W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 2
PRACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Praca sił normalnych
Siła
normalna
przypomnienie (N):
Jest to siła działająca wzdłuż osi pręta, decydując o rozciąganiu bądź ściskaniu elementu.
Innymi słowy, to suma naprężeń normalnych na powierzchni całego przekroju:
∫
=
A
dA
N
σ
(2.1)
Rys. 1.
Umowne znakowanie siły normalnej
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
2
Korzystając ze wzoru (2.1) i prawa Hooke’a można napisać zależności dla wycinaka
pręta o długości ds:
ds
Rys. 2.
Przyrost długości pręta
ds
A
E
N
N
N
dL
A
E
N
E
ds
u
u
A
dA
N
N
N
N
N
A
N
N
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
⋅
=
=
↔
∆
=
∆
=
⋅
=
=
∫
2
1
2
1
σ
ε
ε
σ
σ
Gdzie
E- moduł Younga
A- pole powirzchni
przekroju
Całkowita praca siły normalnej w pręcie o długości l:
∫
⋅
=
l
N
ds
A
E
N
L
0
2
2
1
(2.2)
Element pracy siły normalnej:
ds
A
E
N
dL
N
⋅
=
2
2
1
(2.3)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
3
Praca momentów zginających
Moment zginający
przypomnienie: Def
∫
⋅
=
A
zdA
z
M
)
(
σ
(2.4)
Jest to para sił równo oddalonych od siebie, których wynikiem działania jest ściskanie
części włókien i rozćiąganie pozostałych.:
M<0
rozciąganie górnych włókien
M>0
rozciąganie dolnych włókien
Rys. 3. Umowne znakowanie momentó zginających
W przekroju występują naprężenia stałe (od siły normalnej) i zmienne (od momentu
zginającego)
stałe
naprężenia
normalne
zmienne
naprężenia
od momentu
Rys. 4. Naprężenia stałe i zmienne
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
4
h
g
h
d
z
h
Naprężenia występujące od momentu zginającego decydują o ściskaniu części włókien i
rozciąganiu pozostałej części:
σ
z
= σ
Rys. 5. Naprężenia zmienne od momentu zginającego
Górna rzędna naprężenia od momentu σ
g
Górna rzędna naprężenia od momentu σ
d
Korzystając ze wzoru (2.4) i zależności geometrycznych (twierdzenie Talesa)
otrzymujemy:
d
d
d
d
z
h
z
h
z
σ
σ
σ
σ
=
→
=
(2.5)
y
d
d
A
d
d
A
z
I
h
dA
z
h
zdA
M
σ
σ
σ
∫
∫
=
⋅
=
=
2
(2.6)
Wobec tego:
z
I
M
z
h
y
d
d
⋅
=
=
σ
σ
σ
(2.7)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
5
dx=ds
z
promień
krzywizny
Biegun
chwilowego
obrotu
2
∆
na wysokości z
Rys. 6. Nieskończenie mały element, poddany momentowi zginającemu
ρ- promień krzywizny,
2
ϕ
d
- połowa kąta zawartego między promieniami krzywizny,
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ds
d
d
ds
=
→
=
(2.8)
Przyrost długości ds jest symetryczny względem promienia krzywizny, dlatego przyrośt
po jednej stronie wynosi:
z
d
zd
d
z
∆
=
=
∆
=
∆
ϕ
ϕ
ϕ
2
2
(2.9)
Przyrost ds jest odkształceniem liniowym, dlatego korzystając z prawa Hooke’a można
zapisać relacje między przyrostem włókna a naprężeniami.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
6
ds
E
ds
E
ds
z
z
z
z
σ
σ
ε
ε
=
∆
∆
=
=
=
∆
)
(
(2.10)
Podstawiając wzór na naprężenie (2.7) i na kąt obrotu (2.9) otrzymujemy:
ds
I
E
M
d
z
d
ds
I
E
z
M
y
y
⋅
=
∆
=
⋅
⋅
=
∆
ϕ
ϕ
(2.11)
Wykorzystując wzór (2.11) i prawo Hooke’a otrzymujemy relację między krzywizną (χ)
a momentem:
y
I
E
M
ds
d
⋅
=
=
=
χ
ρ
ϕ
1
(2.12)
χ- to odwrotność promienia krzywizny.
Element pracy momentu zginającego, który działa na obrocie wynosi:
ds
I
E
M
ds
I
E
M
M
Md
dL
y
y
M
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
2
2
1
2
1
2
1
ϕ
(2.13)
Całkowita praca momentu w pręcie o długości l:
∫
⋅
=
l
y
M
ds
I
E
M
L
0
2
2
1
(2.14)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
7
Praca sił poprzecznych
Siła poprzeczna
przypomnienie
Siła poprzeczna jest sumą wszystkich naprężeń stycznych w przekroju
Indeks pierwszy określa płaszczyznę na jakiej działa siła
Indeks drugi określa kierunek dodatniej osi naprężeń stycznych
)
(
)
(
z
b
I
z
S
T
dA
T
y
y
xz
xz
A
xz
xz
⋅
⋅
=
=
∫
τ
τ
(2.15)
W powyższym siła działa na płaszczyźnie x o kierunku z.
System znakowania siły poprzecznej
T<0
kręci odciętą
częścią w lewo
T>0
kręci odciętą
częścią w prawo
Rys. 7. System znakowania siły poprzecznej
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
8
ds
b(z)
h
d
Rys. 8. Rysunek poglądowy działania siły poprzecznej
Wynikiem działania sił stycznych jest deformacja przedstawiona na rysunku (w
zdecydowanej przesadzie)
xz
γ
Rys. 9. Rezultaty działania siły poprzecznej na elemencie: a) γ- kąt odkształcenia
postaciowego, b) ∆- wynik działania sił stycznych
G
ds
t
xz
xz
xz
τ
γ
γ
=
=
∆
(2.16)
We wzorze (2.16) G jest modułem odkształcenia postaciowego Kirchhoffa.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
9
(
)
ν
+
⋅
=
1
2
E
G
(2.17
E- moduł Younga, ν- współczynnik Poissona
Równanie pracy jest przedstawione wyłącznie dla poletka dA, w którym występują
elementy siły poprzecznej. Jeżeli chciałoby się otrzymać całkowitą pracę, należałoby
zsumować wszystkie poletka dA- czyli scałkować.
T
T
dT
dL
dA
dT
∆
=
=
2
1
τ
(2.18)
Przyrost pracy elementu siły poprzecznej przypadającej na poletko dA leżące na włóknie
b(z) dla elementarnego wycinka pręta o długości ds.
dAds
z
b
z
S
I
A
GA
T
L
d
dAds
z
b
I
z
S
T
G
z
b
I
z
S
T
L
d
ds
dA
L
d
y
T
y
y
xz
y
y
xz
T
xz
xz
T
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
2
3
3
3
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
γ
τ
(2.19)
Przyrost pracy całej siły poprzecznej w przekroju dla wycinka ds:
⋅
⋅
⋅
=
∫
A
y
T
dA
z
b
z
S
I
A
GA
T
dL
)
(
)
(
2
1
2
2
2
(2.20)
Wprowadzamy upraszczający zapis na ścinanie:
∫
⋅
⋅
=
dA
z
b
z
S
I
A
y
)
(
)
(
2
2
κ
(2.21)
ds
T
ds
GA
T
T
dL
śr
T
γ
κ
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
2
1
2
1
(2.22)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
10
Wzór (2.23) w nawiązaniu do poprzednich (praca N i praca M) można przez analogię
zinterpretować jako pracę siły poprzecznej na uśrednionym przemieszczeniu wwołanym
odkształceniem postaciowym (γ
śr
ds)
A
T
G
G
śr
śr
κ
τ
γ
⋅
=
=
1
1
(2.23)
Całkowita praca na długości pręta z uwzględnieniem współczynnika ścinania wynosi:
∫
⋅
=
l
T
ds
GA
T
L
0
2
2
1
κ
(2.24
Podsumowanie
Rodzaje występujących sił w przekroju
F-
uogólniona siła,
∆-
uogólnione przemieszczenie
∆
∆
⇒
⋅
⋅
⋅
=
∆
=
→
=
T
N
śr
d
d
d
ds
s
ds
s
ds
ds
s
s
s
T
M
N
s
F
ϕ
γ
χ
ε
δ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(2.25)
Wszystkie współczynniki charakteryzują się bardzo podobną strukturą- siła/ sztywność
(na rozciąganie, zginanie, ścinanie)
GA
T
EI
M
EA
N
śr
κ
γ
χ
ε
=
=
=
(2.26)
Wzór na całkowitą pracę sił wewnętrznych jest sumą prac tych wszystkich sił w pręcie:
∫
∫
∫
⋅
+
⋅
+
⋅
=
l
l
l
ds
GA
T
ds
EA
N
ds
EI
M
L
0
2
0
2
0
2
2
1
2
1
2
1
κ
(2.27)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
P
RACA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
11