sama → = ∙ .
3. Co to jest macierz sztywności?
To macierz zawierająca reakcje w założonych więzach od danego stanu przemieszczenia jednostkowego. Można ją wyznaczyć metodą jednostkowych stanów przemieszczeń. W układach statycznie niewyznaczalnych bardziej opłacalne jest wyznaczenie macierzy podatności i odwracając ją uzyskać macierz sztywności układu.
4. Czy elementy macierzy sztywności pręta kratowego zwiększają się jeśli pole przekroju będzie większe? Odpowiedź uzasadnij.
Tak, pole przekroju A znajduje się w liczniku każdego elementu tej macierzy.
5. Podać zalety metody różnic centralnych.
− Metoda szybka w obliczeniach;
− Nie wymaga odwracania macierzy sztywności.
− Metody jawne stają się bardziej efektywne od metod niejawnych w momencie gdy długość kroku całkowania (∆t) jest ograniczona przez jakieś inne czynniki np. przez nieliniowość materiałową w związkach reologicznych.
6. Podać algorytm/etapy rozwiązywania problemu stateczności w metodzie elementów skończonych.
I - Kontinuum zostaje podzielone w myśli liniami, na pewną liczbę elementów skończonych; II - Zakłada się, że elementy te są połączone ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na ich obwodach, punkty te nazywamy węzłami, a ich przemieszczenia stanowić będą podstawowy układ niewiadomych;
III - Zostaje dobrana funkcja określająca jednoznacznie stan przemieszczeń wewnątrz każdego elementu skończonego w zależności od przemieszczeń punktów węzłowych;
IV - Funkcje przemieszczeń (funkcje kształtu) definiują jednoznacznie stan odkształcenia wewnątrz elementów, zależności od przemieszczeń węzłów. Odkształcenia te wspólnie z odkształceniami początkowymi i własnościami sprężystymi materiału określają stan naprężeń w elemencie, w tym także na jego brzegach.
V - Zostaje określony układ sił skupionych w węzłach równoważących napięcia na brzegach elementów oraz
wszystkie
inne
siły.
Otrzymuje
się
związek
w
postaci
∙ = ;
VI - można wyznaczyć wektor przemieszczeń węzłowych , a w konsekwencji także wektory
naprężeń w elemencie.
7. Podać wady metody Cholewskiego.
− Występują 2 rekursje (kroki wsteczne);
− Macierz [A] musi być symetryczna i dodatnio określona;
− Pierwiastkowanie jest dla komputera procesem złożonym i dłużej trwa (wymaga dużych zasobów pamięci), gdyż pierwiastki są obliczane przez szeregi.
8. Co to jest macierz konstytutywna?
Macierz określająca właściwości materiału z jakiego wykonano dany element.
9. Kiedy stosujemy kondensację macierzy sztywności?
Kondensacja macierzy sztywności to proces polegający na uwzględnieniu tego, że niektóre więzy konstrukcji są zwolnione (np. gdy występuje przegub albo podpora przesuwna). Kondensację macierzy sztywności wykonuje się w celu wyeliminowania nieistotnych, niezerowych przemieszczeń, którym odpowiadają zerowe wartości sił przywęzłowych.
10. Podać wady metody różnic centralnych.
Jest to metoda warunkowo-stabilna. Oznacza to, że rozwiązanie układu równań różniczkowych w dostatecznie dokładny sposób aproksymuje rozwiązanie rzeczywiste, tylko i wyłącznie przy zastosowaniu odpowiednio małego kroku Δt. Jeżeli Δt > Δt. (Δt), to wtedy rozwiązanie bardzo szybko robi się rozbieżne. Δt
=
=
!"#
11. PSN - jakie są zmienne składowe wektora przemieszczeń węzłowych?
kąty obrotu węzłów i przesunięcia końców elementów belkowych
A tu nie chodzi o kąt obrotu i na przemieszenia?
Są 2 przesuwy u, v. Nie ma obrotu.
12. Funkcja kształtu - gdzie występuje i co opisuje?
Występuje w metodzie elementów skończonych. Funkcje przemieszczeń (funkcje kształtu) definiują jednoznacznie stan odkształcenia wewnątrz elementów, zależności od przemieszczeń węzłów.
Odkształcenia te wspólnie z odkształceniami początkowymi i własnościami sprężystymi materiału określają stan naprężeń w elemencie, w tym także na jego brzegach. Funkcja kształtu służy także do zmiany kształtu elementu krzywoliniowego na prostoliniowy.
13. Kiedy i w jakim celu wykonuje się modyfikację macierzy sztywności?
Modyfikację macierzy sztywności wykonuje się, gdy nie wszystkie stopnie swobody mają wartości przemieszczeń różne od zera. Wykonuje się ją w celu usunięcia wierszy lub kolumn, w których przemieszczenia są równe 0.
14. Podać zalety metody Newmarka
− Po przyjęciu odpowiednich wartości współczynników metoda jest bezwzględnie stabilna, można więc zwiększyć krok całkowania (Jeżeli δ > 0,5 i α > 0,25 ∙ ( δ + 0,5) to algorytm Newmarka jest bezwarunkowo stabilny);
− W przypadku obliczeń sprężystych algorytm Newmarka daje szybciej rozwiązanie niż algorytm różnic centralnych;
− W porównaniu do metod jawnych --etapowe metody niejawne mogą mięć rząd 2- dla każdego
-, oraz maja większy obszar stabilnosci. Dodatkowo można skonstruować specjalne metody niejawne o różnych innych ciekawych właściwościach (np. zachowywanie struktury symplektycznej równań
czy
użycie
kwadratur
Gaussa-Hermita
do
przybliżania
funkcji);
Przy długim kroku całkowania rozwiązanie może być niedokładne ale na pewno nie będzie rozbieżne.
15. Podać zalety przybliżonych metod rozwiązań równań liniowych.
− Efektywne w przypadku dużych macierzy rzadkich oraz gdy wiele współczynników jest sobie równych;
− Niewrażliwe na błędy rachunkowe;
− Dobre w przypadku komputerów o małej pamięci jak kalkulatory;
− Pomija się błędy wynikające z zaokrągleń spowodowanych przekształcaniem układów równań.
16. Rozkład naprężeń po grubości w PSN. Pokazać za pomocą trójkąta.
Dla elementu w PSN i PSO trójkątnego z 3 węzłami naprężenia w każdym punkcie elementu są stałe.
− Siły masowe dzielą się równomiernie na wszystkie węzły tego elementu. W PSN grubość elementu jest
skończona
i
jest
nam
znana,
występuje
całkowanie
po
grubości.
W PSO grubość elementu jest jednostkowa lub brak jej podania (nie całkujemy po grubości).
− W PSN występuje możliwość odkształceń poprzecznych, ale brak jest naprężeń w tym kierunku.
− W PSO jest brak odkształceń w kierunku poprzecznym.
17. Czy pod wpływem temperatury macierz sztywności zmieni się? Odpowiedź uzasadnić.
Pod wpływem temperatury zmieni się struktura wewnętrzna materiału a co za tym idzie zmieni się też jego przekrój poprzeczny, a więc zmieni się moment bezwładności, czego wynikiem będzie również zmiana się macierzy sztywności.
18. Współczynnik nadrelaksacji.
Zazwyczaj używa się współczynnika nadrelaksacji z przedziału 1,2 < 0 < 1,45. Gdy 0 = 1 to metoda Nadrelaksacji przechodzi w metodę Gaussa-Seidla. Gdy macierz współczynników układu równań jest symetryczna i dodatnio określona to metoda nadrelaksacji jest zbieżna gdy 0 < 0 < 2.
19. Podać wady metody Newmarka.
Gdy występuje nieliniowość materiału należy zmniejszyć krok całkowania przez co wydłuży się czas obliczeń i metoda traci podstawowy atut;
Przy długim kroku całkowania rozwiązanie może być niedokładne.
20. Ile i jakie stopnie swobody ma element ramowy?
Płaski element ramowy w węźle 2 = 3 (przesuw w pionie 4, przesuw w poziomie 5, obrót 6); Przestrzenny element ramowy w węźle 2 = 6 (przesuw w pionie 0, przesuw w poziomie równoległym 5, przesuw w poziomie prostopadłym 4, obrót w płaszczyźnie x, obrót w płaszczyźnie y, obrót w płaszczyźnie z);
21. Czy macierz sztywności zależy od długości pręta?
Tak, długość L występuje w mianowniku w każdym elemencie.
22. Co to są punkty Gaussa w całkowaniu numerycznym?
Są to punkty rozstawione tak aby zapewnić najlepsze przybliżenie do rzeczywistej wartości funkcji.
Dobiera się ich odcięte i wagi funkcji, aby odpowiednia zależność była równością tożsamościową dla wielomianu potęgowego możliwie największego stopnia.
23. Różnica między interpolacją, a aproksymacją.
Interpolacja:
− kilka funkcji przybliżających;
− funkcje przechodząca przez wszystkie punkty pomiarowe;
− niewielka liczba punktów pomiarowych.
Aproksymacja:
− jedna funkcja przybliżająca;
− funkcja przechodzi tak aby błąd przybliżonych punktów pomiarowych był jak najmniejszy;
− znaczna liczba punktów pomiarowych.
24. Różnice w metodach eliminacyjnych i dekompozycyjnych.
Eliminacyjne:
− Zalety: mała liczba operacji (jedna eliminacja i jedna rekursja).
− Wady: zostaje naruszony wektor prawych stron [P].
Dekompozycyjne:
− Zalety: W razie zmiany wektora [P] nie trzeba zmieniać lewej strony równania.
− Wady: Należy wykonać 2 rekursje (kroki wsteczne).
25. Skąd się wzięła nazwa "metoda najmniejszych kwadratów"?
Od jednej z metod aproksymacji - minimum sumy kwadratów.
<
<
8 = ∑
:
;=> ;
= ∑
(?
;=>
; − A − A>B;)
26. Czy macierz sztywności zależy od przekroju poprzecznego?
Tak. W kratownicy bezpośrednio zależy od A, natomiast w normalnej belce macierz sztywności zależy od momentu bezwładności, który zależy od A. Elementy te znajdują się w liczniku, zatem wraz z ich wzrostem rosną też elementy macierzy sztywności.
27. Z czym związana jest minimum suma kwadratów?
W metodzie aproksymacji służy do sprawdzania błędu, założenie prawie jak dla kolokacji – C; ≪ E, liczy się błąd równania – dobiera się współczynnik żeby był jak najmniejszy. Jest też statyczna ocena rozwiązania gdzie używa się procedury wartości średnich i kwadratów odchyleń – sprawdza się błąd bezwzględny (lub względny).
28. Proces zamiany macierzy sztywności dla belki obustronnie utwierdzonej w belkę przegubowo utwierdzona.
Proces ten to kondensacja macierzy sztywności - czyli proces uwzględniania tego że niektóre więzy konstrukcji są zwolnione (np. gdy występuje przegub albo podpora przesuwna).