W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
O
PIS RUCHU
,
DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Rys.11.2
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski
Poznań 2002/2003
OPIS RUCHU
1. 1. Opis ruchu
Przypuśćmy, że mamy układ jak na rysunku
obok (rys.11.1). Zgodnie z zasadą d’Alemberta równanie
równowagi można zapisać:
( )
( )
0
..
=
+
t
q
t
q
m
κ
(11.1)
( )
( )
0
2
..
=
+
t
q
t
q
ω
(11.2)
gdzie:
m
κ
ω =
2
,
2
2
..
dt
d
=
i :
−
m
masa
[ ]
kg
−
q
przemieszczenie w czasie
−
κ
sztywność podpory
m
N
.
Rozwiązaniem jest funkcja
( )
⇒
+
=
t
q
t
q
t
q
c
s
ω
ω
cos
sin
( )
(
)
ϕ
ω +
=
t
A
t
q
sin
,
przy czym kąt
ϕ
-to kąt fazowy. Stałe
ϕ
,
A
wyznaczymy z dwóch warunków
początkowych:
np.
1
0
)
( )
a
q
t
=
⇒
=
0
0
2
0
)
( )
0
0
0
0
.
=
=
⇒
=
=
t
dt
dq
q
t
Z warunków tych otrzymujemy:
(
)
a
A
a
A
A
A
a
=
⇒
=
⇒
=
+
=
2
sin
sin
0
sin
π
ϕ
ϕ
Rys.11.1
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
(
)
(
)
2
0
cos
0
cos
0
cos
π
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ω
=
⇒
=
⇒
+
⋅
=
⇒
+
=
A
t
A
dt
dq
Zatem dla warunków początkowych j.w otrzymujemy pełne rozwiązanie postaci:
( )
t
a
t
a
t
q
ω
π
ω
cos
2
sin
=
+
=
(11.3)
gdzie:
a
-amplituda drgań, to max. wartość przemieszczenia(wychylenia) w stosunku do
położenia równowagi,
ω
-to częstość kołowa drgań własnych (zakładamy brak czynników zaburzających, czyli
nie występuje tłumienie)
[ ]
s
rd
, jest cechą indywidualną każdego ciała (
Jest stała!
)
Uwaga!
Nie ma związku między amplitudą a częstością kołową!
Zgodnie z rozwiązaniem (wzór 11.3) nasza kulka powróci do swego położenia po czasie
odpowiadającym
π
2
. Podstawmy tą wartość do naszego rozwiązania:
( )
(
)
(
)
[
]
T
t
t
t
a
t
q
+
=
+
=
+
=
ω
ω
π
ω
π
ω
cos
2
cos
2
cos
gdzie
ω
π
2
=
T
to okres drgań, czyli czas dzielący dwa identyczne stany rozpatrywanego
ciała (łatwiej można to sobie wyobrazić patrząc na rysunek 11.2).
Zadanie 1
Wyznaczyć częstość kołową elementu.
♦
Powiedzmy, że mamy układ jak na rysunku (rys.11.3) z jednym stopniem swobody.
Zakładamy, że masa belki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy
(powstały w ten sposób błąd będzie bardzo mały i nieistotny dla dalszych
rozważań). Częstość kołowa wyrażana jest wzorem:
m
κ
ω =
(11.4)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Sztywność belki wyznaczymy korzystając z pracy wirtualnej. W miejscu masy m
przykładamy taką siłę P, która spowoduje jednostkowe ugięcie belki (rys.11.3b) stąd
i
δ
równe będzie 1. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siły P i siły
jedynkowej (rys.11.3c i d)otrzymując:
EI
l
P
l
l
l
P
EI
ds
EI
M
M
3
3
2
2
1
1
3
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
δ
Przyrównując otrzymaną wartość do jedynki:
3
3
3
3
1
l
EI
P
EI
l
P
=
⇒
⋅
=
czyli
3
3
l
EI
=
κ
stąd szukana częstość kołowa wynosi:
3
3
l
m
EI
⋅
=
ω
(11.5)
♦
Zajmijmy się teraz belką swobodnie podpartą, której masę sprowadzimy do masy
skupionej umieszczonej w środku jej rozpiętości (rys.11.4). Sposób postępowania
jest analogiczny jak dla belki z przykładu pierwszego. Wykonujemy wykresy
momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.
Rys.11.3
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
EI
l
P
l
Pl
l
EI
ds
EI
M
M
48
2
4
3
2
4
2
2
1
1
3
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
∫
δ
ponieważ :
3
3
48
48
1
l
EI
P
EI
l
P
=
⇒
⋅
=
czyli
3
48
l
EI
=
κ
stąd szukana częstość kołowa
wynosi:
3
48
l
m
EI
⋅
=
ω
(11.6)
przy czym
A
l
m
⋅
⋅
=
ρ
(A-pole przekroju poprzecznego belki).
1. 2. Drgania własne, tłumione.
Tłumienie drgań jest wynikiem działania sił oporu oznaczanych jako
R
. Siły te działają
w ruchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie lekkie (wiskotyczne)
proporcjonalne do prędkości ruch, co zapisujemy:
)
(
~`
t
q
c
R
•
⋅
Rys.11.4
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Na rysunku (rys.11.5) widzimy ciało o masie m drgające swobodnie (bez tłumienia) i
podczas tłumienia drgań.
a)drgania własne-układ o jednym
stopniu swobody
b)drgania własne tłumione
Równanie ruch z uwzględnieniem tłumienia przyjmuje postać:
0
)
(
)
(
)
(
=
+
⋅
+
⋅
•
•
•
t
t
q
c
t
q
m
κ
(11.7)
gdzie
c
-stała tłumienia
przy wprowadzeniu zmiennej
m
c
2
=
ρ
równanie przechodzi do postaci:
0
)
(
)
(
2
)
(
2
=
⋅
+
⋅
+
•
•
•
t
q
t
q
t
q
ω
ρ
(11.8)
−
ρ
współczynnik tłumienia drgań.
Rozwiązaniem równania ruchu (wzór11.8) będzie funkcja postaci:
rt
Ae
t
q
=
)
(
.
Podstawiając ją do równania otrzymamy równanie charakterystyczne postaci:
0
2
2
2
=
+
⋅
+
ω
ρ
r
r
(11.9)
Rozwiązując je możemy otrzymać trzy przypadki:
(
)
=
>
<
⇒
−
=
−
=
∆
0
0
0
4
4
4
2
2
2
2
ω
ρ
ω
ρ
♦
Rozważamy małe tłumienia
ω
ρ <
Możliwe są dwa rozwiązania:
2
2
1
ρ
ω
ρ
−
−
−
=
i
r
2
2
2
ρ
ω
ρ
−
+
−
=
i
r
Rozwiązującą funkcją jest funkcja postaci:
)
sin(
)
(
1
ϕ
ω
ρ
+
=
−
t
Ae
t
q
t
(11.10)
co jest równoważne rozwiązaniu:
)
sin
cos
sin(
)
(
2
1
t
c
t
c
e
t
q
t
ω
ω
ρ
+
=
−
(11.11)
Rys.11.5
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Wykres (rys.11.6) poniżej obrazuje funkcję rozwiązującą (wzór 11.10):
gdzie:
−
1
T
okres drgań własnych tłumionych wynoszący:
1
1
2
ω
π
=
T
a
2
2
1
ρ
ω
ω
−
=
Miarą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje redukcja amplitudy, czyli relacja
między dwiema kolejnymi amplitudami podobnych stanów. I tak:
1
1
2
ω
π
=
T
i
i
q
q
1
+
.Podstawiając do funkcji rozwiązującej (11.10) otrzymujemy:]
przy założeniu, że:
1
)
sin(
1
=
+
e
t
ω
(
)
⇒
=
−
+
−
+
t
T
t
i
i
Ae
Ae
q
q
ρ
ρ
1
1
λ
ρ
−
−
+
=
=
e
e
q
q
T
i
i
1
1
(11.12)
przy czym
−
⋅
=
=
+
1
1
ln
T
q
q
i
i
ρ
λ
logarytmiczny dekrement mienia.
♦
Silne tłumienie
ω
ρ >
Możliwe są dwa rozwiązania:
2
2
1
ρ
ω
ρ
−
−
−
=
r
2
2
2
ρ
ω
ρ
−
+
−
=
r
Funkcja rozwiązująca przyjmuje postać:
)
(
)
(
1
2
1
1
t
sh
c
ch
c
e
t
q
t
ω
ω
ρ
+
=
−
(11.13)
Rys.11.5
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
S
ZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW
,
STOPIEŃ STAT
.
NIEWYZNACZALNOŚCI
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
gdzie:
2
2
1
ω
ρ
ω
−
=
W tym przypadku wykres funkcji rozwiązującej wygląda następująco (rys.11.6):
♦
W trzecim ostatnim przypadku gdy
ω
ρ =
funkcja rozwiązująca jest postaci:
)
(
)
(
2
1
c
t
c
e
t
q
t
+
=
−
ρ
(11.14)
a jej wykres jest taki jak przy silnym tłumieniu(rys.11.6).
Rys.11.6