W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

1

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,

Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J

ERZY

R

AKOWSKI

Poznań 2002/2003

MECHANIKA BUDOWLI 7

3. SPRAWDZENIE
3.1 SPRAWDZENIE GLOBALNE

Sprawdzenie to polega na zbudowaniu pewnego fikcyjnego

(„sztucznego”) wykresu momentów M

S

, będącego sumą wszystkich

wykresów jednostkowych (tzn. M

1

, M

2

, ...,M

i

):

∑

=

=

n

i

i

S

M

M

1

(3.1.1)

Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik δ

SS

ze

wzoru:

∫

⋅

=

S

S

S

SS

ds

EJ

M

M

δ

(3.1.2)

Okazuje się że spełniona jest następująca zależność:

∑∑

=

=

=

n

i

n

k

ik

SS

1

1

δ

δ

(3.1.3)

Dowód:

∑∑

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

=

+

+

+

⋅

+

+

+

=

=

⋅

=

n

i

n

k

ik

nn

n

S

n

n

S

S

S

S

S

n

S

n

n

S

S

S

SS

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

ds

M

M

M

M

M

M

EJ

ds

EJ

M

M

1

1

22

21

1

12

11

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

1

)

(

)

(

1

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

K

K

K

K

K

K

(3.1.4)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

2

W ten sposób otrzymaliśmy możliwość sprawdzenia poprawności
wyliczeń wszystkich uzyskanych współczynników δ

ik

(z pominięciem

∆

ip

).

Jeżeli powyższa równość jest spełniona przeprowadzone dotychczas
obliczenia są prawidłowe. Jeżeli nie, to lokalizujemy dany błąd
sprawdzeniem lokalnym.

3.2 SPRAWDZENIE LOKALNE

Sprawdzenie to, zwane także wierszowym bądź kolumnowym,

polega na zlokalizowaniu danego błędu, przez odrębne rozpatrywanie
(sumowanie) elementów danego wiersza macierzy (lub danej kolumny,
bo macierz ta jest symetryczna). Sumowania te wyrażone są
następującym wzorem:

∑

∫

=

=

=

⋅

=

n

k

ik

S

S

i

is

ds

EJ

M

M

1

...

δ

δ

(3.2.1)

Sprawdzenia poprawności obliczeń ∆

ip

dokonujemy podobnie jak

powyżej. Obliczamy mianowicie ∆

sp

i porównujemy otrzymaną wielkość

z wyrażeniem

∑

=

∆

n

i

ip

1

, gdyż obie wielkości powinny być sobie równe.

∑

∫

=

∆

=

=

⋅

=

∆

n

i

ip

S

S

o
p

sp

ds

EJ

M

M

1

...

(3.2.2)

Dowód tych zależności jest analogiczny jak dla sprawdzenia globalnego.
Po zlokalizowaniu i poprawieniu błędu przystępujemy do dalszej analizy
wyników.

3.3 SPRAWDZENIE WARTOŚCI NIEWIADOMYCH SIŁ

Sprawdzenie to polega na podstawieniu wyznaczonych wielkości

X

k

do równań kanonicznych i stwierdzeniu, że układ równań jest dla

obliczonych wartości sił spełniony.

3.4 SPRAWDZENIE STATYCZNE

To sprawdzenie mówi nam, czy przy wyznaczonych siłach

wewnętrznych spełnione są warunki statycznej równowagi (ΣX=0, ΣY=0,
ΣM=0). Polega ono na wykazaniu, że spełnione są one dla całości układu

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

3

jak i dla wybranych jego części. Warto zaznaczyć, że sprawdzenie te nie
bada poprawności wyliczonych X

k

,

a jedynie sprawdza poprawność wykresów sił wewnętrznych od tych
obciążeń (niekoniecznie prawidłowych).

3.5 SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE

Sprawdzenie to jest najważniejsze, gdyż tak naprawdę to dopiero

ono mówi nam czy uzyskane wyniki są prawidłowe. Polega na
wykazaniu, że dla wybranych punktów (na ogół punktów, które nie
doznają przemieszczeń w układzie statycznie niewyznaczalnym)
przemieszczenia są równe wartościom rzeczywiście tam występującym.

Zagadnienie wyznaczania przemieszczeń w układach statycznie

niewyznaczalnych wydaje się stosunkowo złożone gdyż zgodnie z
uniwersalną zasadą pracy wirtualnej w celu określenia przemieszczenia,
należy znaleźć wykresy sił wewnętrznych w układzie statycznie
niewyznaczalnym zarówno dla stanu rzeczywistego obciążenia jak i
wirtualnego.

∫

+

⋅

=

⋅

S

n

n

j

ds

EJ

M

M

K

)

(

)

(

1

δ

0

1

=

∆

+

⋅

∑

=

n

k

iP

k

ik

X

δ

oraz

0

1

=

∆

+

⋅

∑

=

n

k

ip

k

ik

X

δ

(3.5.1)

W sukurs przychodzą nam twierdzenia redukcyjne, z których wynika, że
licząc przemieszczenia w układzie statycznie niewyznaczalnym, jeden ze
stanów (rzeczywisty lub wirtualny) możemy wyliczyć dla dowolnego
układu podstawowego.


Pierwsze twierdzenie redukcyjne
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia
rzeczywistego, zaś wirtualny stan obciążeń określić dla dowolnego
układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

4

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przytoczymy go uwzględniając
w obliczeniach przemieszczeń jedynie wpływ momentów zginających):

∫

⋅

=

⋅

S

n

n

j

ds

EJ

M

M

)

(

)

(

1

δ

Zgodnie z zasadą superpozycji mamy:

n

n

i

o

p

n

n

n

o
p

n

X

M

X

M

X

M

M

M

X

M

X

M

X

M

M

M

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

=

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

=

K

K

2

2

1

)

(

2

2

1

1

)

(

(3.5.2)

Iloczyn w wyrażeniu podcałkowym (dla uproszczenia zapisu pominięto
mianownik EJ) możemy przedstawić jako:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n

o
p

n

n

n

n

o
p

n

n

o
p

n

n

o
p

o

p

n

n

o

p

n

n

o
p

X

M

X

M

M

X

M

M

M

M

X

X

M

M

X

M

X

M

M

M

M

X

X

M

M

X

M

M

X

M

M

M

X

X

M

X

M

X

M

M

M

X

M

X

M

X

M

M

X

M

X

M

X

M

M

⋅

+

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

⋅

+

+

⋅

⋅

+

+

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

+

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

+

+

⋅

+

⋅

+

=

⋅

+

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

K

K

K

K

K

K

K

(3.5.3)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

5

Biorąc pod uwagę, że:

∫

=

S

ds

EJ

M

2

1

11

δ

,

∫

⋅

=

=

S

ds

EJ

M

M

2

1

21

12

δ

δ

∫

=

S

ds

EJ

M

2

2

22

δ

,

∫

⋅

=

=

S

n

n

n

ds

EJ

M

M

1

1

1

δ

δ

∫

=

S

n

nn

ds

EJ

M

2

δ

,

∫

⋅

=

=

S

n

n

n

ds

EJ

M

M

2

2

2

δ

δ

∫

⋅

=

∆

S

o
p

p

ds

EJ

M

M

1

1

,

∫

⋅

=

∆

S

o
p

p

ds

EJ

M

M

2

2

,…,

∫

⋅

=

∆

S

o
p

n

np

ds

EJ

M

M

dostaniemy:

∫

⋅

+

∆

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

+

∆

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

+

+

∆

+

⋅

+

+

⋅

+

⋅

=

⋅

S

n

p

o
p

np

nn

n

n

n

n

p

n

n

p

n

n

j

ds

EJ

M

M

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

)

(

2

2

1

1

2

2

22

2

21

1

2

1

1

12

2

11

1

1

)

(

)

(

)

(

1

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

K

K

K

,

(3.5.4)

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są
równe zeru.

Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

S

o

n

S

n

n

j

∫

∫

⋅

=

⋅

=

⋅

)

(

)

(

)

(

1

δ

(3.5.5)

Uogólnienie relacji (3.5.5) na przypadek, w którym uwzględnia się wpływ
wszystkich przyczyn na przemieszczenia nie nastręcza żadnych trudności.

Drugie twierdzenie redukcyjne
W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia
wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego
układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

6

Dowód tego twierdzenia jest analogiczny jak przy twierdzeniu pierwszym
z tym, że w grupowaniu wyrażeń przed nawiasami występują czynniki
X

k

.

Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:

ds

EJ

M

M

ds

EJ

M

M

S

n

o

S

n

n

j

∫

∫

⋅

=

⋅

=

⋅

)

(

)

(

)

(

1

δ

(3.5.6)

Warto zaznaczyć, że sprawdzeń kinematycznych jest bardzo dużo, gdyż
możemy przyjąć wiele różnych układów podstawowych. Reasumując,
kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać na innym układzie
podstawowym niż przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem tego
sprawdzenia byłoby wykazanie poprawności równania kanonicznego.

4. PRZYKŁAD 1

Dokonać sprawdzenia obliczonego wcześniej układu statycznie

niewyznaczalnego przedstawionego na rysunku Rys.4.0.1a.

Rys.4.0.1 Dany układ a) rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym; b) układ podstawowy

z niewiadomymi X

1

i X

2

oraz układem równań kanonicznych

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

7

Zestawienie wykresów:

Rys.4.0.2 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące

kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X

1

; b) siły

jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X

2

; c) obciążenia rzeczywistego P w

postaci siły skupionej oraz obciążenia rozłożonego.

Rys.4.0.3 Analiza końcowa zadania: a) stan obciążenia siłami zewnętrznymi oraz

obliczonymi niewiadomymi x

1

i x

2

; b) wykres momentów rzeczywistych M

(n)

; c) wykres

rzeczywistych sił tnących T

(n)

; d) wykres rzeczywistych sił normalnych N

(n)

Zestawienie wyników współczynników:

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

8

3

11

27

m

EJ

=

δ

,

3

22

27

m

EJ

=

δ

,

3

21

12

18

m

EJ

−

=

=

δ

δ

3

1

468

m

kN

EJ

P

⋅

=

∆

,

3

2

540

m

kN

EJ

P

⋅

−

=

∆

(4.0.1)

Układ równań kanonicznych przyjął więc postać:

0

540

27

18

0

468

18

27

3

2

3

1

3

3

2

3

1

3

=

−

+

−

=

+

−

EJ

kNm

X

EJ

m

X

EJ

m

EJ

kNm

X

EJ

m

X

EJ

m

(4.0.2)

Po obliczeniu powyższego układu równań otrzymano następujące wyniki:

kN

X

kN

X

2

,

15

2

,

7

2

1

=

−

=

(4.0.3)

4.1 Sprawdzenie globalne

Rys.4.1.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące

kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X

1

; b) siły

jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X

2

; c) od sumy wszystkich wykresów

jedynkowych (wykres zbiorczy momentów M

i

)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

9

3

1

1

18

18

18

27

27

m

EJ

EJ

n

i

n

k

ik

=

−

−

+

=

∑∑

=

=

δ

3

18

)

2

3

3

2

2

3

3

(

1

m

EJ

EJ

SS

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

EJ

EJ

18

18

=

(4.1.1)

4.2 Sprawdzenie lokalne

Rys.4.2.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące
kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej X

1

; b) od sumy

wszystkich wykresów jedynkowych (wykres zbiorczy momentów M

i

)

3

1

1

9

18

27

m

EJ

EJ

n

k

k

=

−

=

∑

=

δ

3

1

9

)

3

3

2

2

3

3

(

1

m

EJ

EJ

S

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

EJ

EJ

9

9

=

(4.2.1)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

10

Rys.4.2.1 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym pochodzące

kolejno od: a) obciążenia rzeczywistego P w postaci siły skupionej oraz obciążenia

rozłżonego; b) od sumy wszystkich wykresów jedynkowych (wykres zbiorczy

momentów M

i

)

3

1

72

540

468

m

kN

EJ

EJ

n

i

ip

−

=

−

=

∆

∑

=

3

72

2

3

1

3

3

2

2

1

54

1

m

kN

EJ

EJ

sp

−

=

























⋅

+

⋅

⋅

−

=

∆

EJ

EJ

72

72

−

=

−

(4.2.2)

4.3 Sprawdzenie wartości niewiadomych sił

0

0

0

468

2

,

15

18

)

2

,

7

(

27

=

→

=

+

⋅

−

−

⋅

EJ

EJ

EJ

0

0

0

540

2

,

15

27

)

2

,

7

(

18

=

→

=

−

⋅

+

−

⋅

−

EJ

EJ

EJ

(4.3.1)

4.4 Sprawdzenie statyczne

Rys.4.4.1 Rama „zawieszona” na wewnętrznych siłach przypodporowych

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

11

0

8

,

58

4

36

1

54

3

2

,

15

2

4

9

3

2

,

7

0

0

54

2

,

7

2

,

15

46

0

0

9

4

36

0

=

−

⋅

+

⋅

+

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

−

→

=

=

−

−

+

→

=

=

⋅

+

−

→

=

∑

∑

∑

k

M

Y

X

(4.4.1)

4.5 Sprawdzenie kinematyczne

Rys.4.5.1 Wykresy momentów zginających od: a) jedynkowej siły wirtualnej w innym

układzie podstawowym; b) obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym

(statycznie niewyznaczalnym)

rad

EJ

EJ

EJ

EJ

0

0

1

8

4

9

4

3

2

80

,

58

2

1

20

,

13

2

1

4

1

2

1

40

,

8

3

2

40

,

30

3

1

2

1

1

2

1

4

,

8

3

1

40

,

30

3

2

2

1

3

2

1

2

1

1

4

,

30

3

2

2

1

3

2

2

2

1

60

,

21

3

2

2

1

3

2

1

1

1

2

=

=













⋅

⋅

⋅

⋅

+













⋅

−

⋅

⋅

+

















⋅

−

⋅

⋅

⋅

+













⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+













⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

ϕ

δ

(4.5.1)

5. METODA SIŁ DLA INNYCH OBCIĄŻEÑ

Podstawową różnicą między obliczaniem układów statycznie

wyznaczalnych a niewyznaczalnych jest to, że w tych drugich obciążenia takie
jak: temperatura, osiadanie czy błąd montażu wywołują obok przemieszczeń
konstrukcji także siły wewnętrzne. Dlatego obciążenia te należy uwzględnić w
wyrazach wolnych w równaniach kanonicznych, tzn. δ

ik

pozostaje bez zmian,

natomiast w zależności od obciążenia ∆

ip

zmienia się następująco:

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

12

a) temperatura

ds

t

N

ds

h

t

M

S

o

t

i

S

t

i

it

∫

∫

⋅

⋅

+

∆

⋅

⋅

=

∆

α

α

(5.0.1)

- gdzie oznaczenia: α

t

,

∆

t, t

o

takie same jak dla układów statycznie

wyznaczalnych
stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:

0

1

=

∆

+

∑

=

n

k

it

k

ik

x

δ

(5.0.2)

b) osiadanie

∑

∑

⋅

−

∆

⋅

−

=

∆

∆

i

i

i

i

i

i

i

M

R

ϕ

(5.0.3)

stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:

0

1

=

∆

+

∑

=

∆

n

k

i

k

ik

x

δ

(5.0.4)

c) błędy montażu

∑

⋅

=

∆

i

im

im

im

b

B

(5.0.5)

- gdzie oznaczenia: B

im

, b

im

takie same jak dla układów statycznie

wyznaczalnych
stąd równanie kanoniczne przyjmie postać:

0

1

=

∆

+

∑

=

n

k

im

k

ik

x

δ

(5.0.6)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

13

6. PRZYKŁAD

Obliczyć siły wewnętrzne w analizowanej ramie, wywołane

działaniem temperatury (pominiemy wpływ równomiernego ogrzania)
oraz osiadaniem podpór. Dane przedstawione są na rysunku (Rys.6.0.1a.).

Do obliczeń przyjęto inny (lepszy) układ podstawowy wykorzystując
symetrie układu oraz grupowanie niewiadomych (Rys.6.0.1b.).

Rys.6.0.1 Dany układ a) rzeczywisty z obciążeniem zewnętrznym; b) inny (lepszy) układ

podstawowy z niewiadomymi Z

1

i Z

2

oraz układem równań kanonicznych

W zadaniu przyjęto:

- współczynnik rozszerzalności liniowej równy:

C

o

t

1

10

2

,

1

5

−

⋅

=

α

(6.0.1)

- konstrukcje o przekrojach:

- rygiel ramy I200
- słup ramy 2 I200

o następujących parametrach:

2

4

8

2

6

614

,

4408

10

2140

,

10

01

,

206

01

,

206

m

kN

J

E

m

J

m

kN

GPa

E

x

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

−

(6.0.2)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

14

Rys.6.0.2 Wykresy momentów zginających w układzie podstawowym

pochodzące kolejno od: a) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce

niewiadomej Z

1

; b) siły jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej

Z

2

Obliczenie współczynników:

3

11

18

3

3

2

2

3

3

2

1

m

EJ

EJ

=

























⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

[

]

3

22

90

6

4

6

2

1

18

m

EJ

EJ

EJ

=

⋅

⋅

+

=

δ

3

21

12

0 m

=

=

δ

δ

(6.0.3)

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

0

90

0

18

2

3

1

3

=

∆

+

=

∆

+

ip

ip

Z

EJ

m

Z

EJ

m

(6.0.4)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

15

6.1 Obciążenie temperaturą

m

t

p

0189

,

0

30

2

3

3

40

2

3

3

20

,

0

10

2

,

1

5

1

1

=









⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

∆

=

∆

−

m

t

p

0171

,

0

10

4

6

30

2

3

3

40

2

3

3

20

,

0

10

2

,

1

5

2

2

=









⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

∆

=

∆

−

3

1

323

,

83

614

,

4408

0189

,

0

m

kN

J

E

t

⋅

=

⋅

=

∆

⋅

⋅

3

2

387

,

75

614

,

4408

0171

,

0

m

kN

J

E

t

⋅

=

⋅

=

∆

⋅

⋅

(6.1.1)

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

0

387

,

75

90

0

323

,

83

18

2

1

=

+

=

+

Z

Z

(6.1.2)

Po obliczeniu powyższych równań otrzymano następujące wyniki:

kN

Z

kN

Z

838

,

0

629

,

4

2

1

−

=

−

=

(6.1.3)

Kontrola kinematyczna

Rys.6.1.1 Wykresy momentów zginających od: a) jedynkowej siły wirtualnej w innym

układzie podstawowym; b) obciążenia rzeczywistego w układzie rzeczywistym

(statycznie niewyznaczalnym)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

16

rad

EJ

EJ

EJ

0

000001

,

0

20

,

0

10

10

2

,

1

2

028

,

5

1

4

20

,

0

30

10

2

,

1

373

,

11

3

2

1

2

1

3

2

1

20

,

0

40

10

2

,

1

401

,

16

3

2

1

2

1

3

2

1

1

5

5

5

≈

=

=













⋅

⋅

−

⋅

⋅

+













⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+













⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

−

−

−

ϕ

δ

(6.1.4)

Zestawienie wyników

Rys.6.1.2 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił normalnych N

(n)

; c) wykres

rzeczywistych sił tnących T

(n)

; c) wykres momentów rzeczywistych M

(n)

Warto zwrócić uwagę, że wykresy momentów zginających odłożone są po
stronie zimniejszej, co wynika z istnienia (działania) dodatkowych więzów.

6.2 Obciążenie osiadaniem

Rys.6.2.1 Obciążenie osiadaniem a) układ rzeczywisty; b) reakcje powstałe od siły

jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z

1

; c) reakcje powstałe od siły

jedynkowej przyłożonej w miejsce niewiadomej Z

2

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

17

[

]

m

p

015

,

0

1

015

,

0

1

1

=

⋅

−

−

=

∆

=

∆

∆

[

]

m

p

045

,

0

01

,

0

6

1

015

,

0

2

2

=

⋅

−

⋅

−

=

∆

=

∆

∆

3

1

129

,

66

614

,

4408

015

,

0

m

kN

J

E

⋅

=

⋅

=

∆

⋅

⋅

∆

3

2

388

,

198

614

,

4408

045

,

0

m

kN

J

E

⋅

=

⋅

=

∆

⋅

⋅

∆

(6.2.1)

Układ równań kanonicznych przyjmie więc postać:

0

388

,

198

90

0

129

,

66

18

2

1

=

+

=

+

Z

Z

(6.2.2)

Po obliczeniu powyższych równań otrzymano następujące wyniki:

kN

Z

kN

Z

204

,

2

674

,

3

2

1

−

=

−

=

(6.2.3)

Kontrola kinematyczna

Rys.6.2.2 Kontrola kinematyczna od: a) układ rzeczywisty poddany obciążeniu; b)

wykres momentów zginających od jedynkowej siły wirtualnej w innym układzie

podstawowym; c) wykres momentów zginających od obciążenia rzeczywistego w

układzie rzeczywistym (statycznie niewyznaczalnym)

[

]

rad

rad

EJ

EJ

0

000001

,

0

015

,

0

6

1

01

,

0

1

224

,

13

1

4

2

1

410

,

4

3

2

2

1

3

2

1

634

,

17

3

2

2

1

3

2

1

1

1

≈

−

=









⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+













⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

ϕ

δ

(6.2.4)

W

Y K Ł A D Y Z

M

E C H A N I K I

B

U D O W L I

M

ETODA SIŁ

Politechnika Poznańska®

Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

18

Zestawienie wyników

Rys.6.2.3 Zestawienie wyników: a) wykres rzeczywistych sił normalnych N

(n)

; c) wykres

rzeczywistych sił tnących T

(n)

; c) wykres momentów rzeczywistych M

(n)

7. PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI METODĄ SIŁ

Zaprojektować konstrukcję tzn. wyliczyć przekroje (np. prętów) w taki

sposób by spełnić warunek dopuszczalności.

dop

eks

W

M

σ

≤

(7.1.1)

Przystępując do projektowania zakładamy pewne przekroje. Po
przeprowadzeniu obliczeń okazuje się, że przyjęte przekroje nie spełniają
naszych założeń wytrzymałościowych, ekonomicznych bądź innych i zmuszeni
jesteśmy je zmienić. Przyjmując w konstrukcji inne przekroje zmuszeni jesteśmy
do ponownego rozwiązania układu metodą sił, ponieważ zmiana sztywności
prętów pociągnęła za sobą zmianę macierzy podatności (δ

ik

) oraz wektora

wyrazów wolnych (∆

ip

) w równaniach kanonicznych. Po dokonaniu obliczeń

ponownie sprawdzam, czy przyjęte do obliczeń przekroje prętów w drugim
etapie spełniają narzucone kryteria. Jeżeli nie, to dokonujemy ponownej zmiany
przekrojów prętów i powtarzamy obliczenia.
Reasumując konstrukcję statycznie niewyznaczalną projektujemy metodą
kolejnych przybliżeń.