Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)
(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6)
(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)
(0,4) (1,5) (2,6)
(0,5) (1,6)
(0,6)
A
6
4
4
4
7
4
4
4
8
C
6
4
4
4
7
4
4
4
8
ODP = P ⋅
p
2 asuja n
i
ie
r
1
z
zedu P nie
r
1
z
zedu jedna p
2 asuja +
6
4
4
4
7
B
4
4
4
8
4
6 D4
7 8
+ P ⋅ p
2 asuja
r
1
z
1
i
zedu P
r
1
z
1
zedu p
2 asuja
A = 6 + 6 −1 = 11 (to moŜna policzyć bo wtedy jedna z cyfrą jedna...) B = 11
11
P( )
A = 26
11
a
C+D=1 → ODP =
11
26
P( B) = 26
Zadanie 2
ODP = nE( Z min
1
( Z ,..., Z
1
=
n )
t )
E( Z min
= =
=
=
+
>
>
1
( Z ,..., Z
t
E Z Z
t P Z
min Z ,..., Z
E Z Z
t P Z
min Z ,..., Z
1
n )
) ( 1 1 ) ( 1
( 1
n )
( 1 1 ) ( 1
( 1
n )
θ 1
−
E(
λ
Z − t
=
λ
1
)+ λ+ t θ −1
λθ
1
θ
( +
−
) 1
−1
( + )
E( Z
1 − t Z 1 > t )
λ
t
θ
λ
t
=
→
1
1 >
=
+
P( Z 1 > t)
E( Z Z
t )
t
θ −1
E(
t
λ + t
n −
n − λ + t
Z min Z
Z
n
= t = +
+ t
= t +
1
( ,...,
1
) )
1
1
n
θ −1
n
n
θ −1
λ +
ODP = nt +
t
( n − )
1
θ −1
W=a(X+Y)+bZ
Chcemy: varW=1
Cov(W,X+Y)=0 Ŝeby nzl
cov( a( X + Y ) + bZ, X + Y ) = a var( X + Y ) + b cov( Z, X + Y ) =
16
= a(4 +1+ 2 ⋅ )
5
,
1
+ b 1
( +
)
5
,
0
= 8 a + b
5
,
1
= 0 → b = −
a
3
var
2
W = a (4 + )
1
2
+ b + 2( 2
a
5
,
1 + ab + ab ⋅ 5
,
0 ) = 5 2
2
a + b + 3 2
a + 3 ab = 8 2
2
a + b + 3 ab = 1
2
256 2
2 16
8 a +
a − 3 a
= 1
9
3
2
9
3
3 46
16 3
46
a =
→ a =
=
, b = −
46 = −
184
2 46
96
3 96
6
3 46
46
W =
( X + Y ) −
Z W i X+Y nzl → E( 2
W
X + Y )
2
= EW = 1
96
6
9 ⋅ 46
2
2 ⋅ 3 ⋅ 46
46
2
9 ⋅
1 =
46
2
46
E
( X + Y ) −
( X + Y ) Z +
Z X + Y =
( X + Y ) −
( X + Y ) E( Z X + Y )+
962
96 ⋅ 6
36
962
96
+ 46 E( Z 2 X + Y ) 36
+
E( Z X + Y )
cov( Z , X
Y )
= m +
+ −
+
=
+
=
+
Z
( X Y µX Y )
5
,
1
3
( X
Y )
( X
Y )
2
σ
4 + 1 + 2 ⋅ 5
,
1
16
X Y
+
E( 2
Z X + Y ) = (
2
1 − p )
2
2
9
2
5
,
1
9
2
23
9
2
σ +
( X + Y )
= 1
−
+
( X + Y ) =
+
( X + Y )
Z
256
1⋅ 8 256
32
256
E( Z 2 ( X + Y 2
) ) = EE( Z 2 ( X + Y 2
) X + Y ) = E(( X + Y 2
) E( Z 2 X + Y ) =
2
23
9
=
2
23
2
9
4
E( X + Y )
+
( X + Y ) =
E( X + Y ) +
E( X + Y ) = X + Y ≅ N (
)
8
,
0
=
32
256
32
256
23
9
3200
25
=
⋅8 +
⋅ 3⋅ 64 =
=
32
256
256
2
E(( X + Y ) Z ) 3
= E( XZ) + E( YZ) = cov( X , Z) + EXEZ + cov( Y, Z) + EYEZ = 1+ 5
,
0
=
2
2
−
var(( X + Y ) Z )
25
3
25
9
50
9
41
=
− =
− =
=
= 1 ,
0 25
2
2
2
4
4
4
Zadanie 4
X ≅ Bernoulli g
e o( n, p )
i
i
Epˆ = anp + b
i
i
2
2
2
2
2
ˆ p
E
= a EX + 2 abEX + b = a
−
+
+
+
i
i
i
(
2
2
2
np
np
n p
i
i
i )
2
2 abnp
b
i
EL( p, p) = 1
ˆ
∑ E( 2
pi − 2 p ˆ p
i
i +
2
pi ) = 1
ˆ
∑( 2
pi − 2 pi ( anpi + b) + 2
a ( npi −
2
npi + 2 2
n pi )+ 2 abnpi + 2
b ) =
k
k
= 1 ∑( 2
p
i −
2
2 anpi − 2 bpi + 2
a npi − 2 2
a p n
i
+ 2 2 2
a n pi + 2 abnpi + 2
b ) =
k
=18
7
6
1
=
(1−2 an− a 2 n+ a 2 n 2)∑ p 2
2
2
2
2
i + (− b + a n +
abn)
∑ pi + b k
k
Ŝeby stałe było to: 1 − 2
2
2
2
an − a n + a n = 0
(−2 2
2
b + a n + abn + b k )1
2
→ min
k
2
a ( 2
n − n)− 2 an +1 = 0
∆ = 4 n 2 − 4( n 2 − n)= 4 n
∆ = 2 n
2 − 2
−
2 −
1
a
1 =
( n n =
=
=
2 n 2 − n)
n
n
n( n − )
1
( n n
n 2 − n)( n + n ) n + n 2 + 2
+
2 −
1
a
2 =
( n n =
=
=
2 n 2 − n)
n
n
n 2 − n
( n n
n 2 − n)( n − n ) n − n kb 2 + (2 an − 2 b
) + a 2 n → min
b
b
= −
min
2 a
n
1 −
2 − 2 an
1 − an
n +
b =
=
=
n =
n
=
1
2 k
k
k
( n+ n) k k( 1 n+ )1
n
1 − n − n
−
1
b =
=
= −
2
( n
k
n − n ) k
( n − )1 k
(
1
2
1
a , b : f c
elu
2
1
1 )
n
n
= ( n + ) +2
−
+
=
n
1
+ n
( n + )
1 k
(
2
n +
) A
n
(
1
2 n
1
n
a , b
: B =
−
− 2
+
2
2 )
( n − )21 n− n ( n − )1 k ( n− n)2
PORÓWNUJEMY:
1
2 n
n
1
2
1
k − 2 + k
(
2 k − )
1
A = ( n + ) −
+
=
−
+
=
=
2
1
( n+ n) k( n + )1 ( n+ n)2 ( n + )21 ( n + )21 k ( n + )21 ( n + )21 k k( n + )21
1
2 n
n
1
2
1
k − 2 + k
(
2 k − )
1
B = ( n − ) −
+
=
−
+
=
=
2
1
( n− n) k( n − )1 ( n− n)2 ( n − )21 ( n − )21 k ( n − )21 k( n − )21 k( n − )21
A < B → ODP = ( a , b 1
1 ) =
Zadanie 5
n
=
θ
L
∏
θ +1
X i
ln L = n ln θ − θ
( + )
1 ∑ ln X
i
∂ = n −∑
n
ln X
θˆ
0
i =
→ =
∂ θ θ
∑ln Xi
t
t
e
e
1
P(ln X < t) = P( X < t e ) = ∫ θ
= −
= 1− − tθ
e
≅ wykl θ
( )
θ +1
θ
x
x
1
1
∑ln X
i ≅ Γ( ,
n θ)
≅Γ}
(20, θ )
d
θ
d
1
d
ˆ
d
1. P θ <
θ = P
<
= P <
= P
X
<
= ,
0 025
20
ˆ
θ
20
ˆ
θ
20
θ
θ
c
θ
c
ˆ
c
2. P θ >
θ = P
>
= ... = P X > = , 0 025
20
ˆ
θ
20
θ
≅ χ 2 (40)
d
4
6 4
78
θ
20
d
20
19
2 d
19
− x
1.∫ θ
19 − x
θ
x e
= θ
x = t = ∫ θ
t
− t
e dt = = x
t
=
,
0 025
20
∫ x e 2 dx =
1 !
9
1 !
9 θ
20
2
2
0
0
0
∞
2. analogicznie = ∫ χ 2 (40) dx = , 0 025
2 c
Z tego: 2d=24,433, 2c=59,342
d
2 ,
4 433
c
59 3
, 42
Z tego:
=
≈ ,
0 61 ,
1
=
≈ ,1484
20
40
20
40
Zadanie 6
(∑ X 2, X - dostateczna, zupełna i
∑ i )
wiadomo: ˆ µ : ENW ( 2
µ
= X
2
) 2
E( X )
2
2
σ
2
=
+ µ
n
2
∑ X − X
ˆ µ
i
: ENMW ( 2
µ
= X −
bo od statystyki dostatecznej i zupełnej
1
) 2
(
)
n( n − )
1
oraz
2
E ˆ µ = µ
1
2
σ
X ≅ N µ;
n
∑( Xi − X )2 ≅
2
2
χ ( n −
)
1 b
o
∑
i
X
X
2
(Xi − ) n zl
σ
∑( Xi − X )2
∑( Xi − X )2
WIEMY: E ˆ µ = E ˆ µ − E
, var ˆ µ = var ˆ µ + var
1
2
1
2
n( n − )
1
n( n − )
1
= Eˆ µ − 2 µ Eˆ µ + µ
1
]22
2
2
4
1
1
E[ˆ µ − µ
= Eˆ µ − 2 µ Eˆ µ + µ
2
]22
2
2
4
2
2
ODP =
2
ˆ µ
E
2 µ
ˆ µ
E
µ
ˆ µ
E
2 µ
ˆ µ
E
µ
var ˆ µ
ˆ µ
E
2 µ
ˆ µ
E
var ˆ µ
ˆ µ
E
2 µ
ˆ µ
E
2 −
2
+ 4
2
−
2
1 +
2
− 4
1
=
2 + (
)2
2
−
2
2 −
1 − (
)2
1
+
2
1 =
X
X
X
X
2
2
∑
2
i
2
∑
2
=
i
var ˆ µ
µ
E
µ
µ
E
µ
µ
E
µ
E
E
2 + (
ˆ 2 )
( − )
− 2
ˆ 2 − var ˆ2 − var
− ( ˆ2 )
( − )
+ 2 ˆ2
−
n( n − )
1
n( n − )
1
∑(
2
X i − X )2
2
X
X
2
∑( i − )
2
2
2
− E
+
σ χ ( n
)
1
σ
2 µ
ˆ µ
E
E
ˆ µ
E
var
2 ˆ µ
E
E
χ
2 −
= ( 2 )
2
−
2
−
+
2
n( n − )
1
n( n − )
1
n( n − )
1
n( n − )
1
2
2
2
4
2
2
σ
2
2
σ
2
σ
σ
2
− E
χ
−
σ
2 µ E
χ
= −
(
2 n − )
1 + 2
+ µ
( n − )
1 −
2
2
n( n − )
1
n( n − )
1
n ( n − )
1
n
n( n − )
1
σ 4
2 µ 2
2
σ 2 ( n − )
1
2 σ 4
( σ 2 + nµ 2) 2 4
2
2
−
2
( n − )
1
−
= −
+
σ
2
− σ − µ σ =
n 2 ( n − 2
)
1
n( n − )
1
n 2 ( n − )
1
n 2
n 2
n
(2 4 σ +2 2 2
nµ σ )( n − )
1 − 2 4
σ − 4
σ ( n − )
1 − 2 2 2
µ σ n( n −
=
)
1 =
2
n ( n − )
1
2 4
σ n − 2 4
σ + 2 2 2 2
n µ σ − 2
2
2
nµ σ − 2 4
σ − 4
σ n + 4
σ − 2 2 2 2
µ σ n +
2
2
=
2 µ σ n =
2
n ( n − )
1
4
σ n − 3 4
4
σ
σ ( n − )
3
=
=
2
n ( n − )
1
2
n ( n − )
1
Zadanie 7
2
2
40
∑( Xi− )1
∑( iY− )1
1
−
−
1
e
2
e
8
20
2Π
2
P
0
> t =
2
2
40
∑ Xi
∑ iY
1
−
−
1
2
8
e
e
20
2Π 2
≅ N (−12, ;
5 25)
∑
6
4
4
4
4
4
7
4
4
4
4
4
8
X i −10 0,25∑ Yi −2,5
= P e
e
0
> t = P 0∑ X 10 , 0 25
5
,
2
ln
i −
+
∑ Yi −
> t =
ln t + 12 5
,
ln t + 12 5
,
= P X >
= ,
0 01 →
= 3
,
2 3 → ln t = 5 ⋅ 3
,
2 3 −12 5
, = − 8
,
0 5
5
5
≈ 2
− ,67
≅ N 1
( 2, ;
5 25)
6
4
4
4
4
4
7
4
4
4
4
4
8
6 4
47 4
48
− 8
,
0 5 −12 5
,
P( BII ) = P ∑ X
i − 10 +
,
0 25∑ Yi − 5
,
2
< − 8
,
0 5
= P X <
≈ ,
0 004
1
5
var T
( + S) = 4 EZ 2 g
dzi
e Z = X + Y
2
EZ
= var Z + ( EZ)2 = var X + var Y + ( EX + EY )2 = 1+ 4 + 1
( + 2)2 = 14
var( T + S) = 4 ⋅14 = 56
var T = 4
2
EX
= 4 ⋅ 2 = 8
var S = 4
2
EY
= 4 ⋅8 = 32
56 − 8 − 32
var( T + S) = var T + var S + 2 cov( T , S) → cov( T , S) =
= 8
2
8
8
1
ODP =
=
=
8 32
2 2 ⋅ 4 2
2
Zadanie 9
X ≅ J( )
1
,
0
m
in( X ,..., X
min
1 ,...,
1
n )
X
X
=
n
θ
θ
θ
P(2 X ≤ θ ≤ 2 X − =
≤ 2 − −
≤ 2
= 1 ≤ 2 − − 1 ≤ 2 ≅
1
n 1 )
P( θ
X n 1 ) P( θ
X 1 ) P(
Yn 1 ) P(
Y 1 ) Y
dla jednostajny
i
Y ≅ B( k, n + 1 − k) k
Γ( n + )
1
n 1
Y ≅ B ,
1
( n) ≅
1
(
x) −
−
1
Γ )
1
( Γ( n)
Γ( n + )
1
Y − ≅ B( n − ,
1 2)
n−2
≅
x
1
( − x)
n 1
Γ(2)Γ( n − )
1
P(
1
n
n
n
n
n 1
Y
5
,
0
( n
)
1 nx
1
(
x)
x
n
x ( n
)
1
n
( n
)
1
n 1 ≥
) = ∫ −
−
1
2
1
−
−
= [ − −
− ]
−
= − − −
+
0,5
n−1
2
2 n
0,5
P(
1
0,5
Y ≥ 5
,
0 ) = ∫ n 1
( −
n−1
n
n
1
x)
nt
t
1
= ∫
−1 = [ ]0,5
0
= 2 n
0,5
0
n
n −1
1
2 n − n + 1 + 1
n + 2
P = n − ( n − )
1 −
+
−
= 1−
= 1−
> 9
,
0
2 n 1
−
2 n
2 n
2 n
2 n
n + 2 < 1,
0 → malejące dla n większego lub równego 3
2 n
sprawdzamy:
dla n=3 0,625
dla n=4 0,375
dla n=5 0,218
dla n=6 0,125
dla n=7 0,07
czyli ODP=7
E( X X
P X
X
P X
X
P X
X
P X
X
n
n+
= ⋅
n =
n+ =
+
n =
n+ =
+
n =
n+ =
+
n =
n+ =
1 )
1
(
,
1
1
)1 2 (
,
1
2
1
) 2 (
,
2
1
)1 4 (
,
2
2
1
)
P( X
X
P X
n = ,
1
n+ =
=
n =
1
)1 (
)1
1 4
P( X
X
P X
n = ,
1
n+ =
=
n =
1
) 3
2
(
)1
4
P( X
X
P X
n =
,
2
n+ =
=
n =
1
)1 (
)1
2 2
P( X
X
P X
n =
,
2
n+ = 2 =
n =
1
) (
)1
2 2
E( X X
P X
P X
P X
P X
P X
P X
n
n+ )
1
=
n =
+
n =
+
n =
+
n =
=
n =
+
n =
1
(
) 3
1
(
)1 (
2) 2 (
) 7
2
(
)1 3 (
2)
4
2
4
rozkład stacjonarny:
1
1
3
1
Π1 + Π2 = Π1
Π1 = Π
Π
2
1 + Π 2 = 1
Π1 = 2
4
2
→ 4
2
→
3
5
→
5
3
1
3
Π1 + Π1 =
Π1 = 1
Π1 + Π2 = Π2
Π2 = Π
3
1
2
2
Π 2 =
4
2
2
5
+
lim E( X X
n
n+
=
+ ⋅ =
+ =
=
=
1 )
7 2
3
14
9
14
36
50
5
3
n→∞
4 5
5
20
5
20
20
2