1
3. Przemiany energii za pomocą pola magnetycznego w przetwornikach o
ruchu obrotowym
Bardzo waŜną grupę układów elektromechanicznych stanowią maszyny, których głównym celem
jest wytwarzanie energii elektrycznej lub wykonywanie pracy mechanicznej. Maszyny takie są
nazywane elektromechanicznymi przetwornikami energii. Największe znaczenie mają obecnie
przetworniki, które przetwarzają energię elektryczną na energię mechaniczną ruchu obrotowego lub
odwrotnie, w których przemiana energii dokonuje się za pomocą pola magnetycznego. Ich aktualna
budowa i konstrukcje ukształtowały się w wyniku ponad 100 lat rozwoju. Nie jest celem tego
opracowania szczegółowy ich opis, lecz przedstawienie ogólnych praw oraz zaleŜności rządzących
elektromechanicznymi przemianami energii dla tej klasy przetworników.
Elektromechaniczne przetworniki energii o ruchu obrotowym składają się z dwóch części, z
których jedna jest nieruchoma, a druga moŜe wykonywać nieograniczony ruch obrotowy. Części te są
rozdzielone szczeliną powietrzną. Przynajmniej na jednej z części muszą znajdować się obwody
elektryczne w postaci cewek umoŜliwiające dostarczanie lub odbiór energii elektrycznej. Na częściach
ruchomej i nieruchomej umieszczony jest magnetowód, w którym wytwarzane jest pole magnetyczne,
stanowiące medium za pomocą, którego energia jest przetwarzana. Elementy stanowiące magnetowód,
czyli obwód magnetyczny przetwornika, mają kształt współosiowych walców, których powierzchnie
od strony szczeliny powietrznej są odpowiednio ukształtowane, nadając przetwornikowi odpowiednie
właściwości. Obwód magnetyczny przetwornika wykonywany jest z materiałów o bardzo dobrych
właściwościach magnetycznych, w taki sposób, aby ograniczyć przewodność elektryczną
magnetowodu. Cewki, stanowiące uzwojenia przetwornika, wykonywane są z materiałów dobrze
przewodzących prąd, aby ograniczyć straty mocy. Cewki te umieszczone są w specjalnie
ukształtowanych Ŝłobkach biegnących równolegle do osi obrotu przetwornika. Schematycznie
ilustruje to Rys. 3.1. Bardziej szczegółowy opis obwodu magnetycznego oraz sposobu wykonania
cewek takich przetworników moŜna znaleźć w ksiąŜkach poświeconych budowie i konstrukcji maszyn
elektrycznych róŜnych typów.
Przetworniki opisane powyŜej mogą być rozpatrywane, jako układy elektromechaniczne utworzone
ze zbioru cewek umieszczonych we wspólnym obwodzie magnetycznym. Mechaniczną część
przetwornika, w najprostszym ujęciu, stanowi część obrotowa przetwornika o zadanym, stałym
momencie bezwładności, która moŜe wykonywać nieograniczony ruch obrotowy.
cewka
Rys. 3.1. Ogólna budowa elektromechanicznego przetwornika energii o ruchu obrotowym
Zgodnie z tym, co juŜ powiedziano, aby opisać przemiany energii w takich przetwornikach naleŜy
zapisać funkcję Lagrange’a. Będzie się ona składać jedynie, z koenergii, gdyŜ w samym przetworniku
nie ma kondensatorów, a w układzie mechanicznym, przy jego najprostszej reprezentacji, nie ma
elementów spręŜystych. Koenergię obrotowej części przetwornika określa funkcja
2
2
ko
J
2
1
ω
⋅
=
E
w której
ω
jest prędkością kątową a ‘J’ jest momentem bezwładności. NaleŜy jeszcze określić
koenergię zbioru cewek, które są wzajemnie sprzęŜone magnetycznie, gdyŜ są umieszczone we
wspólnym obwodzie magnetycznym. Fakt sprzęŜenia magnetycznego cewek objawia się tym, Ŝe
strumień skojarzony danej cewki (dla przypomnienia – strumień skojarzony cewki jest to suma
strumieni magnetycznych sprzęŜonych z poszczególnymi zwojami cewki) jest zaleŜny nie tylko od jej
prądu, lecz takŜe od prądów wszystkich pozostałych cewek. Sposób obliczania koenergii układu
cewek przetwornika zostanie pokazany na przykładzie dwóch cewek, z których jedna umieszczona jest
na części nieruchomej a druga na części obrotowej. Obydwie części mają kształt cylindrycznych
walców rozdzielonych równomierną szczeliną powietrzną. Rozmieszczenie cewek ilustruje
symbolicznie Rys. 3.2., który przedstawia przekrój poprzeczny tzw. czynnej części przetwornika.
Zaznaczono na nim miejsca umieszczenia cewki ‘1’, na części nieruchomej oraz cewki ‘2’ na części
obrotowej. Cewki te są sprzęŜone magnetycznie gdyŜ znajdują się we wspólnym obwodzie
magnetycznym, który – dla uproszenia – jest liniowy. Strumienie skojarzone cewek opisane są
wówczas zaleŜnościami
2
,2
1
1
,1
1
1
L
L
i
i
⋅
+
⋅
=
ψ
2
,2
2
1
,1
2
2
L
L
i
i
⋅
+
⋅
=
ψ
(3.1)
w których występują indukcyjności własne cewek
L
,1
1
,
L
,2
2
oraz indukcyjności wzajemne
L
,2
1
,
,1
2
L
, uwzględniające fakt ich sprzęŜenia magnetycznego. Z tych zaleŜności wynikają definicje
indukcyjności własnych i wzajemnych, które są współczynnikami proporcjonalności między
strumieniami skojarzonymi a prądami.
Rys. 3.2. Przekrój poprzeczny przetwornika o dwóch cewkach z symbolicznie zaznaczonymi miejscami ich usytuowania.
Koenergię tych dwóch cewek moŜna obliczyć, jako sumę koenergii kaŜdej z cewek. Zgodnie z
wzorem określającym koenergię cewki naleŜy obliczyć dwie całki
(
)
1
2
,2
1
1
,1
1
ko,1
'
d
L
'
L
1
i
i
i
E
i
o
∫
⋅
+
⋅
=
(
)
2
2
,2
2
1
,1
2
ko,2
'
d
'
L
L
2
i
i
i
E
i
o
∫
⋅
+
⋅
=
(3.2)
Powstaje problem, jaką przyjąć wartość prądu cewki ‘2’, gdy obliczana jest koenergia cewki ‘1’ oraz
prądu cewki ‘1’ przy obliczaniu koenergii cewki ‘2’, gdyŜ koenergia zbioru tych dwóch cewek będzie
zaleŜeć od obydwóch prądów. Problem ten moŜna rozwiązać następująco. Ze względu na
jednoznaczność charakterystyk cewek ich łączna energia – a zatem i koenergia – nie moŜe być zaleŜna
od sposobu jej gromadzenia. Energia i koenergia zbioru tych cewek zaleŜeć będzie jedynie od
3
końcowych wartości pary prądów
)
,
(
2
1
i
i
i nie będzie zaleŜeć od sposobu dojścia do tych wartości, co
ilustruje Rys. 3.3.
E
ko
i
1
'
i
2
'
i
1
i
2
i
2
i
1
)
,
(
2
1
ko
i
i
E
)
,
(
2
1
i
i
Rys. 3.3. Ilustracja róŜnych sposobów gromadzenia energii w dwóch cewkach
Proces gromadzenia energii moŜna dowolnie uporządkować. W celu obliczenia koenergii wygodnie
jest załoŜyć, Ŝe gromadzenie energii następuje w dwóch etapach:
- w pierwszym etapie prąd cewki ‘1’ jest zmieniany od wartości 0 do wartości
1
i ,
- w drugim etapie prąd cewki ‘2’ jest zmieniany od wartości 0 do wartości
2
i , prąd cewki ‘1’
pozostaje bez zmian.
Takiemu sposobowi gromadzenia – wariant energii odpowiada wzór na koenergię
(
)
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
=
∫
∫
2
2
,2
2
1
,1
2
1
1
,1
1
ko,2
ko,1
ko
'
d
'
L
L
'
d
'
L
2
1
i
i
i
i
i
E
E
E
i
o
i
o
2
2
,2
2
2
1
,1
2
2
1
1,1
)
(
L
2
1
L
)
(
L
2
1
i
i
i
i
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
(3.3)
Gdy kolejność gromadzenia energii zostanie zmieniona, tj. rozpoczniemy proces gromadzenia od
cewki ‘2’, wzór na koenergię przyjmie postać
(
)
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∫
∫
1
1
,1
1
2
,2
1
2
2
,2
2
ko
'
d
'
L
L
'
d
'
L
1
2
i
i
i
i
i
E
i
o
i
o
2
2
,2
2
2
1
,1
2
2
1
1,1
)
(
L
2
1
L
)
(
L
2
1
i
i
i
i
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
(3.3a)
PoniewaŜ koenergie w obydwóch przypadkach muszą być równe współczynniki indukcyjności
wzajemnej musza być sobie równe
M
L
L
1
2
2
1
=
=
,
,
. Ta bardzo waŜna właściwość indukcyjności
wzajemnych dotyczy dowolnej pary cewek i wynika z zasady, Ŝe energia zgromadzona w układzie
cewek nie zaleŜy od sposobu jej zgromadzenia.
Analizując koenergię cewek w przetworniku z Rys. 3.2. naleŜy zauwaŜyć, Ŝe sprzęŜenie
magnetyczne cewek jest zaleŜne od połoŜenia kątowego części obrotowej względem części
nieruchomej. Jakościowa analiza tych sprzęŜeń prowadzi do wniosków, Ŝe indukcyjności własne
cewek tego przetwornika nie zaleŜą od wzajemnego połoŜenia cewek, gdyŜ dla dowolnego ustawienia
części obrotowej przekształtnika kształt obwodu magnetycznego pozostaje niezmienny zarówno dla
cewki połoŜonej na części nieruchomej jak i dla cewki na części obrotowej. Zatem strumień
wytworzony przez kaŜdą z cewek z osobna nie zaleŜy od kąta obrotu i w konsekwencji indukcyjności
własne kaŜdej z cewek są stałe. Zmienia się natomiast stopień wzajemnego sprzęŜenia cewek w
zaleŜności od kąta połoŜenia części obrotowej. Nietrudno jakościowo stwierdzić, Ŝe dla kąta
0
=
ϕ
sprzęŜenie będzie maksymalne, a zatem i indukcyjność wzajemna przyjmie największą wartość. Dla
4
kątów
o
0
9
=
ϕ
oraz
o
0
27
=
ϕ
cewki nie będą magnetycznie sprzęŜone, więc indukcyjność wzajemna
będzie równała się zero, natomiast dla kąta
o
0
18
=
ϕ
sprzęŜenie będzie maksymalne, lecz przeciwne.
Te zmiany wartości indukcyjności wzajemnej przestawia Rys. 3.4. W przedziałach między tymi
punktami charakterystycznymi zmiany indukcyjności wzajemnej będą w przybliŜeniu liniowe, lecz nie
jest to na tym poziomie rozwaŜań istotne. NajwaŜniejszym jest stwierdzenie, Ŝe indukcyjności
wzajemne będą funkcjami kąta obrotu
)
M(
ϕ
Rys. 3.4. Zmienność indukcyjności wzajemnych w funkcji kąta obrotu
ϕ
Ostatecznie funkcję Lagrange’a dla przetwornika z Rys. 3.2 moŜna zapisać w postaci
2
2
1
,1
1
1
2
2
2
2,2
J
2
1
)
(
L
2
1
)
M(
)
(
L
2
1
ω
+
⋅
+
⋅
⋅
ϕ
+
⋅
=
i
i
i
i
L
(3.4)
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe nie występuje w niej energia potencjalna, gdyŜ nie ma w układzie
kondensatorów ani elementów spręŜystych ograniczających ruch obrotowy. Równania tego
przetwornika moŜna otrzymać zapisując równania Lagrange’a. W tym przypadku są to trzy równania
o postaciach
1
1
1
1
1
R
d
d
i
u
q
L
i
L
t
⋅
−
=
∂
∂
−
∂
∂
2
2
2
2
2
R
d
d
i
u
q
L
i
L
t
⋅
−
=
∂
∂
−
∂
∂
ω
⋅
−
=
ϕ
∂
∂
−
ω
∂
∂
D
d
d
z
m
L
L
t
Po wykonaniu operacji matematycznych otrzymuje się układ równań róŜniczkowych
(
)
1
1
1
2
1
,1
1
R
)
M(
L
d
d
u
i
i
i
t
=
⋅
+
⋅
ϕ
+
⋅
(3.5a)
(
)
2
2
2
2
,2
2
1
R
L
)
M(
d
d
u
i
i
i
t
=
⋅
+
⋅
+
⋅
ϕ
(3.5b)
1
2
z
2
2
)
M(
d
d
D
d
d
J
i
i
m
t
t
⋅
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
+
=
ϕ
+
ϕ
(3.5c)
Pierwsze dwa równania opisują obwody elektryczne przetwornika, trzecie opisuje ruch obrotowy i jest
nazywane równaniem mechanicznym. WyraŜenie
5
1
2
el
)
M(
i
i
m
⋅
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
=
określa moment elektromagnetyczny przetwornika. Równania te wygodnie jest zapisywać w formie
macierzowej. W tym celu naleŜy zapisać zaleŜności strumieni sprzęŜonych od prądów w postaci
⋅
ϕ
ϕ
=
ψ
ψ
2
1
,2
2
,1
1
2
1
L
)
M(
)
M(
L
i
i
(3.6)
lub w skrócie
i
L
⋅
ϕ
=
Ψ
)
(
, gdzie
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
oraz
i są wektorami, odpowiednio strumieni sprzęŜonych i
prądów, a
)
(
ϕ
L
jest macierzą indukcyjności. Funkcję koenergii
ko
E
moŜna teraz zapisać jako
[
]
⋅
ϕ
ϕ
⋅
=
2
1
,2
2
,1
1
2
1
ko
L
)
M(
)
M(
L
2
1
i
i
i
i
E
(3.7)
lub w skrócie
i
L
i
⋅
ϕ
⋅
=
)
(
2
1
ko
T
E
. Równania przetwornika przyjmują w postaci macierzowej formę
(
)
u
i
R
i
L
=
⋅
+
⋅
ϕ
)
(
d
d
t
(3.8a)
i
L
i
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
⋅
+
=
ϕ
+
ϕ
)
(
2
1
d
d
D
d
d
J
z
2
2
T
m
t
t
(3.8b)
↓
**************************************************************************↓
Macierzowa postać równań nie ulegnie zmianie, gdy przetwornik o ruchu obrotowym posiadał
będzie N niezaleŜnych cewek. Dla zbioru N cewek strumień skojarzony kaŜdej z nich jest określony
związkiem
N
N
,
,
2
,2
1
,1
L
L
L
L
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
n
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
ψ
L
L
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
=
n
(3.9)
który opisuje strumień skojarzony cewki o numerze ‘
n’ jako funkcję prądów wszystkich pozostałych
cewek od ‘1’ do ‘N’. Indukcyjności wzajemne
n,k
L
są definiowane jako stosunek strumienia
skojarzonego cewki ‘
n’, wytworzonego przez prąd cewki ‘k’, do wartości tego prądu, przy załoŜeniu,
Ŝ
e prądy we wszystkich pozostałych cewkach nie płyną
k
n
n,k
i
ψ
=
L
k
n
≠
(3.10)
Indukcyjności własne określa stosunek strumienia skojarzonego danej cewki wytworzonego przez jej
własny prąd do tego prądu
n
n
n,n
i
ψ
=
L
Związki między strumieniami skojarzonymi a prądami dla zbioru N cewek moŜna zapisać w postaci
i
L
⋅
ϕ
=
Ψ
)
(
(3.11)
6
lecz teraz wektory strumieni skojarzonych oraz prądów są N wymiarowe i takŜe macierz
indukcyjności ma wymiary
)
N
N
(
×
. W zapisie tym symbolicznie zaznaczono, Ŝe niektóre elementy
macierzy indukcyjności mogą zaleŜeć od kąta obrotu
ϕ
. Na pewno będą to indukcyjności wzajemne
par cewek, z których jedna znajduje się na części nieruchomej, a druga na części obrotowej. Zgodnie z
definicją koenergię cewki ‘n’ określa całka
n
i
o
n
n
n
n
n
n
n
i
o
n
i
i
i
i
i
i
E
n
n
'
d
)
L
'
L
L
(L
d
N
N
,
,
2
,2
1
,1
ko
∫
∫
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
ψ
=
L
L
(3.12)
z której wynika, Ŝe koenergia danej cewki jest zaleŜna od wartości prądów we wszystkich cewkach.
Koenergię zbioru cewek, gdy ich prądy mają wartości
)
,...,
,
,
(
N
3
2
1
i
i
i
i
, moŜna obliczyć sumując
koenergie poszczególnych cewek zgodnie z wzorem
(
)
(
)
+
+
+
+
+
+
=
∫
∫
∫
3
3
,3
2
,2
1
,1
2
2
,2
1
,1
1
1
,1
ko
d
L
L
L
d
L
L
d
L
3
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
E
i
o
n
n
n
i
o
n
n
i
o
n
(
)
N
N
N
,
3
,3
2
,2
1
,1
d
L
L
L
L
N
i
i
i
i
i
i
o
n
n
n
n
∫
+
+
+
+
+
+
L
L
(3.13)
Wzór ten otrzymuje się, jako wynik następującego sposobu gromadzenia energii:
- prąd cewki ‘1’ zmienia się od wartości zero do wartości
1
i
,
- prąd cewki ‘2’ zmienia się od wartości zero do wartości
2
i
nie zmieniając wartości prądu
1
i
,
- prąd cewki ‘3’ zmienia się od wartości zero do wartości
3
i
nie zmieniając wartości prądów
1
i
oraz
2
i
,
- …... ,
- prąd cewki ‘N’ zmienia się od wartości zero do wartości
N
i
nie zmieniając wartości prądów
)
,...,
,
,
(
1
-
N
3
2
1
i
i
i
i
.
Wynik całkowania daje następującą ogólną postać funkcji koenergii
∑∑
=
=
⋅
⋅
ϕ
=
N
1
N
1
,
ko
)
(
L
2
1
n
k
k
n
k
n
i
i
E
(3.14)
W zapisie macierzowym funkcja koenergii ma postać
i
L
i
⋅
ϕ
⋅
=
)
(
2
1
ko
T
E
(3.14a)
lecz teraz wektor prądów
i
oraz macierz indukcyjności
)
(
ϕ
L
są N-wymiarowe. Równania
przetwornika o N cewkach w liniowym obwodzie magnetycznym przyjmują ogólną postać
n
n
n
i
u
i
E
t
⋅
−
=
∂
∂
n
ko
R
d
d
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
=
n
ω
⋅
−
=
ϕ
∂
∂
−
ω
D
d
d
J
z
ko
m
E
t
Po wykonaniu operacji matematycznych przewidzianych w tych równaniach otrzymuje się układ
równań
7
(
)
u
i
R
i
L
=
⋅
+
⋅
ϕ
)
(
d
d
t
(3.15a)
i
L
i
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
⋅
+
=
ϕ
+
ϕ
)
(
2
1
d
d
D
d
d
J
z
2
2
T
m
t
t
(3.15b)
który ma postać analogiczną jak dla rozwaŜanego wcześniej przetwornika o dwóch cewkach i jedynie
wymiary wektorów napięć i prądów oraz macierzy indukcyjności są inne. Ta postać równań jest
niezmienna dla całej klasy przetworników o ruch obrotowym przetwarzających energie za pomocą
pola magnetycznego. Nietrudno zauwaŜyć, Ŝe najwaŜniejszą rolę pełni w tych równaniach macierz
indukcyjności. W macierzy indukcyjności są reprezentowane wszystkie charakterystyczne cechy
obwodu magnetycznego oraz rozmieszczenia cewek przetwornika.
↑
***************************************************************************↑
NiezaleŜnie od budowy przetwornika macierz indukcyjności ma następujące cechy matematyczne,
które są związane z właściwościami fizycznymi:
-
macierz indukcyjności jest nieosobliwa
0
)
(
det
≠
ϕ
L
(3.16)
Właściwość ta wynika z fizycznego faktu, Ŝe sprzęŜenia magnetyczne rzeczywistych cewek nie
mogą być całkowite, co matematycznie wyraŜa nierówność
( )
2
,
,
,
L
L
L
k
n
k
k
n
n
<
⋅
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
,
=
k
n
Oznacza to, Ŝe zarówno strumienie skojarzone są jednoznacznie określone przez prądy cewek jak i
prądy cewek są jednoznacznie określone przez strumienie skojarzone.
-
macierz indukcyjności jest symetryczna
(
)
T
)
(
)
(
ϕ
=
ϕ
L
L
(3.17)
Właściwość ta wynika z fizycznego faktu, Ŝe energia i koenergia zgromadzona w układzie cewek nie
zaleŜą od sposobu ich gromadzenia, co zostało juŜ powyŜej objaśnione. Matematycznie wyraŜa to
równość indukcyjności wzajemnych kaŜdej pary cewek
n
k
k
n
,
,
L
L
=
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
,
=
k
n
- macierz indukcyjności dla przetworników o ruchu obrotowy jest okresowa
)
π
2
(
)
(
+
ϕ
=
ϕ
L
L
(3.18)
Właściwość ta wynika z fizycznego faktu, Ŝe przetworniku o ruch obrotowym po obrocie o kąt pełny
wszystkie cewki powracają do poprzednich pozycji, a więc ich indukcyjności własne i wzajemne
przyjmują poprzednie wartości. Oznacza to, Ŝe kaŜdy z elementów macierzy, który jest zaleŜny od
kąta obrotu, jest okresową funkcją tego kąta
)
π
2
(
L
)
(
L
,
,
+
ϕ
=
ϕ
k
n
k
n
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
,
=
k
n
8
↓
***************************************************************************↓
RozwaŜania przedstawione powyŜej dotyczyły przypadku, gdy obwód magnetyczny, w którym
umieszczone są cewki, jest liniowy, tzn. indukcja magnetyczna w kaŜdym jego punkcie obwodu
magnetycznego jest proporcjonalna do wartości natęŜenia pola magnetycznego. W ogólnym
przypadku, gdy charakterystyki cewek są nieliniowymi funkcjami prądów oraz kąta obrotu
ϕ
)
,
,...,
,
(
N
2
1
ϕ
ψ
i
i
i
n
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
=
n
koenergię określa wzór
∑∫
=
ϕ
ψ
=
N
1
0
2
1
ko
'
)
,
0
,...,
0
,
'
,...,
,
(
n
i
n
n
n
n
di
i
i
i
E
który wynika z sumowania koenergii poszczególnych cewek o nieliniowych charakterystykach przy
sposobie gromadzenia energii opisanym powyŜej dla cewek o charakterystykach liniowych. Równania
przetwornika z nieliniowym obwodem magnetycznym, po wykonaniu operacji na funkcji koenergii
przewidzianych w równaniach Lagrange’a, przyjmują postaci
n
n
u
i
t
=
⋅
+
ψ
n
n
R
d
d
dla
)
N
,...,
2
,
1
(
=
n
ϕ
∂
∂
+
=
ϕ
+
ϕ
ko
z
2
2
d
d
D
d
d
J
E
m
t
t
Dalsze analizy procesów przetwarzania energii będą prowadzone przy załoŜeniu liniowości obwodu
magnetycznego przetworników, czyli wykorzystujące macierz indukcyjności. W rzeczywistych
przetwornikach obwody magnetyczne są wykonywane z materiałów ferromagnetycznych, które
ulegają nasycaniu magnetycznemu. Opis przetworników równaniami zakładającymi liniowość
magnetyczną mogą prowadzić do rozbieŜności między wartościami obliczanymi z tych równań oraz
mierzonymi w rzeczywistym przetworniku.
↑
***************************************************************************↑
9
Przykłady
P. 3.1/. Dla przetwornika elektromechanicznego cylindrycznego o ruchu obrotowym określić
jakościowo aproksymowane zaleŜności indukcyjności od kąta obrotu
ϕ
zakładając, Ŝe cewki
na części nieruchomej (stojanie) posiadają taką samą liczbę zwojów, a następnie zapisać
funkcję ko-energii dla tych cewek i na tej podstawie bezpośrednio utworzyć równania
Lagrange’a.
W przetworniku cylindrycznym jedynie indukcyjności wzajemne pomiędzy cewkami stojana i wirnika
(
1
,
3
3
,
1
L
L
=
oraz
2
,
3
3
,
2
L
L
=
) zaleŜą od kąta obrotu
ϕ
, natomiast pozostałe indukcyjności zarówno
własne jak i wzajemne są stałe ze względu na gładkość szczeliny powietrznej. SprzęŜenia
magnetyczne dla prostopadłego wzajemnego ustawienia osi cewek są równe zero natomiast, gdy osie
cewek są równoległe sprzęŜenia osiągają maksima i mogą być zgodne lub przeciwne w zaleŜności od
strzałkowania. Indukcyjności pomiędzy przemieszczającymi się kątowo uzwojeniami stojana i wirnika
moŜna w pierwszym przybliŜeniu aproksymować funkcjami sinusoidalnymi, które dla rozwaŜanego
przypadku przedstawiają się następująco
)
cos(
M
)
(
L
1,3
ϕ
⋅
=
ϕ
)
sin(
M
)
(
L
2,3
ϕ
⋅
=
ϕ
Forma kwadratowa ko-energii uzwojeń moŜe, zatem być zapisana następująco
[
]
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
=
3
2
1
3
,
3
3,2
3,1
,3
2
2
,
2
,1
2
,3
1
,2
1
,1
1
3
2
1
ko
L
)
(
L
)
(
L
)
(
L
L
L
)
(
L
L
L
2
1
i
i
i
i
i
i
E
Równania napięciowe przetwornika zgodnie z przedstawionymi wcześniej wyprowadzeniami
przybierają formę
⋅
−
=
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
,
3
3,2
3,1
,3
2
2
,
2
,1
2
,3
1
,2
1
,1
1
R
R
R
L
)
(
L
)
(
L
)
(
L
L
L
)
(
L
L
L
i
i
i
u
u
u
i
i
i
dt
d
10
natomiast równanie mechaniczne wygląda następująco
ω
−
+
=
ω
D
d
d
J
z
em
m
m
t
gdzie
[
]
3
2
3
1
3
2
,3
2
3
1
,3
1
3
2
1
3
,
3
3,2
3,1
,3
2
2
,
2
,1
2
,3
1
,2
1
,1
1
3
2
1
ko
em
)
cos(
M
)
sin(
M
)
(
L
)
(
L
)
L
)
(
L
)
(
L
)
(
L
L
L
)
(
L
L
L
(
2
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
E
m
ϕ
+
ϕ
−
=
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
∂
ϕ
∂
=
=
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
⋅
=
ϕ
∂
∂
=
W celu rozwiązania przedstawionego układu równań naleŜy posłuŜyć się metodami numerycznymi,
które zazwyczaj wymagają sprowadzenia do postaci normalnej zgodnie z przykładem z rozdziału 2.
P. 3.2/. Zapisać zaleŜność na ko-energię układu dwóch nieliniowych cewek, jeŜeli funkcja opisująca
ich charakterystyki dana jest zaleŜnością
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
)
(
A
4
L
M
)
(
A
4
M
L
i
i
i
i
i
i
i
i
+
+
=
ψ
+
+
=
ψ
Rozwiązanie bazować będzie na ogólnej zaleŜności przedstawiającej funkcję ko-energii układu cewek
sprzęŜonych
∑∫
=
ϕ
ψ
=
N
1
0
2
1
ko
'
)
,
0
,...,
0
,
'
,...,
,
(
n
i
n
n
n
n
di
i
i
i
E
, więc dla naszego dwuwymiarowego przypadku,
gdy
2
N
=
wyraŜenie to sprowadza się po postaci
∫
∫
ψ
+
ψ
=
2
1
0
2
2
1
2
0
1
1
1
ko
'
)
'
,
(
'
)
0
,
'
(
i
i
di
i
i
di
i
E
Po podstawieniu zaleŜności opisujących charakterystyki cewek i wykonaniu całkowań otrzymamy
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
0
2
2
2
1
2
2
1
0
1
2
1
1
1
ko
)
(
)
(
A
2
)
(
L
M
)
(
L
'
)
'
)
(
A
4
'
L
(M
'
)
)
0
(
'
A
4
0
M
'
(L
2
1
i
i
i
i
i
i
di
i
i
i
i
di
i
i
E
i
i
+
+
+
=
=
+
+
+
+
⋅
+
=
∫
∫
Zadania
Zad. 3.1/. Dla układu z rysunku zapisać funkcję Lagrange’a oraz odpowiadające jej równania
u(t)
L
1
L
2
M
C
R
1
R
2
11
Zad. 3.2/. Dla przetworników elektromechanicznych o ruchu obrotowym z poniŜszych rysunków
określić jakościowo zaleŜności indukcyjności od kąta połoŜenia części ruchomej
ϕ
,
a następnie zapisać formę kwadratową ko-energii i na tej podstawie zapisać bezpośrednio
równania Lagrange’a.
a/. b/.
1'
2'
3'
4'
c/. d/.
e/. f/.