Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie«stwa 2, 14 XII 2007

1. W urnie I znajduj¡ si¦ dwie kule biaªe i jedna czarna, a w urnie II -

dwie biaªe i dwie czarne. Losujemy 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny I

i 120 razy ze zwracaniem po 1 kuli z urny II. Losowania s¡ niezale»ne. Niech
N

I

, N

II

oznaczaj¡ liczby kul biaªych wyci¡gni¦tych z urn I, II, odpowiednio.

Obliczy¢ przybli»one prawdopodobie«stwo tego, »e N

I

> N

II

+ 30

.

2. Dane s¡ dwa ci¡gi (X

n

)

, (Y

n

)

zmiennych losowych, przy czym dla

ka»dego n ≥ 1 zmienne X

n

i Y

n

s¡ niezale»ne, X

n

ma rozkªad jednostajny na

odcinku (−1/

√

n, 1/

√

n)

, a Y

n

ma rozkªad normalny o ±redniej 1 i wariancji

n

. Udowodni¢, »e ci¡g (X

n

Y

n

)

jest zbie»ny wedªug rozkªadu.

3. Udowodni¢, »e funkcja ϕ(t) = |

1
3

+

2
3

cos t|

nie jest funkcj¡ charaktery-

styczn¡ zmiennej losowej.

4. Dany jest ci¡g (X

n

)

, zbie»ny wedªug rozkªadu do X, speªniaj¡cy wa-

runek sup

n

E exp(aX

2

n

) < ∞

dla pewnego a > 0. Udowodni¢, »e dla dowolnej

liczby α ∈ R zachodzi

lim

n→∞

E exp(αX

n

) = E exp(αX).

5. Dany jest ci¡g (X

n

)

niezale»nych zmiennych losowych, przy czym dla

n ≥ 1

zmienna X

n

ma rozkªad z g¦sto±ci¡

g

n

(x) =

|x|

n

2

· 1

[−n,n]

(x).

Czy ci¡g

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

n

√

n

jest zbie»ny wedªug rozkªadu? Je±li tak, poda¢ rozkªad graniczny.