ukasz Czech
17 czerwca 2013 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 28
Zadanie 1 Niech M
2×2
oznacza przestrze« wektorow¡ macierzy kwadratowych o wymiarze
2 × 2
nad ciaªem R. Odwzorowanie f : M
2×2
→ M
2×2
speªnia warunki: f
0 2
1 1
=
f
0 1
0 1
=
1 0
1 0
, f
1 3
0 3
= f
0 0
1 0
=
0 1
0 1
. Znale¹¢ macierz tego
odwzorowania w bazie standardowej przestrzeni M
2×2
.
Zadanie 2 Sprawdzi¢, czy podane odwzorowania s¡ izomor zmami:
a) f : R[x]
3
→ R[x]
3
, (f(p))(x) = xp
0
(x + 1) − p(x + 1)
;
b) f : R[x]
3
→ R[x]
3
,
(f (w))(x) = (x
2
− x + 1)w
00
(x) + (x + 2)w
0
(x)
;
c) f : M
2×2
→ R
4
, f(A) = (2a
11
−a
22
, a
21
−3a
11
, a
22
+a
21
−a
12
−2a
11
, −a
21
+2a
12
−a
22
)
.
Zadanie 3 Obrazami wielomianów w
1
(x) = x
2
+ 1
, w
2
(x) = x + 1
, w
3
(x) = x
2
+ x
w
odwzorowaniu liniowym f : R[x]
2
→ R[x]
2
s¡ odpowiednio wielomiany: u
1
(x) = x
2
+3x+2
,
u
2
(x) = 2x
2
+ 2x
, u
3
(x) = 2x
2
+ 2x + 2
. Znale¹¢ macierz f
−1
w bazie B = (w
1
, w
2
, w
3
)
.
Zadanie 4 Sprawdzi¢, »e wektory u
1
= (i−1, −i+1)
, u
2
= (−1, 1)
, u
3
= (0, i)
, u
4
= (1, 0)
mo»na przyj¡¢ za baz¦ C
2
(R). Ponadto macierz A =
1
0
0 1
−1 −1
0 0
0
0 −1 1
1
1
0 1
jest macierz¡
odwzorowania f : C
2
(R) → C
2
(R). Znale¹¢ f (i, −i).
Zadanie 5 Znale¹¢ warto±ci i wektory wªasne oraz podprzestrzenie wªasne podanych od-
wzorowa« liniowych:
a) f : R[x]
2
→ R[x]
2
, (f(p))(x) = xp
0
(x)
;
b) f : R[x]
2
→ R[x]
2
, (f(p))(x) = 2xp
0
(x) + x
2
p(0) + p(2)
;
c) f : R[x]
3
→ R[x]
3
, (f(p))(x) = x
3
p
0
(1) + p(2x)
;
d) f : R[x]
3
→ R[x]
3
, (f(p))(x) = xp
0
(x + 1) − p(x + 1)
;
e) f : M
2×2
→ M
2×2
, f
a b
c d
=
a − b
−4c
−b
2d − a
.