Rachunek ró˙zniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych

Przestrze ´

n R

k

B˛edziemy rozpatrywali funkcje wielu zmiennych postaci

f : R

k

→ R,

(x

1

, x

2

, . . . , x

k

)

→ f(x

1

, x

2

, . . . , x

k

)

Rozpoczniemy od omówienia podstawowych własno´sci przestrzeni R

k

. Pami˛eta-

my, ˙ze szczególny przypadek k = 2 odpowiada płaszczy´znie R

2

, natomiast k = 3

— przestrzeni trójwymiarowej R

3

. Niech b˛ed ˛

a dane elementy przestrzeni R

k

po-

staci

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

),

y = (y

1

, y

2

, . . . , y

k

)

Struktur˛e przestrzeni liniowej (przestrzeni wektorowej) w R

k

zadaj ˛

a nast˛epuj ˛

a-

ce zwi ˛

azki definiuj ˛

ace sum˛e wektorów x i y oraz iloczyn wektora przez liczb˛e

rzeczywist ˛

a (skalar) λ

x + y = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, . . . , x

k

+ y

k

)

λx = (λx

1

, λx

2

, . . . , λx

k

)

Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsze wzory s ˛

a k-wymiarowym uogólnieniem dobrze znanych

ze szkoły ´sredniej wzorów na dodawanie wektorów x = [x

1

, x

2

] oraz y = [y

1

, y

2

]

z R

2

i mno˙zenie wektora przez liczb˛e rzeczywist ˛

a λ

x + y = [x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

],

λx = [λx

1

, λx

2

]

gdzie wektor o okre´slonych współrz˛ednych zapisywany jest za pomoc ˛

a nawiasów

kwadratowych, a nie jak w przyj˛etej przez nas konwencji przy u˙zyciu nawiasów
okr ˛

agłych.

Baza kanoniczna e

i

, i = 1, 2, . . . , k w R

k

zdefiniowana jest nast˛epuj ˛

aco

e

i

= (0, 0, . . . , 0, 1

i

, 0, . . . 0),

i = 1, 2, . . . , k

gdzie 1 znajduje si˛e na i-tym miejscu (wszystkie pozostałe współrz˛edne s ˛

a równe

0). Baza kanoniczna jest naturalnym k-wymiarowym uogólnieniem znanego Pa´n-
stwu układu wersorów osi współrz˛ednych. W przypadku płaszczyzny R

2

i układu

współrz˛ednych xy, e

1

= (1, 0) i e

2

= (0, 1). W przypadku R

3

i układu współ-

rz˛ednych xyz mamy e

1

= (1, 0, 0), e

2

= (0, 1, 0) oraz e

3

= (0, 0, 1). Wykorzy-

stuj ˛

ac reguły dodawania wektorów w R

k

i mno˙zenia ich przez liczby mo˙zemy

zapisa´c dowolny wektor za pomoc ˛

a wektorów bazy kanonicznej nast˛epuj ˛

aco

(x

1

, x

2

, . . . , x

k

) = x

1

(1, 0, . . . , 0) + x

2

(0, 1, . . . , 0) + . . . + x

k

(0, 0, . . . , 1)

czyli w zapisie wektorowym przyjmuj ˛

ac x = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

)

x = x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ . . . x

k

e

k

Wykorzystuj ˛

ac symbol sumy sko´nczonej mo˙zemy powy˙zszy wzór zapisa´c w pro-

stej postaci

x =

k

∑

i=1

x

i

e

i

gdzie współczynniki x

i

, i = 1, . . . , k s ˛

a nazywane współrz˛ednymi wektora x w

bazie e

i

, i = 1, . . . , k.

Struktura przestrzeni wektorowej z okre´slonym dodawaniem wektorów i mno-

˙zeniem ich przez liczby jest zbyt uboga dla uogólnienia analizy matematycznej

na przypadek funkcji wielu zmiennych. Rzeczywi´scie nie daje ona mo˙zliwo´sci
zdefiniowania blisko´sci elementów niezb˛ednej dla wprowadzenia poj˛e´c takich jak
granica funkcji. Okazuje si˛e, ˙ze naturalne wielowymiarowe uogólnienie zwi ˛

azku

postaci

|x−y| okre´slaj ˛acego w jednowymiarowym przypadku odległo´s´c liczb rze-

czywistych x i y, otrzymamy wprowadzaj ˛

ac w R

k

iloczyn skalarny. Definiujemy

iloczyn skalarny wektorów x = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) i y = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) z R

k

w

nast˛epuj ˛

acy sposób

x

· y = x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ . . . x

k

y

k

Zwi ˛

azek ten zapisany za pomoc ˛

a sumy sko´nczonej przyjmuje posta´c

x

· y =

k

∑

i=1

x

i

y

i

Wprost z definicji bazy kanonicznej otrzymujemy

e

i

· e

j

= δ

ij

,

i, j = 1, . . . , k

gdzie δ

ij

jest symbolem Kroneckera. Baza spełniaj ˛

aca powy˙zsze relacje jest na-

zywana baz ˛

a ortonormaln ˛

a.

Iloczyn skalarny ma nastepuj ˛

ace własno´sci

1)

x

· y = y · x

2)

x

· (y + z) = x · y + x · z

3)

x

· λy = λx · y

4)

x

· x > 0 oraz x · x = 0 ⇔ x = 0

gdzie w ostatniej równo´sci 0 oznacza wektor zerowy (wszystkie współrz˛edne ta-
kiego wektora s ˛

a równe zero). Przestrze´n R

k

z iloczynem skalarnym spełniaj ˛

a-

cym powy˙zsze zwi ˛

azki jest przykładem sko´nczenie wymiarowej przestrzeni Hil-

berta. Zadanie. Pokaza´c, ˙ze współczynniki x

i

rozwini˛ecia wektora x w bazie e

i

,

i = 1, . . . , k s ˛

a równe x

i

= x

· e

i

.

Wykorzystuj ˛

ac własno´sci iloczynu skalarnego łatwo otrzymujemy tzw. nie-

równo´s´c Schwarza

(x

· y)

2

6 x

2

y

2

gdzie x

2

≡ x · x i y

2

≡ y · y.

Dowód. Mamy dla dowolnego λ

∈ R

(x + λy)

· (x + λy) > 0

St ˛

ad

x

2

+ 2λx

· y + λ

2

y

2

> 0

Teraz, dla y = 0 nierówno´s´c Schwarza jest oczywista. Podstawiaj ˛

ac w przypadku

y

̸= 0

λ =

−

x

· y

y

2

otrzymujemy nierówno´s´c Schwarza, co ko´nczy dowód.

Wykorzystuj ˛

ac iloczyn skalarny mo˙zemy w naturalny sposób okre´sli´c długo´s´c

wektora x

∈ R

k

. Mianowicie

|x| :=

√

x

· x =

√

x

2

=

√

x

2

1

+ x

2

2

+ . . . + x

2
k

Zadanie. Rozwa˙zy´c wektory na płaszczy´znie x = (x

1

, x

2

) i y = (y

1

, y

2

), zacze-

pione w pocz ˛

atku układu współrz˛ednych. Pokaza´c, ˙ze x

· y = |x||y| cos α, gdzie

α jest k ˛

atem pomi˛edzy wektorami x i y.

Zauwa˙zmy, ˙ze wykorzystuj ˛

ac definicj˛e długo´sci wektora mo˙zemy zapisa´c nie-

równo´s´c Schwarza w nast˛epuj ˛

acej postaci

|x · y| 6 |x||y|

Nierówno´s´c ta jest oczywista w przypadku znanej Pa´nstwu ze szkoły ´sredniej de-
finicji iloczynu skalarnego x

·y = |x|y| cos α. Wystarczy uwzgl˛edni´c nierówno´s´c

| cos α| 6 1.

Długo´s´c wektora czyli tzw. norma wektora ma nast˛epuj ˛

ace własno´sci

1)

|λx| = |λ||x|

2)

|x + y| 6 |x| + |y|,

(nierówno´s´c tójk ˛

ata)

3)

|x| = 0 ⇔ x = 0

Zadanie. Pokaza´c, ˙ze z powy˙zszych warunków wynika nierówno´s´c

|x| > 0 dla

dowolnego x

∈ R

k

. Przestrze´n wektorowa V z funkcj ˛

a

| · | : V → R, spełnia-

j ˛

ac ˛

a powy˙zsze warunki (norm ˛

a) nazywamy przestrzeni ˛

a unormowan ˛

a. Przestrze´n

R

k

z norm ˛

a

|x| =

√

x

2

, nazywamy k-wymiarow ˛

a rzeczywist ˛

a przestrzeni ˛

a eu-

klidesow ˛

a. Za pomoc ˛

a długo´sci (normy) wektora mo˙zemy zdefiniowa´c odległo´s´c

d(x, y) punktów w R

k

nast˛epuj ˛

aco

d(x, y) =

|x − y|

St ˛

ad dla x = (x

1

, . . . , x

k

) oraz y = (y

1

, . . . , y

k

)

d(x, y) =

√

(x

− y)

2

=

√

(x

1

− y

1

)

2

+ . . . + (x

k

− y

k

)

2

Jak nietrudno zauwa˙zy´c w jednowymiarowym przypadku powy˙zszy zwi ˛

azek re-

dukuje si˛e do

d(x, y) =

√

(x

− y)

2

=

|x − y|

Operator liniowy

Odwzorowanie L : R

k

→ R

s

nazywamy operatorem liniowym, je˙zeli spełnia ono

nast˛epuj ˛

ace warunki

L(x + y) = Lx + Ly

(addytywno´s´c)

L(λx) = λLx

(jednorodno´s´c)

W szczególnym przypadku s = 1, tzn. kiedy L : R

k

→ R odwzorowanie L

nazywamy funkcjonałem liniowym.

Przykład

Odwzorowanie L : R

k

→ R

k

zdefinowane nast˛epuj ˛

aco

Lx = (a

· x)b

jest odzorowaniem liniowym. Mamy bowiem wykorzystuj ˛

ac własno´sci 2) i 3) ilo-

czynu skalarnego

L(x + y) =[a

· (x + y)]b = (a · x + a · y)b = (a · x)b + (a · y)b

=Lx + Ly

L(λx) =(a

· λx)b = (λa · x)b = λ(a · x)b = λLx

Analogicznie odwzorowanie L : R

k

→ R postaci

Lx = a

· x

jest funkcjonałem liniowym. Wynika to natychmiast z własno´sci 2) i 3) iloczynu
skalarnego. Mianowicie

L(x + y) =a

· (x + y) = a · x + a · y = Lx + Ly

L(λx) =a

· λx = λa · x = λLx

Zauwa˙zmy na koniec, ˙ze dowolnemu operatorowi liniowemu L : R

k

→ R

k

od-

powiada macierz kwadratowa [L

ij

]. Rzeczywi´scie, niech e

i

, i = 1, . . . , k b˛edzie

baz ˛

a ortonormaln ˛

a przestrzeni R

k

. Elementy macierzowe L

ij

operatora L zdefi-

niowane s ˛

a nast˛epuj ˛

aco

L

ij

= e

i

· Le

j

Składowe wektora Lx w bazie e

i

wyra˙zaj ˛

a si˛e przez elementy macierzowe za

pomoc ˛

a wzoru

(Lx)

i

=e

i

· Lx = e

i

· L

k

∑

j=1

x

j

e

j

= e

i

·

k

∑

j=1

L(x

j

e

j

) =

k

∑

j=1

e

i

· x

j

Le

j

=

k

∑

j=1

x

j

e

i

· Le

j

=

k

∑

j=1

L

ij

x

j

Funkcje wielu zmiennych

Jak ju˙z wspominali´smy wcze´sniej b˛edziemy zajmowali si˛e badaniem funkcji wie-
lu zmiennych (dokładniej k-zmiennych) postaci f : R

k

→ R. Funkcje takie przy-

porz ˛

adkowuj ˛

a elementowi (x

1

, . . . , x

k

)

∈ R

k

liczb˛e rzeczywist ˛

a f (x

1

, . . . , x

k

)

b ˛

ad´z równowa˙znie, wykorzystuj ˛

ac struktur˛e przestrzeni liniowej R

k

, wektorowi

x = (x

1

, . . . , x

k

) liczb˛e rzeczywist ˛

a f (x). Wypada zaznaczy´c, ˙ze zapis wektoro-

wy umo˙zliwia zwart ˛

a posta´c wielu wzorów. W przypadku jednej zmiennej u˙zy-

wali´smy litery y na oznaczenie warto´sci funkcji f (x) i pisali´smy y = f (x). W
przypadku funkcji wielu zmiennych warto´sci b˛edziemy oznaczali liter ˛

a u i pisali

u = f (x

1

, . . . , x

k

) albo w zapisie wektorowym u = f (x). W przypadku funkcji

dwóch zmiennych zamiast u = f (x

1

, x

2

) b˛edziemy stosowali zapis z = f (x, y),

co wynika ze standardowego oznaczenia osi współrz˛ednych xyz w R

3

.

W przypadku funkcji jednej zmiennej f (x) mo˙zna j ˛

a było zobrazowa´c za po-

moca wykresu tzn. punktów płaszczyzny R

2

postaci (x, f (x)). Punkty te pa-

rametryzowane s ˛

a przez jedn ˛

a zmienn ˛

a x, sk ˛

ad wynika, ˙ze wykres jest repre-

zentowany przez jednowymiarow ˛

a krzyw ˛

a. W przypadku funkcji wielu zmien-

nych f (x

1

, . . . , x

k

) odpowiednikiem wykresu jest zbiór punktów w R

k+1

po-

staci (x

1

, . . . , x

k

, f (x

1

, . . . , x

k

)). Punkty te s ˛

a parametryzowane przez k zmien-

nych x

1

, . . . , x

k

, co oznacza, ˙ze tworz ˛

a one k-wymiarowy podzbiór (tzw. hiperpo-

wierzchni˛e) przestrzeni R

k+1

. W przypadku dwóch zmiennych hiperpowierzch-

nia składa si˛e z punktów (x, y, f (x, y)) i jest dwuwymiarow ˛

a powierzchni ˛

a zanu-

rzon ˛

a w R

3

.

Przykład

Rozpatrzmy funkcj˛e dwóch zmiennych dan ˛

a wzorem

z =

√

1

− x

2

− y

2

Podnosz ˛

ac obie strony powy˙zszego równania do kwadratu widzimy, ˙ze opisuje

ono górn ˛

a połow˛e sfery o ´srodku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu równym 1 (patrz

Rysunek)

x

2

+ y

2

+ z

2

= 1

Oczywi´scie dziedzin ˛

a funkcji jest koło

x

2

+ y

2

6 1

W przypadku funkcji trzech zmiennych nie mo˙zemy co prawda zobrazowa´c opi-
sywanej przez ni ˛

a trójwymiarowej hiperpowierzchni zanurzonej w R

4

, mo˙zemy

jednak nadal przedstawi´c graficznie dziedzin˛e takiej funkcji, jako podzbioru R

3

.

Przykład

Rozpatrzmy nast˛epuj ˛

ac ˛

a funkcj˛e trzech zmiennych

u = arcsin(x

1

) + arcsin(x

2

) + arcsin(x

3

)

Poniewa˙z dziedzin ˛

a funkcji arcsin(x) jest przedział [

−1, 1], st ˛ad dziedzin ˛a dys-

kutowanej funkcji trzech zmiennych jest sze´scian [

−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1].

Granica funkcji wielu zmiennych

Przypomnijmy sobie najpierw definicj˛e Cauchy’ego granicy funkcji jednej zmien-
nej

lim

x

→a

f (x) = b

Mieli´smy

∀

ε>0

∃

δ>0

0 <

|x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε

Z poprzedniego rozdziału wiemy, ˙ze wielowymiarowym ugólnieniem odległo´sci
|x − y| liczb rzeczywistych jest norma |x − y|, st ˛ad wynika natychmiast definicja
Cachyego granicy w przypadku funkcji wielu zmiennych

lim

x

→a

f (x) = b

Mianowicie definicja ta ma posta´c

∀

ε>0

∃

δ>0

0 <

|x − a| < δ ⇒ |f(x) − b| < ε

Pami˛etamy, ˙ze dla x = (x

1

, . . . , x

k

) i a = (a

1

, . . . , a

k

) mamy

|x − a| =

√

(x

− a)

2

=

√

(x

1

− a

1

)

2

+ . . . + (x

k

− a

k

)

2

Przykład

Niech b˛edzie dana funkcja dwóch zmiennych

f (x, y) =

3x

2

y

x

2

+ y

2

Mamy

lim

(x,y)

→(0,0)

f (x, y) = 0

Rzeczywi´scie, rozpatrzmy definicj˛e Cauchy’ego tej granicy

∀

ε>0

∃

δ>0

0 <

|(x, y)| < δ ⇒ |f(x, y)| < ε

st ˛

ad, wykorzystuj ˛

ac wzór na na norm˛e wektora (x, y)

∀

ε>0

∃

δ>0

0 <

√

x

2

+ y

2

< δ

⇒ |f(x, y)| < ε

Teraz mamy

|f(x, y)| = 3

x

2

x

2

+ y

2

|y| 6 3|y| 6 3

√

x

2

+ y

2

< 3δ

Widzimy, ˙ze δ =

ε
3

. To spostrze˙zenie ko´nczy dowód.

Dysponuj ˛

ac definicj ˛

a granicy mo˙zemy oczywi´scie wprowadzi´c poj˛ecie ci ˛

agło´sci

funkcji wielu zmiennych f (x) w punkcie x

0

, w nast˛epuj ˛

acy sposób

lim

x

→x

0

f (x) = f (x

0

)

albo równowa˙znie

lim

∆x

→0

f (x

0

+ ∆x) = f (x

0

)