Kolokwium z Rachunku Prawdopodobie´

nstwa II, 30.XI.2004

1. Dane s a dwa ci agi ( Xn), ( Yn) zmiennych losowych, przy czym dla każdego n zmienna Xn jest niezależna od Yn. Dla n ≥ 1 zmienna Xn ma rozklad jednostajny na zbiorze [ −n, 0] ∪ [ n, 2 n 2], a Yn ma rozklad k

P

1

1

( Yn =

) =

, k = 1 , 2 , . . . , 2 n, P( Yn = − 1

.

4 n

2 n+1

n) = 2

Udowodnić, że ci ag Xn

n 2 + Yn jest zbieżny wedlug rozkladu i wyznaczyć rozklad graniczny.

2. Rzucamy symetryczn a kostk a do gry i sumujemy wyniki z parzyst a liczb a oczek aż do momentu gdy suma ta przekroczy 200. Jakie jest praw-dopodobieństwo tego, że b edziemy rzucać wi ecej niż 120 razy?

3. Dany jest ci ag ( Xn) niezależnych zmiennych losowych o rozkladzie P ( Xn = ± 1

− 1

n ) = 12

2 n , P ( Xn = 0) = 1 n , n = 1 , 2 , . . . Czy ten ci

ag spelnia

warunek Lindeberga?

4. Dany jest ci ag ( Xn) niezależnych zmiennych losowych o tym samym symetrycznym rozkladzie oraz zmienna N o rozkladzie Poissona z parame-trem 1, niezależna od zmiennych ( Xn). Określmy N

S =

Xk, S = 0 , gdy N = 0 .

k=1

Udowodnić, że S nie ma rozkladu wykladniczego.

5. Dany jest ci ag ( Xn) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1 zmienna Xn ma rozklad jednostajny na odcinku [ − 2 n, 2 n]. Rozstrzygn ać, czy ci ag X 1 + X 2 + . . . + Xn

√n

jest zbieżny wedlug rozkladu, a jeśli tak, to wyznaczyć rozklad graniczny.

6. Dany jest ci ag ( Xn) niezależnych scentrowanych zmiennych losowych o tym samym rozkladzie o skończonym drugim momencie. Udowodnić, że jeśli P ( X 1 = 0) < 1, to

|X 1 |

|X 2 |

|Xn|

lim P

+

+ . . . +

≤ 100 = 0 .

n→∞

1 + X 22

1 + X 23

1 + X 2 n− 1

7. Dane s a dwa ci agi ( Xn), ( Yn) zmiennych losowych, przy czym dla każdego n ≥ 1 Xn jest niezależne od Yn. Rozstrzygn ać, czy z tego, że ci ag Xn jest zbieżny wedlug rozkladu do X oraz ci ag Yn zbiega prawie na pewno do Y , wynika, iż Xn · Yn zbiega wedlug rozkladu do X · Y .