NajwaŜniejsze interferometry i ich typowe zastosowania

Interferometr Michelsona

Światło ze źródła S wpada do wnętrza układu i w centralnej części rozdziela się na dwie wiązki na
półprzepuszczalnym zwierciadle P. Na końcu obu ramion znajdują się zwierciadła Z1 i Z2 które
zawracają bieg promieni. Zwierciadło Z2 dodatkowo jest ruchome i za jego pomocą zmienia się
drogę optyczną jednej z wiązek. Po odbiciu dwie wiązki padają ponownie na półprzepuszczalne
zwierciadło gdzie biegną juŜ w jednym kierunku (do obserwatora O) i interferują ze sobą.
Występująca róŜnica faz wiązek interferujących jest proporcjonalna do róŜnicy długości ramion
interferometru. JeŜeli oba zwierciadła Z1 i Z2 są wzajemnie prostopadłe to obserwujemy prąŜki
równego nachylenia, jeśli odchylają się o kilka stopni od prostopadłości – prąŜki równej grubości.
Pozwala na dokładne zmierzenie długości, małych zmian długości.

Interferometr Fabry-Perot

Interferometr zbudowany z dwóch równoległych półprzepuszczalnych płaskich zwierciadeł(płytek
szklanych płaskorównoległych, jednostornnie napylanych srebrem). Płytki ustawione są
równolegle, powierzchniami zwierciadlanymi do siebie. Działa on na zasadzie wielokrotnych odbić
swiatła między 2 półprzepuszczalnymi zwierciadłami, które znajdują się blisko siebie. Podczas
kaŜdego odbicia światła od jednego ze zwierciadeł przechodzi ono przez nie na zewnątrz. Na
zewnątrz zwierciadła przedostaje się duŜa liczba promieni, które są do siebie równoległe i które
potem mogą ze sobą interferować.

Zastosowania – jeden z rodzajów spektroskopów interferencyjnych, które stosuje się w
nadfioletowym, widzialnym i podczerwonym obszarze widma, badanie struktury nadsubtelnej linii
widmowych oraz generatorach i wzmacniaczach kwantowych, jako wnęka rezonansowa lasera.

Interferometr Sagnaca

W interferometrze Sagnaca wykorzystuje się efekt Sagnaca, który polega na tym, Ŝe powstaje
róŜnica czasów przejścia przez pętlę wiązek światła propgujących w przeciwnych kierunkach.
Interferometr ten jest stosowany do pomiaru prędkości obrotowej. Predkość obrotowa ma wpływ na
przesunięcie fazy pomiędzy wiązkami propagujacymi się w przeciwnych kierunkach. Obrót
powoduje przesunięcie prąŜków interferencyjnych prporcjonalnie do prędkości kątowej obrotu.
Interferometr reaguje na minimalny obrót kątowy na zasadzie zjawiska dooplera, jest
wykorzystywany jako Ŝyroskop.

Interferometr Macha – Zehndera

W interferometrze Macha - Zehndera promień świetlny rozdzielany jest na dwa promienie
(stosunek mocy obu promieni 50%-50%). W jednym z ramion interferometru wywołuje się
zmianę współczynnika załamania światła - to ramię nazywane jest sygnałowym, natomiast
drugie nazywane jest ramieniem sygnału odniesienia. Wiązki po przejściu przez dwa ramiona
interferometru interferują w sprzęgaczu, a wynik interferencji jest rejestrowany przez fotodetektory.
O wyniku interferencji decyduje przesunięcie fazy pomiędzy interferującymi wiązkami.
Przesunięcie fazy jest proporcjonalne do róŜnicy dróg optycznych w obu ramionach, która
wywołana jest róŜnymi wartościami współczynnika załamania światła.

Prawo Malusa  

Prawo Malusa określa natęŜenie I liniowo spolaryzowanego światła o natęŜeniu początkowym I

0

wychodzącego z doskonałego liniowego polaryzatora o azymucie α.
                                         
                                                 I =I

0

cos



Właściwości fali zwyczajnej i nadzwyczajnej w kryształach jednoosiowych

Kryształy jednoosiowe to takie kryształy, w których istnieje tylko jeden kierunek biegu promienia
bez podwójnego załamania.

Promień zwyczajny

 – leŜy w płaszczyźnie padania, padając prostopadle na kryształ nie ulega

załamaniu, powierzchnia falowa w krysztale ma kształt kuli gdyŜ prędkość tego promienia nie
zaleŜy od kierunku rozchodzenia się w krysztale. 

Promień nadzwyczajny

 – na ogół nie leŜy w płaszczyźnie padania, stosunek 

sin



sin

 

nie ma stałej

wartości, leŜy w płaszczyźnie wyznaczonej przez kierunek osi optycznej i normalną padania,
powierzchnia falowa w krysztale ma kształt elipsoidy obrotowej wpisanej w kulę lub na niej
opisaną.

Wspólne

 – prędkości promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego są sobie równe gdy oba promienie

są równoległe do osi optycznej (w przeciwnym wypadku nie są sobie równe), oba całkowicie
liniowo spolaryzowane, jeŜeli przy pewnym połoŜeniu analizatora promień zwyczajny jest
najsilniej odbijany to przy tym samym połoŜeniu promień nadzwyczajny w ogóle nie jest odbijany.

Efekt elektrooptyczny Pockels'a i Kerr'a

Zjawisko elektrooptyczne polega na pojawieniu się dwójłomności w krysztale izotropowym pod
wpływem przyłoŜonego napięcia elektrycznego. W wyniku działania pola elektrycznego pojawia
się róŜnica współczynników załamania dla promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego.
Liniowy efekt elektrooptyczny – efekt Pockels'a
Dwójłomność ośrodka jest proporcjonalna do zmiany natęŜenia przyłoŜonego pola elektrycznego.
Kwadratowy efekt elektrooptyczny – efekt Kerr'a
Dwójłomność jest proporcjonalny do kwadratu przyłoŜonego pola elektrycznego. Pojawienie się
podwójnego załamania światła występuje po umieszczeniu substancji, w normalnych warunkach
izotropowej, w polu elektrycznym prostopadłym do kierunku propagacji swiatła.
ZaleŜność współczynnika załamania od długości fali

n '

=n '

0

a ' Eb ' E

2

...

n ' '

=n' '

0

a ' ' E b ' ' E

2

...

Efekt Pockels'a – kryształy bez środka symetrii
Efekt Kerr'a – kryształy ze środkiem symetrii lub ciało izotropowe
Dla efektu Pockels'a mamy  n ' =n '

0

a ' E   i   n ' '=n' '

0

a ' ' E

Dla efekt Kerr'a mamy         n '

=n '

0

b ' E

2

  i    n ' '

=n' '

0

b' ' E

2

Efekt elektrooptyczny nazywamy prawdziwym gdy nie występuje odkształcenie ośrodka.
Efekt elektrooptyczny nazywamy wtórnym gdy następuje odkształcenie ośrodka np. gdy
zewnętrzne pole elektryczne jest zmienne i ma pozarezonansową częstość.

Efekt elastooptyczny

Efekt elastooptyczny związany jest ze zmianą dwójłomności wywołaną odkształceniami. Wzór
elipsoidy współczynników załamania ma w ogólności postać :

                                  B

kl

kl

=1 gdzie: kl=lk ; k=x,y,z ; l=x,y,z ;  B

kl

=

1

n

kl

2

Dla efektu elastooptycznego mamy 
                                     B

i

=P

ij



j

gdzie : i,j=1,2,...,6

                                                                       P

ij

 – tensor elastooptyczny

                                                                       γ

i

 – tensor odkształceń zapisany w notacj uproszczonej

Aktywność optyczna naturalna i wymuszona (efekt Faradaya), izolator optyczny

Izolator optyczny

 – układ optyczny przepuszczający światło spolaryzowane tylko w jednym

kierunku. Wykorzystywany między innymi przy sprzęganiu laserów półprzewodnikowych ze
światłowodami,  aby wyeliminować światło odbite od czoła światłowodu.

Aktywność optyczna naturalna

 – Kryształy aktywne optycznie (optycznie czynne) to takie, gdzie

występuje dwójłomność kołowa. W kryształach izotropowych układu regularnego efekt skręcenia
azymutu polaryzacji występuje dla kaŜdego kierunku propagacji (dwójłomność liniowa nie
występuje). W kryształach jednoosiowych i dwuosiowych tzw. czysty efekt skręcenia jest
obserwowany dla kierunków propagacji światła wzdłuŜ osi optycznych (dwójłomność eliptyczna i
liniowa występuje dla innych kierunków). Wektor indukcji elektrycznej D zaleŜy od wektora
natęŜenia pola elektrycznego E w ośrodku przy czym zaleŜy od właściwości ośrodka opisanych

tensorem przenikalności elektrycznej  

jk

oraz tensorem skręcenia  g

jk

 

D

j

=

0



jk

E

k

i 

0

 g

jk

S

k

×E

j

gdzie

 

S

k

 

– jest składową wersora normalnego do czoła fali świetlnej.

Pierwszy człon wyraŜa dwójłomność liniowa, drugi człon wyraŜa dwójłomność kołową. Jeśli
ośrodek charakteryzuje się anizotropią liniową to drugi człon równania jest zerowy. Wtedy ośrodek
nie jest aktywny optycznie.

Efekt Faradaya

 – polega na wywołaniu dwójłomności zewnętrznym polem magnetycznym H

występującym w pierwszej potędze. Efekt Faradaya jest najmocniejszy, gdy fala biegnie wzdłuŜ
linii pola H, a zanika, gdy biegnie do nich prostopadle. Dwójłomność wywołana efektem Faradaya
jest dwójłomnością kołową.
                          n

F

=VH  

                         =VdHcos  gdzie : Γ – kąt skręcenia
                                                               V – stała Verdeta
                                                               d – droga geometryczna promienia w ośrodku
                                                               H – natęŜenie pola magnetycznego
                                                               ∆n

F

 – dwójłomność

                                                              

Odbicie i załamanie fali na granicy dwóch ośrodków, amplitudowe i natęŜeniowe współczynniki
odbicia dla fali o polaryzacji TE i TM.

Polaryzacja TE – wektor E jest równoległy do płaszczyzny padania
Polaryzacja TM – wektor H jest równoległy do płaszczyzny padania

Amplitudowe współczynniki odbicia :

     Polaryzacja TE                   Polaryzacja TM                          

r

TE

=

−sin 

1

−

2



sin



1



2



            r

TM

=

tan



1

−

2



tan



1



2



Amplitudowy współczynniki transmisji : 

     Polaryzacja TE                    Polaryzacja TM

t

TE

=

2cos



1

sin



2

sin



1



2



               t

TM

=

2cos



1

sin



2

sin



1



2

cos 

1

−

2



NatęŜeniowy współczynnik odbicia :      R=

n

2

−n

1



2

n

2

n

1



2

NatęŜeniowy współczynnik transmisji :  T =

4n

1

n

2

n

2

n

1



2

Załamanie fali świetlnej na granicy dwóch ośrodków

Kąt Brewstera, kąt graniczny, całkowite wewnętrzne odbicie.

Całkowite wewnętrzne odbicie zachodzi wtedy gdy kat padania jest większy od kąta granicznego i
mniejszy od π/2. Kat graniczny to taki kąt padania, dla którego kąt załamania jest równy zero.

                                        

sin



graniczne

sin

/2

=

n

2

n

1

⇒sin 

graniczne

=

n

2

n

1

⇒ 

graniczne

=arcsin



n

2

n

1



PowyŜsze równanie jest spełnione tylko wtedy gdy  n

2

n

1

. A więc całkowite wewnętrzne

odbicie występuje wtedy gdy światło przechodzi z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka
optycznie rzadszego.
Kąt Brewstera to taki kąt padania, dla którego kąt pomiędzy promieniem odbitym i załamanym
wynosi π/2. W tym przypadku promień odbity jest całkowicie liniowo spolaryzowany. 

  

n

2

n

1

=

sin



Brewstera

sin



=

sin



Brewstera

sin

90

0

−

Brewstera



=tg 

Brewstera

⇒ 

Brewstera

=arctg



n

2

n

1



Definicja układu liniowego i jego właściwości

Układ liniowy to taki układ, który przekształca liniową kombinacje dowolnych sygnałów
wejściowych w taką sama kombinację liniową odpowiadających im sygnałów wyjściowych.

g

 x

2

, y

2

=L { f  x

1

, y

1

}

Własność liniowości :  L {af  x

1

, y

1

bg  x

1

, y

1

}=aL { f  x

1

, y

1

}bL {g  x

1

, y

1

}

Sygnał wejściowy : 

f

 x

1

, y

1

=

∬

−∞

∞

f

 x , y   x

1

−x , y

1

− y  dxdy

Sygnał wyjściowy :  g  x

2

, y

2

=

∬

−∞

∞

f

 x , y  L{ x

1

−x , y

1

− y }dxdy

Odpowiedź impulsowa układu :  h  x

2

, y

2

; x , y

=L { x

1

− x , y

1

− y }

Układ jest niezmienniczy czasowo jeŜeli jego odpowiedź jest niezaleŜna od chwili wprowadzenia
sygnału na wejście. Niezmienniczość przestrzenna to niezmienniczość układu względem
przesunięcia sygnału w płaszczyźnie wejściowej.
Sygnał wyjściowy z uwzględnieniem niezmienniczości przetrzennej :

g

 x

2

, y

2

=

∬

−∞

∞

f

 x

1

, y

1

h  x

2

− x

1

, y

2

− y

1

 dx

1

dy

1

Funkcja przenoszenia układu :  H v

x

, v

y

=

∬

−∞

∞

h

 x , y exp[−i2  xv

x

 yv

y

]dxdy

Równanie falowe, równanie Helmholtza, fala plaska i kulista

Równanie falowe fali elektromagnetycznej  : 



∇

2

E−  ∂

2

E

∂ t

2

=0       



∇

2



H

−

∂

2



H

∂t

2

=0

Równanie Helmholtza : 

∇

2

k

2

 U =0

Równanie fali płaskiej :  u

r , t=u

0

exp

[ jk r− t]

Równanie fali kulistej: 

  

u

r , t=

u

0

∣

r

∣

exp

[ j kr−t]

Propagacja fali EM w wolnej przestrzeni, przybliŜenie Fresnela i Fraunhofera.

U

 P

0

=

1

j



∬



U

 P

1



exp



jk



z

2

 x−x ' 

2

 y− y ' 

2





z

2

 x− x ' 

2

 y− y ' 

2

cos

 ds

PrzybliŜenie Fresnela 

Z dyfrakcją Fresnela mamy do czynienia wtedy gdy wiązka rozbieŜna, pochodząca od bliskiego
źródła, przechodzi przez otwór uginający światło. Wynik ugięcia obserwowany jest na ekranie
znajdującym się w skończonej odległości od ciała uginającego światło.

Odległość źródła od ekranu wynosi :  z

3

≫



4



[ x− x ' 

2

 y − y ' 

2

]

max

2

Wzór dyfrakcyjny:  U  x , y =

exp

 jkz

j

 z

∬

−∞

∞

U

 x ' , y ' exp

{

jk

2z

[

 x−x '

2

 y− y ' 

2

]

}

dx ' dy '

PrzybliŜenie Fraunhofera 

Dyfrakcja Fraunhofera występuje wtedy, gdy na ciało uginające pada wiązka promieni
równoległych, a więc wiązka pochodząca z nieskończenie odległego źródła. Wynik ugięcia
obserwowany jest na ekranie oddalonym nieskończenie daleko od ciała uginajacego.

 Odległość źródła od ekranu wynosi :  z ≫

1
2

k

 x '

2

 y '

2



max

Wzór dyfrakcyjny :

U

 x , y =

exp

[

jkz



jk

2z

 x

2

 y

2



]

j

 z

∬

−∞

∞

U

 x ' , y ' exp

[

−2  j

 z

 xx ' yy ' 

]

dx ' dy '

Interferencja światła całkowicie i częściowo koherentnego, kontrast prąŜków interferencyjnych

{

E

1

r

1

,t

=A

1

exp

 kr

1

− t

1



E

2

 r

2

,t

=A

2

exp

 kr

2

−t

2



I

=

∣

E

1

r

1

, t

E

2

r

2

, t



∣

2

}

=I =

∣

E

1

∣

2



∣

E

2

∣

2

2



∣

E

1

∣

2

∣

E

2

∣

2

cos

[k [r

1

−r

2

]

1

−

2

]

  

Maksimum interferencyjne(jasne prąŜki) wystąpi gdy    k  r

1

−r

2



1

−

2

=m

Minimum interferencyjne(ciemne prąŜki) wystąpi gdy   k  r

1

−r

2



1

−

2

=m1 /2

RóŜnica dróg optycznych dwóch interferujących fal       =n r

1

−r

2



RóŜnica faz dwóch interferujących fal                              =

2

 n r

1

−r

2





0



1

−

2



Kontrast prąŜków  interferencyjnych

 

{

V

=

I

max

− I

min

I

max

 I

min

I

max

= I

1

I

2

2



 I

1

I

2



I

min

= I

1

 I

2

−2



 I

1

I

2



}

=V =

2



 I

1

I

2



I

1

I

2

                                                                                                     

Polaryzacja światła, geometryczny sposób opisu stanu polaryzacji.

Geometryczny opis stanu polaryzacji 

θ – kąt eliptyczności.  =arctan



b
a



. Dla polaryzacji liniowej 

=0

0

, kołowej prawoskrętnej

0

0

45

0

, kołowej lewoskrętnej 

−45

0

0

0

Φ – azymut – kąt między duŜą pół osią elipsy a osią x. 

−

β – kąt przekątnej prostokąta w który wpisana jest elipsa stanu polaryzacji. Prostokąt wyznaczają
amplitudy m

x

 i m

y

 

Polaryzacja światła

Światło nazywamy niespolaryzowanym gdy zmiany wektora świetlnego (wektora E) występują we
wszystkich moŜliwych kierunkach prostopadłych do wektora k. Gdy zmiany wektora E
sprowadzimy do jednej płaszczyzny to wtedy mówimy o polaryzacji liniowej. Płaszczyzna
przechodząca przez wypadkowy wektor E i wektor k nosi nazwę płaszczyzny drgań wektora
świetlnego. Płaszczyznę, którą tworzą wektory H i k nazywamy płaszczyzną polaryzacji.
Polaryzacja kołowa moŜe powstać przez nałoŜenie się dwóch fal spolaryzowanych liniowo.
Aby powstała polaryzacja kołowa to obie fale  o polaryzacji liniowej muszą być przesunięte w fazie
o π/2. Zmiany wektora E odbywają się zgodnie z równaniem  E=E

0

sin

 t więc

E

x

=E

0

sin

 t

E

y

=E

0

sin



t



2



= E

0

cos

 t

. Wypadkowy wektor E ma stałą długość  E

=



E

x

2

E

y

2

= E

0

.

WyróŜniamy polaryzację kołową lewoskrętną i prawoskrętną. Gdy róŜnica faz obu fal
spolaryzowanych liniowo jest róŜna od  π/2 to otrzymujemy polaryzację eliptyczną. W tym
przypadku nie jest konieczne, aby amplitudy były jednakowe a kierunki drgań obu wektorów
składowych wzajemnie prostopadłe. Polaryzacja liniowa i kołowa są szczególnym przypadkiem
polaryzacji eliptycznej.
 

E  z ,t= 

E

0

exp

[ j kz−t ] gdzie  

E

0

=

[

m

x

exp

 j 

x



m

y

exp

 j 

y



]

E t =

[

E

x

t

E

y

t

]

=

[

E

x

t exp j 

x

t 

E

y

exp

 j

y

t

]

exp

[− jt 

0

]

Dla powyŜszego przypadku trajektoria końca wektora elektrycznego na płaszczyźnie obserwacji
moŜe mieć charakter częściowo uporządkowany. W tym wypadku mówimy o polaryzacji
częściowej. W polaryzacji częściowej istnieje wiele płaszczyzn drgań wektora E jednak amplitudy
drgań wektora E nie są jednakowe. Opisuje ją parametr zwany stopniem polaryzacji.

Stopień polaryzacji :  P=

I

P

I

0

gdzie I

p

 – natęŜenie wiązki całkowicie spolaryzowanej

                                                             I

0

 – całkowite natęŜenie wiązki

Wektor Jonesa, wektor Stokesa, kula Poincare, macierz koherencji

Wektor Jonesa   

  

J

=

[

m

x

exp

i 

x



m

y

exp

i 

y



]

Znormalizowany wektor Jonesa  



J

0

=

1



m

x

2

m

y

2

[

cos



sin

exp i 

]

Przykładowe wektory Jonesa 
Polaryzacja liniowa        liniowa ogólnie            kołowa prawoskrętna           kołowa lewoskrętna

       

J

=

[

1

0

]

                  

J

=

[

cos



sin



]

                    

J

=

1



2

[

1

j

]

                     

J

=

1



2

[

1

− j

]

Wektor Stokesa 

S=

[

I

M

C

S

]

gdzie : 

I

=〈  E

x

t 

2

〉

t

〈 E

y

t 

2

〉

t

M

=〈 E

x

t 

2

〉

t

−〈  E

y

t

2

〉

t

C

=〈 E

x

t E

y

tcos 

y

t−

x

t〉

t

S

=〈 E

x

t E

y

tsin 

y

t −

x

t〉

t

Wektor Stokesa dla pełnej koherencji między składowymi E

x 

i E

y 

S=

[

m

x

2

m

y

2

m

x

2

−m

y

2

2m

x

m

y

cos



2m

x

m

y

sin



]

=I

[

1

M

/ I

C

/ I

S

/I

]

gdzie 

[

I

−natęŜenie światła

M

/ I =cos2 cos2

C

/ I =sin2 cos2 

S

/ I =sin2

]

Wektor Stokesa dla polaryzacji częściowej

S= I

s

[

1

M

C

S

]

I

ns

[

1
0
0
0

]

=

[

I

s

I

ns

I

s

M

I

s

C

I

s

S

]

Stopień polaryzacji:

P

=

I

s

I

s

I

ns

=S =

[

I

PIM

PIC

PIS

]

=

[

I

PIcos2

 cos2

PIcos2

 sin2

PIsin2



]

Przykłady wektorów Stokesa

Światło niespolaryzowane 

S

=

[

I

0
0
0

]

 Polaryzacja liniowa 

S

=

[

I

Icos



Isin



0

]

Polaryzacja kołowa   

S

=

[

0
0
0

±I

]

Macierz koherencji 

 

K

=

[

m

x

2

m

x

m

y

exp

i 

m

x

m

y

exp

−i 

m

y

2

]

Przykłady macierzy koherencji
polaryzacja liniowa (Z=1,2,...)                             kołowa prawoskrętna             kołowa lewoskrętna

K

=

[

m

x

2

m

x

m

y

exp

−1

Z

m

x

m

y

exp

−1

Z

m

y

2

]

          K =

1
2

[

1

i

−i 1

]

                   K =

1
2

[

1

−i

i

1

]

 

Kula Poincare

Zbiór końców wektorów reprezentujących fale świetlne całkowicie spolaryzowane o wszystkich
moŜliwych kątach azymutu i kątach eliptyczności tworzą sferę zwaną sferą Poincare.

S

 , =

[

I

PIcos2

cos2 

PIcos2

 sin2 

PIsin2



]

 

Równik – liniowe stany polaryzacji światła oraz środki liniowo dwójłomne
Bieguny – kołowe stany polaryzacji światła oraz ośrodki kołowo dwójłomne
Południki – linie stałego kąta azymutu światła oraz ośrodka dwójłomnego
RównoleŜniki – linie stałego kąta eliptyczności światła oraz ośrodka dwójłomnego
Półkula północna – eliptyczne stany prawoskrętne
Półkula południowa – eliptyczne stany lewoskrętne 
Antypody – ortogonalne stany polaryzacji światła lub pierwszy i drugi wektor własny ośrodka dwójłomnego

Transformacja stanu polaryzacji przy przejściu przez elementy dwójłomne w opisie Jonesa,
macierze Jonesa typowych elementów polaryzacyjnych 

Macierzowy zapis stanu polaryzacji 

  J =[ M

J

] J

0

gdzie J – wektor Jonesa dla stanu końcowego

                                                                                              J

0

 – wektor Jonesa dla stanu początkowego

                                                                                              M

J

 – macierz Jonesa

Postać macierzy Jonesa   

[M

J

]=

[

cos

2



f

sin

2



f

exp

−i 

sin



f

cos



f

1−exp −i exp −i 

f



sin



f

cos



f

1−exp −i  exp−i 

f



sin

2



f

cos

2



f

exp

−i 

]

Przykłady macierzy Jonesa
polaryzator liniowy    kołowy prawoskrętny   kołowy lewoskrętny             płytka fazowa

    M

J

=

[

1

0

0

0

]

        M

J

=

1
2

[

1

i

−i 1

]

         M

J

=

1
2

[

1

−i

i

1

]

     M

J

=

1
2

[

1

0

0 exp

− j 

]

Transformacja stanu polaryzacji przy przejściu przez elementy dwójłomne. Reprezentacja na kuli
Poincare.

Macierz Jonesa obrotu stanu polaryzacji   M

J obrotu

=

[

cos

 −sin 

sin



cos



]

Wektor Jonesa w transformowanym układzie odniesienia  J ' =R J

Macierz obrotu   R=

[

cos



sin



−sin  cos

]

Macierz Jonesa w transformowanym układzie odniesienia   M '

J

=R  M

J

R

−

Transformacja odwrotna 

M

J

=R− M '

J

R



Interferencja fal odbitych od płytki płasko równoległej, prąŜki równej grubości i równego
nachylenia, warstwy przeciwodblaskowe

Interferencja fal odbitych od płytki płasko równoległej

 =nk

0

 AC CD−k

0

AB

=k

0



2nd

cos



−ADsin 



=k

0



2nd

cos



−2dtan sin 



 =k

0

n



2d

cos



−

2dsin

2



cos





=

2k

0

nd

cos



1−sin

2

=2k

0

ndcos



PrąŜki równej grubości 

JeŜeli grubość cienkiej warstwy nie jest wszędzie jednakowa to do wzmocnienia interferencyjnego
światła monochromatycznego przyczyniają się tylko te punkty warstwy którym odpowiada ta sama
grubość. Powstają wtedy linie wzmocnień i osłabień światła monochromatycznego nazywane
prąŜkami równej grubości.
PrąŜki równej grubości moŜna zauwaŜyć równieŜ obserwując tzw. pierścienie Newtona.

Wygaszenie nastąpi wtedy gdy  2 e



2

=2m1



2

Wzmocnienie nastąpi gdy   2 e



2

=m

R

2

=r

m

2

 R−e 

2

=R

2

=r

m

2

R

2

−2Ree

2

Ostatecznie dla ciemnych prąŜków otrzymujemy, Ŝe  r

m

2

=R  m

PrąŜki jednakowgo nachylenia

PrąŜki jednakowgo nachylenia powstają wtedy gdy na płytkę płaskorównoległą o równej grubości d
pada światło pod wszystkimi moŜliwymi  katami.

Warstwy przeciwodbiciowe

NatęŜenie fali odbitej od pierwszej powierzchni   I

1

=I

0

n

powietrza

−n

warstwy



2

 n

powietrz

n

warstwy



2

NatęŜenie fali odbitej od drugiej powierzchni       I

2

=I

0

 n

warstwy

−n

szkła



2

 n

warstwy

n

szkła



2

ZaleŜność natęŜenia światła odbitego od długości fali  I = I

1

I

2

2



I

1

I

2

cos



2





dn

warstwy



Całkowite wygaszenie nastąpi gdy  dn

warstwy

=



4

oraz  I

1

=I

2

czyli  n

warstwy

=



n

powietrza

n

szkła

Dyfrakcja na szczelinie, otworze prostokątnym i kołowym 

Dyfrakcja na otworze prostokątnym

Transmitancja   T  x ' , y ' =rect



x '

2W

x



rect



y '

2W

y



Amplituda zespolona  w obrazie dyfrakcyjnym

U

 x , y =A

exp



ikz



jk

2z

 x

2

 y

2





 z

sinc



2W

x

x

 z



sinc



2W

y

y

 z



NatęŜenie w obrazie dyfrakcyjnym  I

 x , y =

A

2



2

z

2

sinc

2



2W

x

x

 z



sinc

2



2W

y

y

 z



Wymiary obrazu dyfrakcyjnego na ekranie wzdłuŜ osi x i osi y

 x=2

 z

a

      y=2

 z

b

Dyfrakcja na otworze kołowym

Transmitancja   T  r =circ



r

W



Amplituda zespolona w obrazie dyfrakcyjnym  U r =exp



jkz



kr

2

2z



A

j

 z

[

2

J

1

kWr

z

kWr

z

]

NatęŜenie w obrazie dyfrakcyjnym  I r =

A

2



2

z

2

[

2

J

1

kWr

z

kWr

z

]

2

Powstały obraz ma kształt okręgu. Jego promień wynosi  r

A

=1,22

 z

2a

Dyfrakcja na szczelinie

NatęŜenie w obrazie dyfrakcyjnym   I

=I

0



sin



a sin 





 a sin 





2

Szerokość szczeliny   a= m

 d

x

gdzie a – szerokość szczeliny

                                                                 m – numer prąŜka
                                                                 λ – długość fali
                                                                 d – odległość obrazu od przedmiotu
                                                                 x – odległość pierwszego minimum od środka obrazu 

Propagacja światła w kryształach, kryształy jedno- i dwuosiowe, elipsoida współczynników
załamania, oś optyczna kryształu.

Propagacja światła w kryształach

Indukcja D jest zdefiniowana jako  

D

=

0

E P

JeŜeli P jest liniową funkcją E to zachodzi zaleŜność   

P

= 

0



E  gdzie χ – podatność elektryczna

                                                                                                                            dielektryka



D

=

0

E P=

0

1 E≡ 

E

= 

D

= E

Wektor polaryzacji P moŜna przedstawić jako sume wszystkich elektrycznych mometów

dipolowych w danej objętości ∆V   

P

=

1

V

∑

i



p

ei

W ośrodkach anizotropowych kierunek wektora polaryzacji elektrycznej P i natęŜeni pola E nie muszą

być takie same. W tym przypadku zachodzi związek 



D

i

=

∑

j



ij



E

j

 gdzie ε

ij

 – symetryczny tensor

                                                                                                                                 przenikalności elektrycznej

Oś optyczna kryształu

Oś optyczna to kierunek w kryształach dwójłomnych wzdłuŜ którego światło biegnąc porusza się z
tą samą prędkością niezaleŜnie od kierunku polaryzacji. Gdy światło porusza się wzdłuŜ osi
optycznej to nie występuje rozszczepienie światła na dwie wiązki : zwyczajna i nadzwyczajną.

Kryształy dzielimy na jednoosiwe i dwuosiowe. W kryształach jednoosiwych występuje tylko jeden
kierunek biegu promienia bez podwójnego załamania. Kryształ jest jednoosiowy gdy  n

1

=n

2

=n

0

n

e

≠n

0

. Gdy  n

e

n

0

to kryształ jest dodatni , a gdy 

n

e

n

0

 to kryształ jest ujemny.

Kryształ dwuosiwy to taki który ma dwa kierunki, w których promienie biegną z tą samą prędkością. Oba
promienie są nadzwyczajne gdyŜ Ŝaden nie podlega prawom załamania obowiązującym w środowiskach
izotropowych. Kryształ jest dwuosiowy gdy 

n

1

≠n

2

≠n

3

. W kryształach izotropowych 

n

1

=n

2

=n

3

.

Elipsoida współczynników załamania  

Równanie elipsoidy współczynników załamania  

x

1

2

n

1

2



x

2

2

n

2

2



x

3

2

n

3

2

=1  gdzie  n

1

, n

2

, n

3

- główne

                                                                                                                        współczynniki załamania

Szereg Fouriera, transformata Fouriera, definicje i właściwości

Definicje

Szereg Fouriera  

f

t=a

0



∑

n

=1

∞

a

n

cosn



0

t



∑

n

=1

∞

b

n

sinn



0

t

Transformata Fouriera  F {g }=

∬

−∞

∞

g

 x , y exp [− j2 f

x

x

 f

y

y

]dxdy

Odwrotna transformata Fouriera   F

−1

{G }=

∬

−∞

∞

G

 f

x

, f

y

exp [ j2 f

x

x

 f

y

y

] df

x

df

y

Własności

1.

F

{ gh }= F {g } F {h}

2.

JeŜeli  F {g  x , y}=G  f

x

, f

y

 to   F {g  ax , by}= 1

∣

ab

∣

G



f

x

a

,

f

y

b



3.

JeŜeli  F {g  x , y}=G  f

x

, f

y

 to   F {g  x−a , y−b }=G  f

x

, f

y

exp [− j2 f

x

a

 f

y

b

]

4.

JeŜeli  F {g  x , y}=G  f

x

, f

y

 to  

∬

−∞

∞

∣

g

 x , y

∣

2

dxdy

=

∬

−∞

∞

∣

G

 f

x

, f

y



∣

2

df

x

df

y

5.

JeŜeli  F {g  x , y}=G  f

x

, f

y

 i F {h  x , y }=H  f

x

, f

y

 to  

           F

{

∬

−∞

∞

g

 x ' y ' h  x−x ' , y− y ' dx ' dy '

}

=G  f

x

, f

y

 H  f

x

, f

y



6.

JeŜeli  F {g  x , y}=G  f

x

, f

y

 to   F

{

∬

−∞

∞

g

 x ' y ' g

*

 x− x ' , y − y '  dx ' dy '

}

=

∣

G

 f

x

, f

y



∣

2

Popularne funkcje uŜywane w optyce i ich transformaty Fouriera

Funkcja                                  Transformata Fouriera

exp

[

−a

2

x

2

b

2

y

2



]

1

∣

ab

∣

exp

[

−



f

x

2

a

2



f

y

2

b

2



]

     

rect

 ax rect by 

1

∣

ab

∣

sinc



f

x

a



sinc



f

y

b



      

ax  by

1

∣

ab

∣

sinc

2



f

x

a



sinc

2



f

y

b



                        

 ax , by

1

∣

ab

∣

exp

[ j  axby]





f

x

−

a

2

, f

y

−

b
2



sgn

 ax sgn by 

ab

∣

ab

∣

1

j

 f

x

1

j

 f

y

comb

 ax combby 

1

∣

ab

∣

comb



f

x

a



comb



f

y

b



exp

[

j

a

2

x

2

b

2

y

2



]

j

∣

ab

∣

exp

[

− j 



f

x

2

a

2



f

y

2

b

2



]

Koherencja światła czasowa i przestrzenna, zasada działania spektroskopu fourierowskiego,
optyczna tomografia koherencyjna (OCT)

Koherencja światła czasowa

 związana jest z niemonochromatycznością promieniowania

spowodowanego : 
1.

Skończonym czasem trwania ciągu falowego tzn. im ciąg falowy dłuŜszy tym szerokość

            widmowa ∆ν jest mniejsza,
2.

Tłumieniem ciągu falowego tzn. im szybciej zanika ciąg tym widmo częstotliwościowe jest

            szersze,
3.

Tzw. poszerzeniem jednorodnym i niejednorodnym linii spektralnej obserwowanej dla

            przejścia między dwoma poziomami wzbudzonego atomu.

Koherencja światła przestrzenna

 związana jest rozciągłością przestrzenną źródeł światła.

Zespolony współczynnik koherencji przestrzennej ma postać    r

1

, r

2

=

〈 E r

1

, t

 E

*

 r

2

,t

〉



I

 r

1

 I  r

2



Interferencja wielopromieniowa, interferometr Fizeau i jego zastosowania

Elementy polaryzacyjne, konstrukcja, zasada działania, zastosowania

Polaryzator siatkowy

Polaryzator ten składa się z układu cienkich przewodników umieszczonych równolegle obok siebie.
Pole elektryczne działające w kierunku równoległym do drutów wytwarza w nich prąd
elektryczny, wskutek czego energia pola elektrycznego zmienia się w energie prądu. Dzięki
istnieniu oporu elektrycznego energia prądu zamienia się na ciepło. Między drutami istnieją obszary
nieprzewodzące. Pole elektryczne o kierunku prostopadłym do drutów nie powoduje, więc
przepływu prądu w drutach i nie traci energii. Siatka taka umieszczona na drodze
niespolaryzowanej fali elektromagnetycznej pobiera energie tylko od jednej składowej, podczas,
gdy druga składowa przechodzi bez osłabienia. Przepuszczona zostaje wiec ta składowa, której
kierunek drgań wektora elektrycznego jest prostopadły do kierunku przewodników siatki. Dla
zapewnienia dobrego działania polaryzatora siatkowego naleŜy do wykonania siatki stosować

przewodniki o średnicy mniejszej od długości fali, która ma ulec polaryzacji. RównieŜ odległości
pomiędzy kolejnymi przewodnikami powinny być małe w stosunku do długości uŜytej fali. W
wypadku uŜycia zbyt grubych drutów pojawiają się prądy płynące prostopadle do ich osi, w
rezultacie czego byłaby pochłaniana równie uŜyteczna składowa pola elektrycznego. 

Polaryzator Nicola

Dwa kryształy szpaty islandzkiego o kątach 90 , 68 i 22 stopnie sklejone cienką warstwą balsamu
kanadyjskiego. Światło wchodząc do kryształu rozdziela się na dwa promienie zwyczajny i
nadzwyczajny. Promień nadzwyczajny przechodzi niemal bez załamania natomiast promień
nadzwczajny ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i pada na czarna podstawę i tam zostaje
całkowicie pochłonięty.

Polaryzator Wollastona

Kompensator Babineta

Przyrząd do wytwarzania i badania światła eliptycznie spolaryzowanego, składa się z dwóch prawie
Ŝe płaskich, przesuwalnych względem siebie klinów z kwarcu krystalicznego. Osie optyczne klinów
są względem siebie prostopadłe, obie leŜą w płaszczyznie prostopadłej do padającej na nie wiązki
światła. Skutkiem tego promień zwyczajny przechodzi przez jeden z klinów jako nadzwyczajny, a
nadzwyczajny jako zwyczajny. PoniewaŜ nadzwyczajny promień biegnie w kwarcu wolniej, więc
przesuwając ruchomy klin, t. j. wstawiając w drogę promienia coraz to grubszą lub cieńszą warstwę
kryształu, moŜna wytwarzać między promieniami zw. i nadzw. dowolną róŜnicę faz, otrzymując
światło spolaryzowane eliptycznie, względnie światło eliptyczne moŜna zamienić na liniowo
spolaryzowane.

 
Kompensator Soleila

Filtr Lyota

Zasadę polaryskopu wykorzystuje tzw. filtr Lyota – jedno z wielu rozwiązań filtrów polaryzacyjnych
charakteryzujące się mała połówkową szerokością spektralną i wysokim współczynnikiem transmisji
dla środka piku. Filtr składa się z N szeregowo rozmieszczonych polaryskopów zawierających
jednoosiowe kryształy Qi o narastającej róŜnicy dróg optycznych tzn.:  I

1

, 2I

1

, 4I

1

, ... , 2

N

−1

I

1

Transmitancja fazowa soczewki płaskiej, realizacja transformaty Fouriera przy pomocy soczewki
skupiającej.

Transmisja fazowa soczewki płaskiej

Faza     x , y=kn  x , yk

[



0

−  x , y 

]

Transmisja fazowa  

{

t

S

 x , y=exp

[

jk



0

 jk n−1  x , y 

]

 x , y=

0

−R



1

−



1

−

x

2

 y

2

R

2





1

−

x

2

 y

2

R

2

≈1−

x

2

 y

2

2R

2

  x , y =

0

−

x

2

 y

2

2



1

R



1

f

=n−1



1
R



}

=t

S

=exp

[

− jk

2f



x

2

 y

2



]

Realizacja transformaty Fouriera przy pomocy soczewki skupiającej

Amplituda zespolona  U '

S

 x , y=t

S

 x , yU

S

 x , y=U

S

 x , y exp

[

− jk

2f



x

2

 y

2



]

Amplituda zespolona z wykorzystaniem wzoru dyfrakcyjnego Fresnela przy z=f

U

f

 x , y =

exp

[

jk

2f



u

2

v

2



]

j

 f

×

∬

−∞

∞

U '

S

 x , y exp

[

jk

2f



x

2

 y

2



]

exp

[

−2  j

 f



ux

 yv



]

dxdy

U

f

u , v =

exp

[

jk

2f



u

2

v

2



]

j

 f

∬

−∞

∞

U

S

 x , y exp

[

−2  j

 f



ux

 yv



]

dxdy

gdzie 

f

x

=

u

 f

f

x

=

v

 f

U

S

 x , y =At

A

 x , y 

NatęŜenie   I

f

u , v =

A

2



2

f

2

∣

∬

−∞

∞

t

A

 x , y exp

[

−2  j

 f



ux

 yv



]

dxdy

∣

2

Sinusoidalna siatka dyfrakcyjna amplitudowa i fazowa

Sinusoidalna siatka dyfrakcyjna amplitudowa

Transmitancja 

t

A

 x ' , y ' =

[

1
2



m

2

cos

2  f

0

x '



]

rect



x '

2W



rect



y '

2W



Amplituda

U

 x , y =

A

2

 jz

exp

[

jkz



jk

2z



x

2

 y

2



]

sinc



2wy

 z



{

sinc



2wx

 z





m

2

sinc

[

2w

 z

 x f

0

 z 

]



m

2

sinc

[

2w

 z

 x− f

0

 z 

]

}

NatęŜenie

I

 x , y ≈

[

A

2

 j z

]

2

sinc

2



2wy

 z



{

sinc

2



2wx

 z





m

2

4

sinc

2

[

2w
 z

 x f

0

 z 

]



m

2

4

sinc

2

[

2w

 z

 x− f

0

 z 

]

}

Sinusoidalna siatka dyfrakcyjna fazowa

Transmitancja 

t

A

 x ' , y ' =exp

[

jm

2

sin

 2 f

0

x '



]

rect



x '

2W



rect



y '

2W



Amplituda

U

 x , y =

A

j

 z

exp

[

jkz



jk

2z



x

2

 y

2



]

×

∑

q

=−∞

∞

J

q



m

2



sinc

[

2w

 z

 x −qf

0

 z 

]

sinc



2wy

 z



NatęŜenie

I

 x , y ≈



A

j

 z



2

∑

q

=−∞

∞

J

q

2



m

2



sinc

2

[

2w

 z

 x−qf

0

 z 

]

sinc

2



2wy

 z

