Modele VAR i VEqCM zagadnienia praktyczne
Ekonometria Szeregów Czasowych
Karolina Konopczak
17 kwietnia 2010
Karolina Konopczak
Modele VAR i VEqCM zagadnienia praktyczne
Ekonometria Szeregów Czasowych
Karolina Konopczak
17 kwietnia 2010
Karolina Konopczak
Modele VAR - wprowadzenie (1)
Modele VAR pojawiªy si¦ w ekonometrii w latach osiemdziesi¡tych
(Sims, 1980) jako odpowied¹ na wady wielkich modeli
strukturalnych:
apriorycznie (na podstawie teorii) okre±lony podziaª na zmienne
endogeniczne i egzogeniczne
apriorycznie okre±lana struktura dynamiczna (rz¡d opó¹nie«) systemu
[zwykle niewystarczaj¡ca dynamizacja systemu]
problem identykacji równa« w modelu wielorównaniowym [wª¡czanie
zmiennych do równa« lub nakªadanie restrykcji zerowych wyª¡cznie celem
osi¡gni¦cia identykowalno±ci systemu]
sªabe wªasno±ci prognostyczne [ nierzadko gorsze pod wzgl¦dem ±rednich
bª¦dów prognozy od prognoz naiwnych]
Karolina Konopczak
Modele VAR - wprowadzenie (2)
Wªasno±ci modeli VAR:
brak podziaªu a priori na zmienne endogeniczne i egzogeniczne [nie ma
potrzeby narzucania struktury powi¡za« mi¦dzy zmiennymi]
ateoretyczno±¢ [uwaga skupiona na dynamicznych wªasno±ciach szeregów],
aczkolwiek sam wybór zmiennych do modelu podyktowany jest teori¡
bardzo dobre wªasno±ci prognostyczne w krótkim okresie
parametry w zasadzie nieinterpretowalne, za± ze wzgl¦du na siln¡
wspóªliniowo±¢, istotno±ci zmiennych nie mo»na testowa¢ za pomoc¡
standardowych statystyk t-Studenta
w zwi¡zku z tym przydatno±¢ modelu VAR do analizy okre±lana jest na
podstawie innych specycznych dla modeli VAR kryteriów:
ksztaªt oraz znak funkcji reakcji na impuls
Karolina Konopczak
Modele VAR - posta¢ zredukowana (1)
VAR(p):
y
t
=
A
0
D
t
+
A
1
y
t−1
+
A
2
y
t−2
+ ... +
A
p
y
t−p
+ ε
t
y
t
= [
y
1t
y
t2
...
y
tk
]
T
- wektor zmiennych endogenicznych
D
t
- wektor zmiennych deterministycznych (staªa, trend, zmienne 0-1, zmienne
sezonowe)
A
0
- macierz parametrów przy zmiennych deterministycznych
A
i
i = 1, ..., p - macierz parametrów (kxk) przy i-ych opó¹nieniach zmiennych
endogenicznych
ε
t
- k-wymiarowy wektor skªadników losowych (zaªo»enie o biaªoszumowo±ci)
Karolina Konopczak
Modele VAR - posta¢ zredukowana (2)
Model VAR(p) dla k zmiennych endogenicznych skªada si¦ z k
równa« o identycznej strukturze w ka»dym równaniu w roli
zmiennych obja±niaj¡cych wyst¦puje p opó¹nie« wszystkich
zmiennych w systemie (oraz zmienne deterministyczne):
i-te równanie modelu:
y
it
=
a
0
D
t
+
a
1,i1
y
1,t−1
+
a
1,i2
y
2,t−1
+ ... +
a
1,ik
y
k,t−1
+
+
a
2,i1
y
1,t−2
+
a
2,i2
y
2,t−2
+ ... +
a
2,ik
y
k,t−2
+ ...
... +
a
p,i1
y
1,t−p
+
a
p,i2
y
2,t−p
+ ... +
a
p,ik
y
k,t−p
+ ε
it
Karolina Konopczak
Estymacja modeli VAR (1)
w przypadku zredukowanej postaci modelu VAR (posta¢ bez
równoczesnych powi¡za« pomi¦dzy zmiennymi) nie wyst¦puje
problem endogeniczno±ci (skorelowania zmiennych
obja±niaj¡cych ze skªadnikiem losowym, które skutkuje
niezgodno±ci¡ estymatorów)
z tego wzgl¦du model mo»e by¢ szacowany za pomoc¡ KMNK
(ka»de równanie oddzielnie)
w przypadku, gdy macierz wariancji-kowariancji skªadnika
losowego jest diagonalna (brak autokorelacji skªadnika
losowego) estymator MNW (metody najwi¦kszej
wiarygodno±ci) jest identyczny z estymatorem KMNK
Karolina Konopczak
Rz¡d opó¹nienia modelu VAR (1)
Standardowe testy istotno±ci parametrów (t-Studenta) nie
powinny by¢ stosowane ze wzgl¦du na du»y stopie«
wspóªliniowo±ci zmiennych w modelu
Rz¡d opó¹nienia modelu VAR dobieramy na podstawie:
kryteriow informacyjnych (Akaike, Schwarza, Hannana-Quinna)
wybieramy opó¹nienie, dla którego warto±¢ kryteriów jest
najmniejsza
w przypadku niekonkluzywno±ci wskaza« kryteriów
informacyjnych nale»y wybra¢ ten rz¡d opó¹nie«, który
gwarantuje brak autokorelacji oraz normalno±¢ skªadnika
losowego
Karolina Konopczak
Rz¡d opó¹nienia modelu VAR (2)
Rz¡d opó¹nienia modelu VAR dobieramy na podstawie (c.d.):
testu ilorazu wiarygodno±ci
test ª¡cznej istotno±ci kolejnych (od
ko«ca) opó¹nie« wszystkich zmiennych w poszczególnych
równaniach:
H
0
:
dane potwierdzaj¡ zasadno±¢ naªo»onych restrykcji
LR = T (logL
R
−
logL
U
) ∼ χ
2
liczba_restrykcji
logL
R
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu z
restrykcjami [restrykcje zerowe naªo»one na ostatnie opó¹nienie]
logL
U
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu bez
restrykcji
liczba restrykcji = liczba parametrów, na które naªo»ono
restrykcj¦ zerow¡
Karolina Konopczak
Stabilno±¢ modelu VAR
Podej±cie analogiczne do badania stacjonarno±ci modelu
jednowymiarowego (AR):
A(L)y
t
= ε
t
A(L) = (I
k
−
A
1
L − A
2
L
2
− ... −
A
p
L
p
)
Wielomian charakterystyczny:
Π(
z) = (I
k
−
A
1
z − A
2
z
2
− ... −
A
p
z
p
)
|Π(
z)|=0
Model VAR jest stabilny (a zarazem wszystkie zmienne endogeniczne s¡
stacjonarne), je»eli wszystkie warto±ci wªasne macierzy (pierwiastki
wielomianu charakterystycznego) s¡ co do moduªu wieksze od jedno±ci.
Karolina Konopczak
Autokorelacja skªadnika losowego (1)
brak autokorelacji skªadnika losowego jest bardzo wa»nym
zaªo»eniem modelu VAR
wyst¦powanie autokorelacji ±wiadczy o niedostatecznej
dynamizacji modelu (a uwzgl¦dnienie wªasno±ci dynamicznych
procesów jest jednym z gªównych atutów modeli VAR)
z tego wzgl¦du zaªo»enie to nale»y bezwzgl¦dnie testowa¢ i w
przypadku wykrycia autokorelacji dokona¢ respecykacji
modelu (np. poprzez zwi¦kszenie rz¦du opó¹nie«)
Karolina Konopczak
Autokorelacja skªadnika losowego (2)
Test Breuscha-Godfrey'a
H
0
: brak autokorelacji skªadnika losowego do danego rz¦du (q) wª¡cznie
[C
1
=
C
2
= ... =
C
q
=
0]
Regresja testowa:
ε
t
=
B
1
y
t−1
+
B
2
y
t−2
+ ... +
B
p
y
t−p
+
C
1
ε
t−1
+
C
2
ε
t−2
+ ... +
C
q
ε
t−q
+ ζ
t
Statystyka testowa:
LR = T [logL
R
−
logL
U
] ∼ χ
2
liczba_restrykcji
Liczba restrykcji: q*k*k
U [Unrestricted] - model bez ogranicze«
R [Restricted] - model z ograniczeniami
Karolina Konopczak
Normalno±¢ skªadnika losowego
normalno±¢ rozkªadu skªadnika losowego nie stanowi zaªo»enia schematu
Gaussa-Markova (nie wpªywa na wªasno±ci estymatora KMNK)
tym niemniej, normalno±¢ gwarantuje nam, i» statystyki testowe maj¡
odpowiednie rozkªady (np. statystyki ilorazu wiarygodno±ci)
na podstawie wskaza« testów badacz podejmuje kluczowe dla dalszej
analizy decyzje (np. okre±lenie rz¦du opó¹nienia modelu czy
wnioskowanie na temat wyst¦powania autokorelacji skªadnika losowego)
wielowymiarowe uogólnienie testu Jarque-Bery test Dornika-Hansena
Karolina Konopczak
Model VEqCM
Model korekty równowag¡ (VEqCM)
Wyprowadzenie analogiczne do modelu ECM:
VAR(p) [zbudowany na zmiennych niestacjonarnych]:
y
t
=
A
0
D
t
+
A
1
y
t−1
+
A
2
y
t−2
+ ... +
A
p
y
t−p
+ ε
t
Przej±cie od modelu VAR do VEqCM:
y
t
=
A
1
y
t−1
+
A
2
y
t−2
+ ... +
A
p
y
t−p
+ ε
t
+
+
y
t−1
−
y
t−1
+ (
A
1
−
I )y
t−2
− (
A
1
−
I )y
t−2
+
+(
A
1
+
A
2
−
I )y
t−3
− (
A
1
+
A
2
−
I )y
t−3
+ ...
Model VEqCM (Vector Equilibrium Correction Model):
∆
y
t
=
P
p−1
i=1
Π
i
∆
y
t−i
+ Π
y
t−1
+
t
Π =
P
p
i=1
A
i
−
I
Π
i
= −
P
p
j=i+1
A
j
Karolina Konopczak
Badanie kointegracji w ramach modelu VEqCM
Rz¡d macierzy Q jest równy liczbie niezale»nych wektorów
kointegruj¡cych:
rz Q = 0 ⇐⇒ Q = 0 brak kointegracji mi¦dzy zmiennymi w
systemie [szacowany jest model VAR na przyrostach]
rz Q = k wszystkie zmienne w systemie s¡ stacjonarne
[szacowany jest model VAR na poziomach]
0 < rz Q < k liczba wektorów kointegruj¡cych w systemie
(wymiar przestrzeni kointegruj¡cej) = rz Q
Karolina Konopczak
Badanie rz¦du macierzy Q
Rz¡d macierzy jest równy liczbie jej niezerowych warto±ci wªanych,
a wi¦c testy rz¦du kointegracji polegaj¡ na badaniu, czy wartosci
wlasne macierzy Q s¡ istotnie ró»ne od zera [bo dysponujemy
jedynie oszacowaniem macierzy].
1
Test ±ladu:
H
0
:
R = r
H
1
:
R > r
TRACE = −T P
k
i=r+1
ln(1 − ˆ
λ
i
) ∼ χ
2
liczba restrykcji
2
Test najwi¦kszej warto±ci wªasnej:
H
0
:
R = r
H
1
:
R = r + 1
MAX = −Tln(1 − ˆ
λ
r+1
) ∼ χ
2
liczba restrykcji
Karolina Konopczak
Dekompozycja macierzy Q
do zbadania rz¦du kointegracji potrzeba jedynie oszacowa¢
oraz zbada¢ rz¡d macierzy Q
do wyznaczenia interpretowalnych ekonomicznie relacji
kointegruj¡cych nale»y dokona¢ dekompozycji macierzy Q:
Q = αβ
T
β
- macierz wektorów kointegruj¡cych (kxr)
α
- macierz dostosowa« (kxr)
do tego, aby zdekomponowa¢ macierz Q nale»y naªo»y¢ r
2
restrykcji na wektory kointegruj¡ce (w przypadku jednego
wektora kointegruj¡cego wystarczy restrykcja normalizacyjna,
w przypadku wi¦kszej liczby wektorów konieczne s¡ jeszcze
inne restrykcje)
Karolina Konopczak
Restrykcje w modelu VEqCM
restrykcje nakªadane na parametry wektorów kointegruj¡cych
(normalizacja, restrykcje zerowe, restrykcje zgodne z teori¡
ekonomii)
sªaba egzogeniczno±¢ k-ej zmiennej (k-a zmienna nie
dostosowuje si¦ do trajektorii dªugookresowych wynikaj¡cych z
relacji kointegracyjnych):
H
0
: α
k1
= α
k2
= ... = α
kr
H
1
: ∃
s
α
ks
6=
0, s = 1, ..., r
mocna egzogeniczno±¢ = sªaba egzogeniczno±¢ + brak
przyczynowo±ci w sensie Grangera
Denicja
Zmienna x jest przyczyn¡ w sensie Grangera zmiennej y, je»eli bie»¡ce warto±ci
zmiennej y mo»na wyprognozowa¢ z wi¦ksz¡ dokªadno±ci¡ (mniejszy bª¡d prognozy)
korzystaj¡c z przeszªych warto±ci zmiennej x ni» nie korzystaj¡c z nich.
Karolina Konopczak
Testowanie restrykcji w modelu VEqCM
W przypadku nadidentykowalno±ci systemu, mo»emy testowa¢
zasadno±¢ naªo»onych restrykcji.
Test ilorazu wiarygodno±ci:
H
0
:
wprowadzenie restrykcji byªo zasadne
Statystyka testowa:
LR = T [logL
R
−
logL
U
] ∼ χ
2
liczba_restrykcji
U [Unrestricted] - model bez ogranicze«
R [Restricted] - model z ograniczeniami
Karolina Konopczak
Przykªad
Zmienne w systemie:
mp realna poda» pieni¡dza [M1]
Dp deator konsumpcji (inacja)
i realna konsumpcja
Rnet stopa procentowa netto = stopa od aktywów niepieni¦»nych
- stopa od aktywów pieni¦»nych (wkªady pªatne na »¡danie)
Karolina Konopczak
