Egzamin dla Aktuariuszy z 28 lutego 1998 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

 4

 4 10

  ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅   ⋅ 2

 ⋅ 2

P(

 

 





A ∩ A ∩ A =

1

2

3 )

2

2

5

 20



 ⋅ 2

10 

6 14

2

2

  



P(

  



A

=

2 )

3

7

 20



 ⋅ 2

10 

 4

14

2

  ⋅ 2

 ⋅ 2

P(

 





A ∩ A

=

1

2 )

2

7

 20



 ⋅ 2

10 

6  4 10

2

2

2

    



P(

    



A ∩ A

=

3

2 )

3

2

5

 202





10 



2

4 10  20

 4 

 14  20 6 

 4 

 10  20

  

1 

6









 

8

 

2









 

8

2

 2 5  10 

 2 

 7  10  3 

 2 

 5  10 

=

 20 

 6 

 14

 20 6 

 14 

 20 6 14











4



2

 

4









 

2

 

4



10 

 3 

 7 

10  3 

 7 

 10  3 7 

2

 4 10162

  



 2 5 

16

P =

=

..... = L → ( )

A

6 

 14

4

8 ⋅ 8 





3 

 7 

Zadanie 2

E(

1

x

1

x

X X

E X

X

X

P( N

k )

k

xdx

x

1

x

n

0 )

∞

∞ 1

∞

= ∑ ( N N > 0 )

=

= ∑ ∫

= ∑ −1

0

( − 0 ) + 0

+

=

0

k =

2

2

1

k =1 x

k =1

0

EX

N = EE ( X

X

N

= +

0 )

1

1

2

4

1

1

1

1

1

1

ODP =

+ − EX = + − =

0

2

4

2

4

2

4

Zadanie 3

Tu jest chyba błąd: wychodzi Be(0,5;0,5) Π



2



1

2



u



P

≤ t =

4



rd d

φ r

2

2



∫ ∫

=

 u + v



Π

0 arccos t

bo:

u = r cos φ

= r

v = r sin φ

 Π 

φ ∈  ;

0

,

 r ∈ ( )

1

,

0



2 

cos2 φ ≤ t

cos φ ≤ t



Π 

φ ∈ arccos t ;





2 

1

= ∫ 4  Π



2  Π



2

r

− arccos t  =



− arccos t  = 1− arccos t Π  2



Π  2



Π

0

1 − 1

2

1

1

1

1

1

 1 

f ′

−

( t) =

=

1

( − t) 2

2

t

≅ Be(

)

5

,

0

;

5

,

0

b

o Γ

  = Π

Π 1− t 2 t Π

 2 

Zadanie 4

k – liczba sukcesów

k+4 – liczba porażek

n=2k+4

k

k +4

 2 k + 4 

 1   2 

p

L

k =

=

   





 k



 3   3 

k 1

+

k +5

k +4

p

(2

k +

k + )

6 !

 1 

 2 

k!( k + )

4 !



k

3 

2 (2 k + )

5 (2 k + )

6

1 =

 

 

3  

=

> 1

p

( k

k

+ )

1 !( k + )

5 ! 3 

 3 

(2 k + )

4 !

 2 

9 ( k + )

5 ( k + )

1

4 2

k + 22 k + 30

9

>

2

k + 6 k + 5

2

8 2

k + 44 k + 60 − 9 2

k − 54 k − 45 > 2( 2

k + 6 k + )

0

5

2

− k −10 k +15 > 0 ∆ l icznika = 160

2( k + )

5 ( k + )

1

− 160 −10

A =

2

160 −10

B =

2

pk 1

+ > d

1

o ≈ 1,32 → max d

la k

= 2

pk

n = 2 ⋅ 2 + 4 = 8

Zadanie 5

Można ograniczyć się do testu NM

2

2





1 



1 





 xi − µ+ 

 yi − µ− 



2 n



2 



2

 



1



−

−



2

2

 

 ∏ e

∏ e



 2

P

Π 

> t  =

2



n

( xi− µ)2

( yi− µ)

,

0 05

2



 1 

−

−

2

2







e

e



∏

∏

 2



Π 







...

 n







≅ N  0;





 2 



 6 4

4 7 4

4 8



 ∑ y − ∑ x

i

i

1



n

1

P

− n > ln t = , 0 05 → ln t = ,

1 64

− n

H 



0

2

4

2

4













 1



n 



≅ N n;





 4 2 



 6

4

4

4

7

4

4

4

8



 ∑ yi − ∑ xi

1

n

1 

moc: P

H

− n > ,

1 64

− n > 9

,

0 5





1

2

4

2

4













n

1

,

1 64

− n

2

2

< − ,

1 64

n

2

1 n 2

2 n

,

1 64 −

< − ,

1 64 →

> ,

3 28 → 2 n > 5

,

6 6 → 2 n > 4 ,

3 03 → n ≥ 21 5

, 1 → n ≥ 22

2

n

2

Zadanie 6

1

−

−

1

1

−

P(− ln X ≤ t) = P(ln X ≥ − t) = P(

t

X ≥ e )

θ

= ∫ x

θ

= [ θ

x ]

θ

t

− t = 1 − e

e

−

e t

f ( t) = θe− tθ ≅ wykl( θ)

− ∑ln X

;

5

(

)

i ≅ Γ

θ = S

c



c 



c 

θ θ 5

P θ <

 = P( Sθ < c) = P S ≤  = ∫

4 − x

θ

x e

=



S 



θ 

24

0

u = 4

∫

x

4 −

x e θx =

...

u′ = 4 3

x ...

....

....

4

3

2





=

−

c

c

c

1 − e c 

+

+

+ c +1 = ,

0 05

 24

6

2



9

,

3 4

po wstawieniu wychodzi c ≈

2



c 



c 

18,31

tak samo P( θ > θ ) = P S >  = 1− P S ≤  i wychodz

i



θ 



θ 

2

Zadanie 7

E( X

...

...

1 +

+ X Y

5

)+ E( X 6 + + X Y

15

)= Y

1

E( X + ... + X Y =

+ +

→ +

= →

+ +

=

6

15

) 2 E( X ... X Y

1

5

) X 2 X Y E( X ... X Y

1

5

) Y

3

1

2

ODP = E( X + ... + X Y +

+ +

−

+ +

= +

−

=

+

1

15

) E( X ... X Y

16

20

) E( X ... X Y

1

5

) Y 5 µ Y Y 5 µ

3

3

Zadanie 8

P( f ( X

P f X

n+ ) = )

1 =

n

= ⋅

1

( ( ) 2) 5,

0

P( f ( X

P f X

P f X

n+ ) = 2 =

n

= +

n

= ⋅

1

) ( ( ) )1 ( ( ) 2) 5,

0

E( f ( X

f X

P f X

P f X

P f X

n ) ⋅

( n+ ) = 2

n

= +

n

= ⋅

+

n

= ⋅

1

( ( ( ) )1 ( ( ) 2) 5,

0 ) 4 ( (

) 2) 5,

0

Ef ( X

P f X

P f X

n ) =

( ( n ) = )1+ 2 ( ( n ) = 2) Ef ( X

P f X

P f X

n+

=

n+

= +

n+

=

1 )

( ( 1) )1 2 ( ( 1) 2)

co [

v f ( X

f X

P f X

P f X

P f X

P f X

n ),

( n+1)]= 2 ( ( n ) = )1+ 3 ( ( n) = 2)−[ ( ( n) = )1+ 2 ( ( n ) = 2)]⋅

⋅[ 5

,

0 P( f ( X

P f X

P f X

n ) = 2) + 2

( ( n ) = )1+ ( ( n ) = 2)]

[

 0

1 

Π ,Π 

 = Π , Π

1

2 ]

[ 1 2]

 5

,

0

5

,

0 



Π

5

,

0

Π + Π = 1

2 = Π



1

1

2

Π

5

,

0

5

,

0 Π + Π = 1

1 +

Π2 = Π2

2

2

Π2 = 2



3



1

Π1 =



3

lim cov = 2Π

1 +

Π

3 2 − (Π1 + 2Π 2 )( Π

5

,

1

2 + 2Π1 )

1

2

 1

2 

 3 2

1 

= 2 ⋅ + 3⋅ −  + 2 ⋅ 



+ 2 ⋅  =

n→∞

3

3

 3

3 

 2 3

3 

2

5 5

6 + 18 − 25

1

= + 2 −

=

= −

3

3 3

9

9

Zadanie 9

∞

x−

− c

EX = ∫ x

µ

e

= c + µ

µ

c

t − c

− n

n

µ

P(min ≤ t) = 1 − P ( X ≥ t) = 1 − e t − c

− n

n

µ

µ

f

t

( )

przesunięty wykładniczy → E min = c +

min

= e

µ

n

E∑ X

i = n( c + µ) n( c + µ) n

nc + µ

n − 1

( )

A

−

=

µ = µ → ( )

A

n −1

n −1

n

n − 1

Zadanie 10

E(

n

n

c X

...

2

2

1

1 +

+ c X

µ 2

E

c 2 X 2

c c X X

µ

c X

µ 2

n

n −

)





= ∑ i i + ∑ i j i j − ∑ i i +  =

 i=1

i< j

i=1



n

= 2∑ c c µ 2

c 2 γ 2 µ 2

µ 2

2 µ

c µ

µ 2

2 µ 2

c c

γ 2 µ 2

µ 2

c 2

2 µ 2

c

µ 2

i

j

+ ∑ i (

+

)− ∑ i + = ∑ i j +( + )∑ i − ∑ i +

i< j

i=1

i< j

∂ =2 µ 2∑ c 2 γ 2 µ 2 µ 2 c 2 µ 2 0

j +

( + ) i − =

∂ ci

j≠ i

1 s

. uma p

o i

2

:

2

µ ( n − )

1 ∑ c

i + 2( 2

2

γ µ + 2

µ )∑ ci − 2 2

nµ = 0

2

2

nµ

nµ

n

2 ∑

.

c

i =

2

2

2

2 µ ( n − )

1 + 2( 2 2

γ µ + 2

µ ) =

=

2

2 µ n +

2

2

2 γ µ

n + 2

γ

Z 1.

2

2 µ (∑ c − c +

+

=

i

i )

2( 2 2

2

γ µ

µ )

2

c

2 µ

i

2

2 µ (1− ∑ c

− ∑

i )

2

z

i

1

ci

1

c =

=

− czyli c

r

owne → c =

to daje min, można sprawdzić

i

i

2

2

2

i

2

2 γ µ

γ

n + γ