Łukasz Czech
16 kwietnia 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 22
Zadanie 1 Dana jest forma dwuliniowa f (x, y) = X
T
AY , gdzie A =
1
2 −4
2 −2 −2
−4 −2
1
jest macierzą formy f w bazie:
a) kanonicznej;
b) B
1
= ((1, 1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, −1));
c) B
2
= ((1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 0, 0)).
ponadto x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
). Zapisz f (x, y) jako wielomian st. 2-go.
Zadanie 2 Niech A =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
będzie macierzą formy dwuliniowej f : R
3
× R
3
→ R
w bazie B = ((1, −1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)). Znajdź macierz formy w bazie standardowej.
Zadanie 3 Macierz A =
2 1 4
2 1 2
1 1 2
jest macierzą formy dwuliniowej f w bazie standar-
dowej. Znajdź formę kwadratową skojarzoną z formą dwuliniową f .
Zadanie 4 W przestrzeni R
3
dane są formy kwadratowe:
a) f (x) = x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
;
b) f (x) = 2x
2
1
+ 3x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
+ x
2
2
+ x
2
3
;
c) f (x) = 2x
2
1
+ 6x
1
x
2
+ 4x
2
x
3
;
gdzie x = (x
1
, x
2
, x
3
). Znajdź odpowiadające im formy dwuliniowe oraz macierze tych
form w bazie kanonicznej.
Zadanie 5 Macierz A =
1 2 −2
2 2
4
−2 4
1
jest macierzą formy kwadratowej ϕ w bazie
standardowej.
a) Podaj dwie różne formy dwuliniowe f
1
i f
2
takie, że forma kwadratowa jest formą
skojarzoną z f
1
, f
2
.
b) Podaj formę dwuliniową symetryczną f taką, że forma ϕ jest skojarzona z formą f .