Łukasz Czech

26 marca 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 21

Zadanie 1 Znajdź wartości własne, wektory własne i podprzestrzenie własne dla endo-
morfizmu f :

a) f : C

3

→ C

3

, f (x, y, z) = (2ix, x + (1 + i)y, 3x + iy − iz), gdzie x, y, z ∈ C;

b) f : C

3

→ C

3

, f (x, y, z) = (−ix − 2z, y, 2x − iz), gdzie x, y, z ∈ C;

c) o macierzy








−i 0 −2

0 4

0

2 0 −i








;

d) o macierzy








i i i

1 1 1
2 2 2








.

Zadanie 2 Sprawdź czy następujące odwzorowania są wieloliniowe:

a) f : C × C → C, f (w, z) = w · z;

b) f : R

3

× R

3

→ R, f(x, y) = x

1

y

2

+ x

2

y

1

+ x

3

y

3

, gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

);

c) f : R

2

× R

2

× R

2

× R

2

→ R, f(x, y, z, t) = −x

1

y

2

z

1

t

2

, gdzie x, y, z, t ∈ R

2

;

d) f : R

3

× R

3

→ R

3

, f (a, b) = a × b;

Które z nich są symetryczne, a które antysymetryczne?

Zadanie 3 W przestrzeni R

3

dane są formy określone związkami:

a) f (x, y) = x

1

y

1

+ x

2

y

2

− x

3

y

3

,

b) f (x, y) = 3x

1

y

1

+ x

1

y

2

− 2x

2

y

3

,

c) f (x, y) = 4x

1

y

1

− 2x

1

y

2

− 2x

2

y

1

+ 8x

2

y

2

,

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

), y = (y

1

, y

2

, y

3

). Wykaż, że każda z tych form jest formą dwuliniową

oraz wyznacz macierze tych form w bazie kanonicznej. Znajdź macierze tych form w bazie
B

1

= ((1, 1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, −1)).

Zadanie 4 Niech f : R

3

×R

3

×R

3

→ R, f(u, v, w) = u

1

v

3

w

2

+ u

2

v

3

w

1

−u

2

v

1

w

3

+ u

3

v

1

w

2

−

u

3

v

2

w

1

, gdzie u = (u

1

, u

2

, u

3

), v = (v

1

, v

2

, v

3

), w = (w

1

, w

2

, w

3

). Pokaż, że f jest formą

3-liniową antysymetryczną.

Zadanie 5 Udowodnij, że forma dwuliniowa jest symetryczna (antysymetryczna) wtedy
i tylko wtedy gdy macierz tej formy jest symetryczna (antysymetryczna).